Polynômes de Ore en une variable

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Polynômes de Ore en une variable

Xavier Caruso

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Xavier Caruso. Polynômes de Ore en une variable. 2018. �hal-01673910�

Polynˆ omes de Ore en une variable

Xavier Caruso 28 d´ ecembre 2017

R´esum´e

Les polynˆomes de Ore sont une variante non commutative des polynˆomes classiques qui interviennent en alg`ebre semi-lin´eaire et dans l’´etude des ´equations diff´erentielles lin´eaires de la mˆeme mani`ere que les polynˆomes usuels interviennent en alg`ebre lin´eaire (polynˆomes d’endomorphisme, polynˆomes caract´eristiques,etc.) En particulier, la factorisation des po- lynˆomes de Ore est li´ee de tr`es pr`es `a la r´eduction des endomorphismes semi-lin´eaires et `a celle des ´equations diff´erentielles lin´eaires.

Le but de ce cours est d´efinir les polynˆomes de Ore, d’´etablir leurs principales propri´et´es arithm´etiques et d’´etudier leur factorisation. Nous mettons en place tout un arnesal th´eorique, centr´ee sur la notion d’alg`ebre d’Azumaya, qui permet, dans certains cas, d’obtenir des th´eor`emes de structure donnant des renseignements tr`es pr´ecis sur la forme des factorisations des polynˆomes de Ore. Le cours est illustr´e de nombreux exemples.

Table des mati` eres

1 L’arithm´etique des polynˆomes de Ore

4

1.1 D´efinition des anneaux de Ore

. . . . 4

1.2 Deux isomorphismes entre anneaux de polynˆomes de Ore

. . . . 7

1.3 Division euclidienne et cons´equences

. . . . 9

1.4 Modules sur les anneaux de polynˆomes de Ore

. . . . 13

1.5 Du th´eor`eme de Jordan–H¨older au th´eor`eme de factorisation de Ore

. . . . 16

2 R´esultants et sous-r´esultants

19

. . . . 19

2.2 Cofacteurs et coefficients de B´ezout

. . . . 22

2.3 La th´eorie des sous-r´esultants

. . . . 24

2.4 Lien avec l’algorithme d’Euclide

. . . . 28

3 Alg`ebres simples centrales

34

. . . . 34

3.2 Th´eor`emes de structure

. . . . 37

3.3 La norme r´eduite

. . . . 43

3.4 Les alg`ebres d’Azumaya

. . . . 47

4 Polynˆomes de Ore et alg`ebres d’Azumaya

49

. . . . 49

4.2 Une alg`ebre d’Azumaya

. . . . 51

4.3 La norme r´eduite sur les anneaux de Ore

. . . . 55

4.4 Application `a la factorisation

. . . . 62

4.5 Calcul de la norme r´eduite d’un polynˆome de degr´e1

. . . . 66

4.6 Une ´etude de l’exposante(N)

. . . . 71

A Appendices

77

. . . . 77

. . . . 81

. . . . 85

Introduction

Il est difficile de nier que les anneaux de polynˆ omes sont l’une des briques fondamentales — si ce n’est la brique fondamentale — des constructions en alg` ebre commutative ; de fait, de par sa nature, l’alg` ebre commutative ´ etudie les deux op´ erations + et × qui, lorsqu’on les met ensemble, conduit naturellement ` a la notion de polynˆ omes. Les polynˆ omes jouent ´ egalement un rˆ ole central en alg` ebre lin´ eaire. Le polynˆ ome caract´ eristique, typiquement, est un outil in´ evitable pour

´

etudier la r´ eduction des endomorphismes lin´ eaires. Les propri´ et´ es de factorisation des polynˆ omes d’endomorphisme — et notamment du polynˆ ome caract´ eristique — nous renseignent sur le type de r´ eduction auquel il faut s’attendre. Par exemple, il est bien connu qu’un endomorphisme est diagonalisable si et seulement s’il est annul´ e par un polynˆ ome scind´ e s´ eparable.

