I128. Une traversée nocturne
Zig accompagne neuf randonneurs pour la traversée nocturne d'une vieille passerelle qui ne supporte pas plus de deux randonneurs à la fois. Ils ne disposent que d'une seule lampe de poche indispensable à la traversée que celle-ci s'effectue dans un sens ou dans un autre. Zig organise les traversées en un temps minimal, ne serait-ce que pour économiser l'énergie de la lampe. Tous les randonneurs y compris lui-même, jeunes et moins jeunes, troisième et quatrième âge inclus, ayant des aptitudes physiques différentes, ont des durées de traversée entières toutes distinctes. Le temps total(1) pour faire passer tout le monde d'une rive à l'autre est de 76 minutes.
Sachant que les durées respectives de traversée de Zig et de sept randonneurs sont
respectivement de 1,6,7,9,11,15,17,20 minutes, déterminer les durées de traversée des deux autres randonneurs.
(1) Bien entendu, quand deux randonneurs empruntent la passerelle, le plus lent des deux impose sa vitesse à l'autre.
Solution de Marie-Christine Piquet
Chacun des randonneurs est affecté d'un dossard sur lequel est inscrit son temps de traversée de la passerelle.
Maintenant lorsqu'un couple a franchi la passerelle dans le sens AB , la torche doit revenir au plus vite en A .
Zig étant le plus rapide du groupe doit donc choisir Puce qui est aussi de la partie , et qui porte un petit dossard "a" .
a doit être le plus petit possible . Les plus lents imposent le rythme .
Supposons que le dixième randonneur porte le dossard "b" avec 1 < a < b < 6 . Dans ce cas les transferts sont optimisés quand :
A ---> B : Zig et Puce se dirigent vers B en a min B ---> A : Zig revient seul avec la torche en A en 1 min . A ---> B : le couple (20,17) arrive en B en 20 min . B ---> A : Puce ramène la torche en A en a min . A ---> B : Zig raccompagne Puce en B en a min .
B ---> A : Zig ramène la torche en A pour le couple suivant (15,11)
Le processus est le même pour les couples (9,7) et (6,b). Il y a donc 4 couples lents à faire traverser .
Ces 4 traversées durent quand même 20 + 15 + 9 + 6 = 50 min.
Les 4 va et viens de Zig et Puce durent 4 x (2a+1) min. Et leur dernière traversée AB durent a min.
La totalité des opérations a pris 50 + 9a + 4 = 54 + 9a min.
Si a = 3 , t = 54 + 9 x 3 = 81 min . donc a = 2 . Et Puce possède le dossard 2 .
Mais si 2 < b < 6 , alors 72 min suffiront au groupe . Il gagne 4 min ; et dans ce cas 76 min n'est plus un temps optimal.
Il faut donc modifier les couples afin d'augmenter la durée des 4 traversées de 4 min . On s'aperçoit assez vite que la
solution est unique avec b = 16 . Et en 54 min on peut faire traverser les couples : (20,17) , (16,15) , (11,9) & (7,6) .
Conclusion : a = 2 et b = 16 .
