Compl´ements `
a l’expos´e du 29/03/2018
Sylvain Dotti April 15, 2018
Abstract
R´esolution de la loi de conservation hyperbolique scalaire de Burgers sous une condition initiale C1 et croissante, ´equivalence entre entropies de Kruzkov et
en-tropies convexes dans la d´efinition de solution entropique de lois de conservation hyperboliques scalaires
1
R´
esolution de la loi de conservation hyperbolique scalaire
de Burgers sous une condition initiale C
1et croissante
Soit le probl`eme de Cauchy suivant :
∂tu (x, t) +12∂x(u (x, t))2= 0, ∀x ∈ R, t ∈ R+∗
u (x, 0) = u0(x) , ∀x ∈ R
avec une condition initiale u0 ∈ C1(R) croissante. On esp`ere que la solution u(x, t) soit
dans C1(Rx× R+t ).
On cherche pour commencer les courbes du plan Rx × R+t pour lesquelles u(x, t) est
constante. On consid`ere la fonction f (t) = u(x(t), t), d´efinie pour t ∈ R+. Elle v´erifie f0(t) = ∇u(x, t).(x0(t), 1) = ∂1(u(x, t)) × x
0
(t) + ∂2(u(x, t)) × 1
Si x0(t) = u(x, t) alors cette d´eriv´ee s’annule. En effet, dans ce cas
∂1(u(x, t)) × x 0 (t) + ∂2(u(x, t)) = 1 2∂1 (u(x, t)) 2 + ∂ 2(u(x, t)) = 0.
Les courbes recherch´ees, appel´ees courbes caract´eristiques se d´efinissent comme suit :
Cξ= (x(t), t) ∈ Rx× R+t : x 0
(t) = u (x(t), t) : x(0) = ξ . `
A ξ ∈ R fix´e, le long de chaque courbe caract´eristique Cξ, c’est `a dire pour chaque couple
(x(t), t) ∈ R × R+ v´erifiant x0(t) = u (x(t), t) et x(0) = ξ, on a u (x(t), t) = u (x(0), 0) = u (ξ, 0) = u0(ξ).
On peut donc ´ecrire
Cξ= (x(t), t) ∈ Rx× R+t : x 0
(t) = u0(ξ) : x(0) = ξ = (u0(ξ)t + ξ, t) ∈ Rx× R+t .
Ce sont des demi-droites du demi-plan Rx× R+t .
Maintenant, `a (x, t) ∈ R × R+ fix´e, on aimerait prouver qu’il existe une courbe car-act´eristique Cξ qui passe par ce point, c’est `a dire trouver un ξ ∈ R tel que (x, t) ∈ Cξ.
Ainsi, la valeur de u(x, t) serait u0(ξ).
Soit (x, t) ∈ R × R+ fix´e, on cherche donc ξ ∈ R v´erifiant u0(ξ)t + ξ = x, c’est `a dire
ξ ∈ R tel que F (x, t, ξ) = u0(ξ)t + ξ − x = 0.
u0 ∈ C1(R) donc F ∈ C1(R × R+× R) avec ∂ξF (x, t, ξ) = u 0
0(ξ)t + 1 > 0 car u0 est
croissante. lim
ξ→+∞F (x, t, ξ) = +∞ et ξ→−∞lim F (x, t, ξ) = −∞ permettent d’affirmer qu’il
existe un unique ξ ∈ R tel que F (x, t, ξ) = 0.
Le th´eor`eme des fonctions implicites permet d’affirmer que la fonction ¯ξ : R × R+ → R telle que u0( ¯ξ(x, t))t + ¯ξ(x, t) − x = 0, ∀(x, t) ∈ R × R+ appartient `a C1(R × R+).
Cette fonction v´erifie aussi :
• ∂t ξ(x, t) =¯ −u0 ξ(x, t)¯ 1 + u00 ξ(x, t)¯ • ∂x ξ(x, t) =¯ 1 1 + u00 ξ(x, t)¯
Ainsi, la fonction d´efinie sur R × R+ par u(x, t) = u0 ξ(x, t) v´erifie¯
• u(x, 0) = u0 ξ(x, 0) = u¯ 0(x) • ∂t(u(x, t)) +12∂x (u(x, t))2 = ∂t ξ(x, t) × u¯ 0 0 ξ(x, t)¯ +12 × 2 × ∂x ξ(x, t) × u¯ 00 ξ(x, t) × u¯ 0 ξ(x, t) = 0¯
Remarque : ¯ξ est en fait d´efinie sur R × (−α ; +∞) pour un certain α > 0. Pour t = 0, la valeur de ¯ξ(x, 0) est explicite : ¯ξ(x, 0) = x.