Au d´ ebut des ann´ ees 1930, le math´ ematicien norv´ egien Øystein Ore [22] a imagin´ e une variante

tordue

des polynˆ omes dans laquelle la multiplication est rendue non commutative et suit la loi :

X · a = θ(a)X + ∂(a)

lorsque X d´ esigne la variable et a est un scalaire. Dans l’´ ecrture pr´ ec´ edente, θ et ∂ d´ esignent deux fonctions qui doivent ˆ etre soumises ` a certaines contraintes de compatibilit´ e. ´ Etonnemment, il se trouve que les polynˆ omes de Ore jou¨ıssent de propri´ et´ es similaires aux polynˆ omes usuels. Par exemple, lorsque l’on travaille sur un anneau de base qui est un corps, la division euclidienne des polynˆ omes de Ore est bien d´ efinie et les propri´ et´ es qui en r´ esultent classiquement (algorithme d’Euclide, existence de

et de

, etc.) s’´ etendent ´ egalement. D’autre part, les polynˆ omes de Ore pr´ esentent un int´ erˆ et, d’une part, car ils jouent un rˆ ole dans certaines questions internes de l’alg` ebre non commutative mais ´ egalement, d’autre part, car ils sont li´ es ` a l’´ etude des endo- morphismes semi-lin´ eaires et des ´ equations diff´ erentielles lin´ eaires de la mˆ eme mani` ere que les polynˆ omes usuels ´ etaient li´ es ` a la r´ eduction des endomorphismes lin´ eaires. Les polynˆ omes de Ore s’immiscent de cette mani` ere dans d’autres domaines centraux des math´ ematiques.

Les propri´ et´ es de factorisation des polynˆ omes de Ore sont ainsi particuli` erement int´ eressantes car elles sont li´ ees ` a la r´ eduction des endomorphismes semi-lin´ eaires et ` a la d´ ecomposition des ´ equations diff´ erentielles (ou, pour ˆ etre plus pr´ ecis, ` a celle des modules diff´ erentiels ou modules ` a connexions). Comprendre la m´ ecanique de la factorisation dans les anneaux de polynˆ omes de Ore devient, de cette mani` ere, un enjeu important et c’est sur cette question que ce cours se focalise. Dans le cas commutatif, lorsque l’anneau de base est factoriel, on sait que la factorisation des polynˆ omes en produit d’irr´ eductibles est unique ` a l’ordre pr` es. Ce r´ esultat simple est malheureusement facilement mis en d´ efaut dans le cas des polynˆ omes de Ore. Par exemple, dans l’anneau des polynˆ omes de Ore complexes o` u la multiplication est r´ egie par la loi Xz = ¯ zX (pour z ∈

e :

X

− 1 = (X + α) · (X − α) ¯

pour tout nombre complexe α de module 1. Ore parvient malgr´ e tout ` a d´ emontrer un premier r´ esultat encourageant de rigidit´ e qui stipule que, dans le cas o` u l’anneau de base est un corps, toute factorisation d’un polynˆ ome de Ore fix´ e en produits d’irr´ eductibles comporte le mˆ eme nombre de facteurs et, de plus, que ces facteurs peuvent ˆ etre mis en correspondance.

Le r´ esultat de Ore est int´ eressant mais il ne donne pas de description de l’ensemble de toutes

les factorisations d’un polynˆ ome de Ore donn´ e a priori. N´ eanmoins, le cas du polynˆ ome de

Ore X

−1 pris en exemple pr´ ec´ edemment laisse esp´ erer qu’une telle description est possible ;

en effet, dans ce cas pr´ ecis, les factorisations de X

−1 (en produit d’irr´ eductibles unitaires) sont param´ etr´ ees par un objet g´ eom´ etrique tout ` a fait respectable, ` a savoir le cercle unit´ e complexe. L’un des objectifs principaux de ce cours est de concr´ etiser cet espoir. Pour ce faire, nous ´ etablissons un lien fort entre, d’une part, les anneaux de Ore et, d’autre part, un autre objet incontournable de la th´ eorie des anneaux non commutatifs : les alg` ebres de matrices. Ce lien se formalise via les notions d’alg` ebres simples centrales et d’alg` ebres d’Azumaya qui seront nos compagnons de route tout au long de ce cours. Suivant ce chemin, nous parvenons ` a importer les outils standard d’alg` ebre lin´ eaire (comme le d´ eterminant) dans le monde des anneaux de Ore, ce qui nous permet in fine de d´ emontrer le r´ esultat suivant ´ enonc´ e ici de mani` ere volontairement vague.

