I128 – Une traversée nocturne [*** à la main]
Zig accompagne neuf randonneurs pour la traversée nocturne d'une vieille passerelle qui ne supporte pas plus de deux randonneurs à la fois. Ils ne disposent que d'une seule lampe de poche indispensable à la traversée que celle-ci s'effectue dans un sens ou dans un autre. Zig organise les traversées en un temps minimal, ne serait-ce que pour économiser l'énergie de la lampe. Tous les randonneurs y compris lui-même, jeunes et moins jeunes, troisième et quatrième âge inclus, ayant des aptitudes physiques différentes, ont des durées de traversée toutes distinctes. Le temps total(1) pour faire passer tout le monde d'une rive à l'autre est de 76 minutes.
Sachant que les durées respectives de traversée de Zig et de sept randonneurs sont respectivement de 1,6,7,9,11,15,17,20 minutes, déterminer les durées de traversée des deux autres randonneurs.
(1) Bien entendu, quand deux radonneurs empruntent la passerelle, le plus lent des deux impose sa vitesse à l'autre.
Solution proposée par Bernard Vignes
On classe les durées de traversée ti par ordre croissant avec Zig le premier de la liste avec une durée t₁ = 1 minute,ce qui donne par ordre croissant 1,6,7,9,11,15,17,20.
Appelons A et B les deux randonneurs dont on cherche à mesurer les durées de traversée.a et b et désignons par R₁ et R₂ les deux randonneurs les plus rapides. On a R₁ = Zig.
On adopte la "recette" générale décrite par J.P. Delahaye dans son ouvrage "Mathématiques pour le plaisir"
Tous les randonneurs qui pour traverser ont besoin d'un temps ti supérieur à 2t₂ ‒ t₁ doivent traverser par deux après que R₁ (Zig) et R₂ se sont rendus sur la rive opposée selon le schéma (R₁ + R₂ aller) puis (R₁ retour) puis (Ri + Rj aller) puis (R₂ retour). Les regroupements par deux doivent se faire en respectant l'ordre:
les deux randonneurs les plus lents ensemble, puis les deux plus lents restants, et ainsi de suite tant qu'il reste deux randonneurs lents (ti > 2t₂ ‒ t₁). les autres randonneurs traversent ensuite accompagnés de R₁ qui
ramène la lampe après chaque traversée.
S'il y avait les 7 randonneurs + Zig, le temps total pour traverser la passerelle serait de :
1) (6 + 7 + 9 + 11 + 15 + 17 + 20) + 6*1 = 91 minutes, Zig accompagnant chacun des 7 randonneurs puis faisant six demi-tours pour aller chercher ceux qui n'ont pas encore fait la traversée.
2) (6 + 1) + (20 + 17) + 6 + (6 + 1) + (15 + 11) + 6 + (9 + 1) + (7 + 1 ) + (6 + 1) = 85 minutes. En petits caractères, les durées qui ne sont pas prises en compte dans le temps total.
3) (6 + 1) + (20 + 17) + 6 + (15 + 1 ) + (11 + 1) + (9 + 1 ) + (7 + 1 ) + (6 + 1) = 85 minutes Dans tous les cas le temps total est > 76 minutes.
L'un des randonneurs A (le plus rapide des deux) a donc une durée de traversée < 6 minutes.
Supposons qu'elle soit de 3 minutes.
On aurait avec 8 randonneurs (hors B) + Zig:
(3 + 1) + (20 + 17) + 3 + (3 + 1) + (15 + 11) + 3 + (3 + 1) + (9 + 7) + 3 + (6 + 1) + (3 + 1) = 75 minutes Ce temps est inférieur à 76 minutes mais si on ajoute B dont la durée de traversée est au moins égale à 4 minutes on aurait:
(3 + 1) + (20 + 17) + 3 + (3 + 1) + (15 + 11) + 3 + (3 + 1) + (9 + 7) + 3 + (6 + 1) + (4 + 1) + (3 + 1) = 80 minutes > 76 minutes.
La seule durée possible a pour A est donc de 2 minutes, ce qui donne avec 8 randonneurs (hors B) + Zig:
(2 + 1) + (20 + 17) + 2 + (2 + 1) + (15 + 11) + 2 + (2 + 1) + (9 + 7) + 2 + (6 + 1) + (2 + 1) = 68 minutes < 76 minutes.
Il s'agit maintenant de "placer" la durée b de B dans la suite 1,2,6,7,9,11,15,17,20 afin d'obtenir un temps total T de 76 minutes.
si b ≥ 21 alors T≥ 78, b = 18 ou 19 ==> T = 77, b = 16 ==> T = 76, b = 12 ou 13 ou 14 ==> T = 75, b = 10
==> T = 74 etc..
La solution est a = 2 minutes et b = 16 minutes