2
Equivalence entre entropies de Kruzkov et entropies con-
´
vexes dans la d´
efinition de solution entropique de lois de
conservation hyperboliques scalaires
Propri´et´e 1 : la solution entropique d´efinie pour les entropies/flux d’entropie de Kruzkov v´erifie encore l’in´egalit´e entropique pour tous les couples entropies/flux d’entropie
Preuve : Soit u ∈ C R+; L1loc(Rd) ∩ L∞
Rd× R+; R la solution entropique au sens de Kruzkov du probl`eme de Cauchy
∂tu (x, t) + divx(A (u (x, t))) = G (x, t, u (x, t)) , ∀ (x, t) ∈ Rd× R+∗
u (x, 0) = u0(x) , ∀x ∈ Rd, u0 ∈ L1(Rd) ∩ L∞(Rd),
`
a savoir l’unique u ∈ C R+; L1
loc(Rd) ∩ L∞ Rd× R+; R telle que
∀ξ ∈ R, ∀ϕ ∈ Cc∞ Rd× R+; R+ : Z Rd×R+ ηξ(u(x, t)) ∂tϕ (x, t) + φξ(u (x, t)) .∇ϕ (x, t) ! dxdt + Z Rd ηξ(u0(x)) ϕ (x, 0) dx − Z Rd×R+ η0ξ(u (x, t)) G (x, t, u(x, t)) ϕ (x, t) dx ≥ 0. (2.1)
o`u les entropies de Kruzkov ηξ sont d´efinies ∀u ∈ R par ηξ(u) = |u − ξ| et les flux
d’entropies de Kruzkov φξ par φξ(u) = sgn(u − ξ) × (A(u) − A(ξ)).
Comme on a l’´egalit´e Z Rd×R+ E × ∂tϕ (x, t) + F.∇ϕ (x, t) ! dxdt + Z Rd Eϕ (x, 0) dx − Z Rd×R+ 0 × G (x, t, u(x, t)) ϕ (x, t) dx = 0. (2.2)
pour tout couple (E, F ) ∈ R2, l’in´galit´e (2.1) est encore valable pour les couples d’entropie/flux d’entropie (ηn, φn) d´efinis ∀n ∈ N par
ηn(u) = |u − n| − n et φn(u) = sgn(u − n) × (A(u) − A(n)) − A(n), ∀u ∈ R.
∀u ∈ R fix´e, lim
n→+∞ηn(u) = −u, n→+∞lim η 0
n(u) = −1 et n→+∞lim φn(u) = −A(u),
donc
lim
n→+∞ηn(u(x, t)) = −u(x, t), n→+∞lim η 0
n(u(x, t)) = −1
et lim
Comme u ∈ L∞, A ∈ C2 et G ∈ L∞, on peut appliquer le th´eror`eme de conver-gence domin´ee `a chaque terme de gauche dans l’in´egalit´e (2.1), pour obtenir ∀ϕ ∈ Cc∞ Rd× R+; R+ Z Rd×R+ −u(x, t)∂tϕ (x, t) − A (u (x, t)) .∇ϕ (x, t) ! dxdt + Z Rd −u0(x) ϕ (x, 0) dx + Z Rd×R+ G (x, t, u(x, t)) ϕ (x, t) dx ≥ 0.
La mˆeme m´ethode appliqu´ee aux couples (ηn, φn) d´efinis ∀n ∈ N par
ηn(u) = |u − (−n)| − n et φn(u) = sgn (u − (−n)) × (A(u) − A(−n)) + A(−n), ∀u ∈ R,
montre que ∀ϕ ∈ Cc∞ Rd× R+; R+ Z Rd×R+ u(x, t)∂tϕ (x, t) + A (u (x, t)) .∇ϕ (x, t) ! dxdt + Z Rd u0(x) ϕ (x, 0) dx − Z Rd×R+ G (x, t, u(x, t)) ϕ (x, t) dx ≥ 0.