Th´ eor` eme 1. On suppose que l’anneau de base sur lesquels les polynˆ omes de Ore sont d´efinis est un corps. Alors, sous certaines hypoth`eses de

finitude

, l’ensemble des diviseurs (` a droite) irr´eductibles unitaires d’un polynˆ ome de Ore donn´e est naturellement param´etr´e par un produit d’espaces projectifs (sur des corps non n´ecessairement commutatifs).

Pour un ´ enonc´ e plus pr´ ecis, nous renvoyons notre lectrice aux r´ esultats du §4.4 et, en particulier, au th´ eor` eme

ome X

−1 consid´ er´ e pr´ ec´ edemment, le produit d’espaces projectifs promis par le th´ eor` eme

se r´ eduit ` a la droite projective r´ eelle

(

) (qui est bien hom´ eomorphe au cercle unit´ e complexe). Soulignons ´ egalement qu’il est possible d’obtenir ` a partir du th´ eor` eme

une description g´ eom´ etrique de l’ensemble des factorisations d’un polynˆ ome de Ore donn´ e en produit de facteurs irr´ eductibles unitaires ; celle-ci se fait en termes de vari´ et´ es de drapeaux complets (dans des espaces vectoriels d´ efinis sur des corps non n´ ecessairement commutatifs).

Le plan de ce cours est le suivant. Dans le §1, nous d´ efinissons les polynˆ omes de Ore et

´

etablissons leurs propri´ et´ es arithm´ etiques fondamentales (division euclidienne,

,

, etc).

Nous ´ etudions ´ egalement les modules sur les anneaux de Ore, ce qui nous permet de concr´ etiser le lien entre factorisation des polynˆ omes de Ore et d´ ecomposition des endomorphismes semi- lin´ eaires ou des modules ` a connexions. Le point culminant de cette partie est la d´ emonstration du th´ eor` eme de factorisation de Ore qui a ´ et´ e mentionn´ e pr´ ec´ edemment.

Dans le §2, nous introduisons et ´ etudions la notion de r´ esultant dans le cadre non-commutatif des polynˆ omes de Ore. Nous montrons que celle-ci pr´ esente de tr` es fortes analogies avec le cadre commutatif et, en particulier, qu’elle permet de d´ etecter la relative primalit´ e de polynˆ omes de Ore et mˆ eme, dans une version ramifi´ ee, d’exprimer les coefficients des

de polynˆ omes de Ore.

Le §3 est une introduction acc´ el´ er´ ee ` a la th´ eorie des alg` ebres simples centrales et des alg` ebres d’Azumaya. En aucun cas, nous ne pr´ etendons ` a l’exhaustivit´ e ; au contraire, nous nous bornons

`

a exposer les aspects de la th´ eorie qui nous sont utiles pour les applications que nous avons en vue. Toutefois, nous avons pris soin de n’omettre aucune d´ emonstration, en esp´ erant que cela puisse ˆ etre agr´ eable ` a notre lecteur.

Enfin, le §4, qui est le cœur de ce cours, met en application la th´ eorie des alg` ebres d’Azumaya dans le cadre des polynˆ omes de Ore. Comme expliqu´ e pr´ ec´ edemment, cela nous permet de ramener les questions de factorisation qui nous int´ eressent ` a des probl` emes tr` es concrets d’alg` ebre lin´ eaire. Le th´ eor` eme

d´ ecoule de ces consid´ erations.

Le cours est compl´ et´ e de deux courts appendices. Le premier fait le point sur la th´ eorie des espaces vectoriels sur les corps non commutatifs (qui se trouve ˆ etre tr` es semblable ` a celle des espaces vectoriels sur les corps commutatifs) tandis que le second rassemble plusieurs r´ esultats (que nous aurons besoin d’utiliser ` a l’occasion) sur les extensions de corps diff´ erentiels en caract´ eristique positive.

Tout le cours est illustr´ e par de nombreux exemples qui, nous l’esp´ erons, sont suffisamment

vari´ es pour donner une intuition approfondie des ph´ enom` enes ´ etudi´ es.

1 L’arithm´ etique des polynˆ omes de Ore

Dans cette partie, nous introduisons les anneaux de polynˆ omes de Ore et, principalement lorsque la base est un corps, nous d´ emontrons les premi` eres propri´ et´ es arithm´ etiques de ces polynˆ omes qui, comme dans le cas des polynˆ omes usuels, d´ ecoulent de l’existence d’une division euclidienne (` a droite). Nous ´ enonc¸ons et d´ emontrons ´ egalement le th´ eor` eme de factorisation de Ore qui est un r´ esultat de rigidit´ e sur la factorisation des polynˆ omes de Ore. La d´ emonstration de ce th´ eor` eme sera, pour nous, l’occasion de faire un d´ etour par les modules sur les anneaux de polynˆ omes de Ore. Loin d’ˆ etre anecdotique, ce d´ etour nous permettra ´ egalement de pr´ eciser les liens entre les polynˆ omes de Ore et l’alg` ebre semi-lin´ eaire et/ou diff´ erentielle.

Dans toute cette partie, la lettre

d´ esigne un anneau commutatif sur lequel on ne fera g´ en´ eralement aucune hypoth` ese suppl´ ementaire. La lettre K, quant ` a elle, sera utilis´ ee pour d´ esigner un corps (commutatif).

1.1 D´ efinition des anneaux de Ore

L’anneau des polynˆ omes de Ore, introduit dans [22], est une variante non commutative de l’anneau des polynˆ omes usuels

; il est d´ efini en remplac¸ant la multiplication classique par une multiplication

tordue

pour laquelle la variable X ne commute par avec les scalaires mais, au contraire, est r´ egie par la loi :

∀a ∈

X × a = θ(a)X + ∂(a) (1)

o` u θ :

→

et ∂ : K → K sont des fonctions sur lesquelles on va ˆ etre amen´ e ` a imposer des contraintes refl´ etant les axiomes d’anneaux.

Plus pr´ ecis´ ement, on se donne un morphisme d’anneaux θ :

→

et une application

∂ :

→

v´ erifiant l’axiome :

∀a, b ∈

∂(a + b) = ∂(a) + ∂(b) (2) et ∂(ab) = θ(a)∂(b) + ∂(a)b (3) Lorsque θ = id, on remarque que l’axiome (3) ci-dessus n’est autre que la loi de Leibniz ; autrement dit, on demande ` a ∂ d’ˆ etre une d´ erivation. Dans le cas g´ en´ eral, une application

∂ v´ erifiant les axiomes (2) et (3) est appel´ e une θ-d´erivation. Notons que l’ensemble des θ- d´ erivations est stable par addition et par multiplication externe par les ´ el´ ements de

; autrement dit, c’est un

Les applications θ et ∂ ´ etant fix´ ees, nous allons d´ efinir une

ebre (non commutative)

n’est autre que

est l’ensemble des expressions formelles :

a

+ a

X + a

X

+ · · · + a

X

+ a

X

o` u d est un entier variable et les a

sont des ´ el´ ements de

de la mani` ere usuelle :

P

i

a

X

+

i

b

X

) =

i

(a

+ b

)X

.

La loi de multiplication, quant ` a elle, est d´ etermin´ ee par la loi de Ore (1). Plus pr´ ecis´ ement, on a le r´ esultat suivant.

Proposition 1.1.1. Il existe une unique loi de multiplication × sur

] qui v´erifie les relations :

∀a ∈

X × a = θ(a)X + ∂(a) et a × X = aX

et co¨ıncide avec la mutiplication de

sur les polynˆ omes constants.

D´emonstration. Remarquons que, des conditions de la proposition, on peut d´ eduire la valeur du produit X

× a lorsque a est un scalaire. En effet, on peut ´ ecrire :

X

× a = X × (X × a)

= X × θ(a)X + ∂(a)

= (X × θ(a)) × X + (X × ∂(a))

= θ

(a)X + ∂ ◦ θ(a)

× X + θ ◦ ∂(a)X + ∂

(a)

= θ

(a)X

+ ∂ ◦ θ(a) + θ ◦ ∂(a)

X + ∂

(a).