La multiplication par une constante positive ne change pas le sens des deux derni`eres in´egalit´es donc en utilisant l’´egalit´e (2.2), on peut affirmer que l’in´egalit´e (2.1) est encore valable pour les couples entropie/flux d’entropie ηa,E/φa,F d´efinis par
ηa,E(u) = au + E, φa,F(u) = aA(u) + F, ∀u, a, E, F ∈ R.
Remarque : K ≥ 0 et −K ≥ 0 impliquent K = 0. Cela d´emontre que pour les couples entropie/flux d’entropie ηa,E/φa,F, on a en fait une ´egalit´e `a 0 dans les in´egalit´es
en-tropiques.
Propri´et´e 2 : la solution entropique d´efinie pour les entropies/flux d’entropie de Kruzkov v´erifie encore l’in´egalit´e entropique pour tous les couples entropies/flux d’entropie tels que
η convexe φ0(u) = η0(u)A0(u), ∀u ∈ R.
partout (et ´egale `a sa d´eriv´ee faible), sa d´eriv´ee seconde au sens faible est une mesure de Radon positive. Int´egrons l’in´egalit´e (2.1) contre la mesure η00(dξ) (que je noterai abbusivement η00(ξ)dξ) sur [−n, n] ⊂ Rξ, pour obtenir ∀ξ ∈ R, ∀ϕ ∈ Cc∞ Rd× R+; R+
Z [−n,n] η00(ξ) Z Rd×R+ |u(x, t) − ξ| ∂tϕ (x, t) + sgn (u (x, t) − ξ) (A(u(x, t)) − A(ξ)) .∇ϕ (x, t) ! dxdtdξ + Z [−n,n] η00(ξ) Z Rd |u0(x) − ξ| ϕ (x, 0) dxdξ − Z [−n,n] η00(ξ) Z Rd×R+ sgn (u (x, t) − ξ) G (x, t, u(x, t)) ϕ (x, t) dx ≥ 0. (2.3)
Petits calculs interm´ediaires : Soit u ∈ R fix´e, il existe n ∈ N suffisamment grand tel que u ∈ [−n, n] et Z n −n η00(ξ) |u − ξ| dξ = Z u −n η00(ξ) (u − ξ) dξ + Z n u η00(ξ) (ξ − u) dξ = −η0(−n) (u + n) + Z u −n η0(ξ)dξ + η0(n) (n − u) − Z n u η0(ξ)dξ = −η0(−n) (u + n) + η(u) − η(−n) + η0(n) (n − u) − η(n) + η(u) = 2η(u) + u − η0(−n) − η0(n) − η0(−n)n − η(−n) + η0(n)n − η(n) car η0 est localement BV.
Z n −n η00(ξ) sgn (u − ξ) (A(u) − A(ξ)) dξ = Z u −n η00(ξ) (A(u) − A(ξ)) dξ − Z n u η00(ξ) (A(u) − A(ξ)) dξ = −η0(−n) (A(u) − A(−n)) + Z u −n η0(ξ)A0(ξ)dξ − η0(n) (A(u) − A(n)) − Z n u η0(ξ)A0(ξ)dξ
= 2φ(u) + A(u) − η0(−n) − η0(n) + η0(−n)A(−n) − φ(−n) + η0(n)A(n) − φ(n) en ayant choisi par exemple φ(u) =
Z u
0
Z n −n η00(ξ) sgn (u − ξ) dξ = Z u −n η00(ξ)dξ − Z n u η00(ξ)dξ = 2η0(u) − η0(−n) − η0(n).
La solution entropique u au sens de Kruzkov ´etant essentiellement born´ee, choisissons n ∈ N tel que n ≥ kukL∞(Rd×R+). Utilisons ensuite la remarque pr´ec´edente sur les
couples entropie/flux d’entropie ηa,E/φa,F avec a = −η 0
(−n) − η0(n) et le th´eor`eme de Fubini dans l’in´egalit´e (2.3) pour obtenir ∀ϕ ∈ Cc∞ Rd× R+; R+ :
Z Rd×R+ η (u(x, t)) ∂tϕ (x, t) + φ (u (x, t)) .∇ϕ (x, t) ! dxdt + Z Rd η (u0(x)) ϕ (x, 0) dx − Z Rd×R+ η0(u (x, t)) G (x, t, u(x, t)) ϕ (x, t) dx ≥ 0.
pour tout couple d’entropie/flux d’entropie ηφ avec η convexe et φ d´efinie ∀u ∈ R par φ(u) =
Z u
0