De la mˆ eme mani` ere, on obtient des formules pour X

× a pour tout entier i ≥ 0. De plus, si P =

i

a

X

et Q =

j

a

X

sont deux ´ el´ ements de

e impose : P × Q =

i,j

(a

X

) × (b

X

) =

i,j

a

× X

× b

× X

.

L’unicit´ e de la loi × v´ erifiant les conditions de la proposition en r´ esulte. Pour ce qui est de l’existence, il suffit de v´ erifier les relations suivantes :

(a + b) × X = a × X + b × X ; (ab) × X = a × (b × X) X × (a + b) = X × a + X × b ; X × (ab) = (X × a) × b.

Les ´ egalit´ es de la premi` ere ligne s’obtiennent directement sans calcul. La premi` ere ´ egalit´ e de la seconde ligne r´ esulte de l’additivit´ e de θ et de ∂. Enfin, pour la derni` ere, on ´ ecrit :

(X × a) × b = (θ(a)X + ∂(a)) × b

= θ(a) × (X × b) + ∂(a) × b

= θ(a) × (θ(b)X + ∂(b)) + ∂(a)b

= θ(a)θ(b)X + θ(a)∂(b) + ∂(a)b

= θ(ab)X + ∂(ab) = X × (ab)

l’avant-derni` ere ´ egalit´ e r´ esultant du fait que θ est un morphisme d’anneaux et que ∂ est une θ-d´ erivation.

Remarque 1.1.2. Il suit directement des d´ efinitions que l’application ´ evidente

→

est compatible et au produit. Autrement dit

apparaˆıt canoniquement comme une alg` ebre (non commutative) sur

Dans la suite, nous omettrons syst´ ematiquement le signe × lorsque nous ´ ecrirons des multi- plications dans

] ; cela ne prˆ etera jamais ` a confusion mais all` egera consid´ erablement les

´

ecritures. Au niveau de la terminologie, nous utiliserons la locution polynˆ ome de Ore pour faire r´ ef´ erence aux ´ el´ ements de

Nous avons vu, dans la d´ emonstration de la proposition

que l’on peut th´ eoriquement obtenir des formules closes donnant les valeurs de produits X

a lorsque n est un entier et a est un ´ el´ ement de

en´ eralement, ces formules sont complexes et difficiles ` a ´ ecrire. Il y a toutefois deux exceptions notables. Premi` erement, lorsque ∂ = 0, la relation de commutation de Ore s’´ ecrit simplement Xa = θ(a)X, ` a partir de quoi, on d´ eduit par une r´ ecurrence imm´ ediate que X

a = θ

(a)X pour tout n ≥ 0. Dans ce cas, on dispose en outre d’une formule explicite tr` es simple donnant le produit de deux polynˆ omes de Ore, ` a savoir :

P

i

a

X

·

j

b

X

=

k

c

X

avec c

=

i+j=k

a

θ

(b

).

De la mˆ eme mani` ere, lorsque θ = id

, le produit X

a admet une ´ ecriture relativement agr´ eable.

Pr´ ecis´ ement, on d´ emontre par r´ ecurrence sur n que : X

a =

n

X

i=0

n i

∂

(a)X

. (4)

o` u la notation

d´ esigne le coefficient binomial.

Exemple 1.1.3. Se donner un exemple d’anneau de polynˆ omes de Ore, revient ` a se donner un anneau

muni d’applications θ et ∂. Il s’av` ere, en fait, que les cas les plus int´ eressants sont ceux pour lesquels θ = id

ou ∂ = 0.

a- On prend

=

θ = conj ; cet exemple, avec lequel nous travaillerons r´ eguli` erement dans la suite de ce cours, est li´ e ` a l’´ etude des applications semi-lin´ eaires sur des

-espaces vectoriels.

b- On prend pour

=

un corps fini, pour θ le morphisme de Frobenius et ∂ = 0. De la mˆ eme mani` ere, cet exemple est li´ e ` a l’´ etude des applications semi-lin´ eaires sur des corps finis qui sont des objets qui apparaissent naturellement en th´ eorie des nombres. De plus, cet exemple est int´ eressant ` a un second titre car l’anneau de Ore qui en r´ esulte

[X, Frob] se r´ einterpr` ete en termes de polynˆ omes lin´ eairis´ es comme suit. Un polynˆ ome lin´ eaire ` a coefficients dans

(o` u q = p

pour un certain nombre premier p et un certain entier r) est un polynˆ ome de la forme :

a

T + a

T

+ a

T

+ · · · + a

T

∈

[T].

Ces polynˆ omes sont ´ evidemment stables par addition mais ils le sont aussi par composition. Ils forment ainsi un anneau not´ e

[T ]

(sur lequel les op´ erations sont donc + et ◦). Il se trouve qu’on a un isomorphisme (v´ erification simple laiss´ ee au lecteur) :

Fq

[X, Frob] −→

[T ]

a

+ a

X + · · · + a

X

7→ a

T + a

T

+ · · · + a

T

.

Une grande partie des r´ esultats que nous d´ emontrerons dans la suite sur les polynˆ omes de Ore s’appliquent donc de facto aux polynˆ omes lin´ earis´ es.

c- On prend

=

ou

θ = id

et ∂ =

. Cet exemple est li´ e ` a l’´ etude alg´ ebrique des

´

equations diff´ erentielles lin´ eaires ; plus pr´ ecis´ ement, les ´ el´ ements de

[t][X,

] apparaissent comme des op´ erateurs diff´ erentiels. Dans cet exemple, on peut formellement remplacer

par un autre corps, ´ eventuellement de caract´ eristique positive.

Exemple 1.1.4. Dans

[X, conj], calculons le produit (X −a)(X−b) pour des nombres complexes a et b. On trouve :

(X − a)(X − b) = X

− Xb − aX + ab

= X

− a + ¯ b

X + ab.

En particulier, pour b = −¯ a, on trouve :

(X − a)(X + ¯ a) = X

− |a|

.

Si c est un nombre r´ eel strictement positif, le polynˆ ome X

− c poss` ede ainsi de nombreuses

factorisations dans

[X, conj]. Nous ´ etudierons en d´ etails ces ph´ enom` enes dans la suite de ce

cours.

Notion de degr´ e. La notion de degr´ e, classique dans le cadre des polynˆ omes commutatifs, s’´ etend sans difficult´ es aux polynˆ omes de Ore.

D´ efinition 1.1.5. Le degr´e d’un polynˆ ome de Ore P = a

+ a

X + · · · + a

X

∈

] est le plus grand entier i pour lequel a

6= 0.

La proposition suivante est imm´ ediate.

Proposition 1.1.6. Pour P, Q ∈

deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q) (5)

deg(P Q) ≤ deg P + deg Q. (6)

De plus, l’in´egalit´e (5) est une ´egalit´e d`es que deg(P ) 6= deg Q et l’in´egalit´e (6) est une ´egalit´e d`es que

est int`egre et que le morphisme θ est injectif.

Notons que lorsque l’anneau de base

est un corps, le morphisme θ est n´ ecessairement injectif.

Ainsi l’´ egalit´ e deg(P Q) = deg P + deg Q vaut inconditionnellement dans ce contexte.

1.2 Deux isomorphismes entre anneaux de polynˆ omes de Ore

Les anneaux de Ore que nous venons de d´ efinir sont reli´ es entre eux par diff´ erents isomor- phismes qui, dans certains cas, s’av´ erent tr` es utiles pour r´ eduire le champ d’´ etude. Dans ce num´ ero, nous d´ etaillons deux tels isomorphismes. Le premier est ce que l’on appelle parfois le twist d’Hilbert. Il est particuli` erement utile dans le cas l’anneau de base

est un corps car il permet alors de se ramener soit ` a θ = id, soit ` a ∂ = 0, ce qui peut ˆ etre tr` es commode dans certains cas. Le second isomorphisme que nous pr´ esentons permet d’interpr´ eter, sous certaines hypoth` eses, l’anneau oppos´ e d’un anneau de Ore comme un nouvel anneau de Ore associ´ e ` a de nouveaux param` etres. Cette isomorphisme est particuli` erement agr´ eable pour

passer les propri´ et´ es de gauche ` a droite

et vice-et-versa.

1.2.1 Twist d’Hilbert

Le twist d’Hilbert est un changement de variable affine qui a pour effet de modifier la d´ erivation jusqu’` a l’annuler dans certains cas favorables. En guise de pr´ eliminaire, remarquons qu’´ etant donn´ e un endomorphisme d’anneaux θ :

→

∂ = θ − id

est une θ- d´ erivation de K. En effet, ∂ est clairement additive comme diff´ erence de deux fonctions additives et, de plus, pour a, b ∈

∂(ab) = θ(ab) − ab = θ(a)θ(b) − ab = θ(a)(θ(b) − b) + (θ(a) − a)b = θ(a)∂(b) + ∂(a)b.

Proposition 1.2.1. Soient ∂

et ∂

deux d´erivations de K li´es par la formule ∂

= ∂

− c · (θ − id

).

Alors on a un isomorphisme :

A[X1

, θ, ∂

] −→

, θ, ∂

] X

7→ X

+ c.

D´emonstration. Il suffit de v´ erifier que, pour a ∈

egalit´ e : (X

+ c) · a = θ(a)(X

+ c) + ∂

(a) ce qui est imm´ ediat.

Proposition 1.2.2. On suppose qu’il existe a ∈

tel que θ(a) − a soit inversible dans

Alors toute θ-d´erivation sur

est de la forme c · (θ − id

) pour un c ∈

'

0] pour toute d´erivation ∂ : K → K.

Remarque 1.2.3. En d’autres termes, la proposition affirme que, sous l’hypoth` ese d’existence d’un ´ el´ ement a tel que θ(a) − a est inversible, le

θ-d´ erivations sur

est libre de rang 1, engendr´ e par (θ − id

).

D´emonstration de la proposition

On pose ∂

= θ − id

, on sait que c’est une θ-d´ erivation.

Soit ∂ une deuxi` eme θ-d´ erivation. Pour x ∈

ecrire :

∂(ax) = θ(a)∂(x) + ∂(a)x

= ∂(xa) = θ(x)∂(a) + ∂(x)a.

On en tire ∂(x) =

0(a)

· ∂

(x). Par cons´ equent, ∂ = c∂

avec c =

0(a)

. La deuxi` eme assertion de la proposition r´ esulte de la premi` ere en vertu de la proposition

Lorsque

= K est un corps, l’existence d’un ´ element a ∈

tel que θ(a) − a est inversible est assur´ ee d` es lors que θ n’est pas l’identit´ e. Ainsi, sous ces hypoth` eses, la proposition

assure que K[X, θ, ∂] ' K[X, θ, 0] pour toute θ-d´ erivation ∂. Ainsi, lorsque

= K est un corps, on a l’alternative suivante : soit θ = id

, soit θ 6= id

et on peut alors supposer, quitte ` a appliquer un twist d’Hilbert, que ∂ = 0. Autrement dit, lorsque

= K, on peut s´ eparer l’´ etude des anneaux de Ore K[X, θ, ∂] en deux cat´ egories : celles des anneaux de Ore

purement endomorphiques

K[X, θ, 0] et celles des anneaux

purement diff´ erentiels

K[X, id

, ∂]. Dans la suite de ce cours, on utilisera les notations simplifi´ ees K[X, θ] pour K[X, θ, 0] et K[X, ∂] pour K[X, id

, ∂] ; cela ne prˆ etera pas ` a confusion.

L’anneau oppos´ e de

]

Rappelons que l’oppos´ e d’un anneau non commutatif (A, +, ×) est l’anneau (A, +, &) o` u la multiplication & est d´ efinie par a&b = b × a. Dans la suite, on notera A

l’anneau oppos´ e de A.

Le but de ce paragraphe est de montrer que, lorsque θ est bijectif, l’anneau oppos´ e de

est encore un anneau de polynˆ omes de Ore.

Lemme 1.2.4. On suppose que θ est bijectif. Soit ∂ :

→

une θ-d´erivation, alors ∂ ◦ θ

est une (θ

)-d´erivation.

D´emonstration. Il s’agit d’une simple v´ erification. Posons d = ∂ ◦ θ

. Il est clair que d est additif.

Par ailleurs, pour a, b ∈

d(ab) = d(ba) = ∂(θ

(b)θ

(a)) = b d(a) + d(b) θ

(a) ce qui conclut.

Proposition 1.2.5. On suppose que θ est bijectif. Alors, l’application :

−→

, θ

, −∂ ◦ θ

] P =

i

a

X

7→ P

=

i

(X

)

a

est un isomorphisme qui pr´eserve le degr´e. De plus, pour tout P ∈

(P

)

= P . D´emonstration. D´ esignons par f l’application

]

→

, θ

, −∂ ◦ θ

] d´ efinie dans l’´ enonc´ e de la proposition. Clairement f est additif et pr´ eserve le degr´ e. Grˆ ace ` a l’additivit´ e et la distributivit´ e, il suffit, pour ´ etablir que f est un morphisme d’anneaux, de d´ emontrer que f (aX · bX) = f (bX) · f (aX ) pour a et b dans

f (aX · bX) = f aθ(b)X

+ a∂(b)X

= (X

)

· aθ(b) + X

· a∂(b) (7)

f (bX) · f (aX ) = X

b · X

a = X

· (bX

) · a. (8)

Remarquons de plus que X

θ(b) = bX

− ∂(b). Ainsi bX

= X

θ(b) + ∂(b). En ins´ erant cette derni` ere ´ egalit´ e dans (8), on obtient f (bX) · f(aX) = (X

)

· θ(b)a + X

· ∂(b)a. Il ne reste plus maintenant qu’` a comparer avec (7) pour en d´ eduire l’´ egalit´ e souhait´ ee.

Si θ

= θ

et ∂

= −∂ ◦ θ

, on remarque que (θ

)

= (θ

)

= θ et (∂

)

=

−∂

◦ (θ

)

= ∂. Soit f

:

, θ

, ∂

]

→

−∂] le morphisme d’anneaux construit

`

a partir de l’anneau de Ore

, θ

, ∂

]. La compos´ ee f

◦f est un endomorphisme d’anneaux de

op] qui fixe les constantes ainsi que la variable X. On en d´ eduit que f

◦ f = id. De mˆ eme, on v´ erifie que f ◦ f

= id. Il est r´ esulte que f est bijectif et que (P

)

comme annonc´ e dans l’´ enonc´ e de la proposition.

1.3 Division euclidienne et cons´ equences

On suppose dans ce num´ ero que

est un corps et on le note K. L’anneau de Ore K[X, θ, ∂]

est alors muni d’une division euclidienne ` a droite qui, de mˆ eme que dans le cas des polynˆ omes classiques, est un outil pour ´ etudier les propri´ et´ es arithm´ etiques des polynˆ omes de Ore. Le r´ esultat pr´ ecis s’´ enonce comme suit.

Proposition 1.3.1 (Division euclidienne ` a droite). Soient A, B ∈ K[X, θ, ∂] avec B non nul. Il existe un unique couple (Q, R) ∈ K[X, θ, ∂ ]

tel que A = QB + R et deg R < deg B.

D´emonstration. Commenc¸ons par d´ emontrer l’unicit´ e. Pour cela, on suppose qu’il existe deux

´

ecritures A = Q

B + R

= Q

B + R

v´ erifiant les conditions de la proposition. ` A partir de l` a, on obtient directement (Q

−Q

)B = R

−R

. Or deg(R

−R

) < deg B , tandis que deg(Q

−Q

)B = deg(Q

−Q

) + deg B grˆ ace ` a l’injectivit´ e de θ (r´ esultant, elle-mˆ eme, du fait que l’anneau de base K est un corps). Ces deux ´ egalit´ es ne peuvent avoir lieu que si Q

= Q

et, par suite, R

= R

. L’unicit´ e est d´ emontr´ ee.

Pour l’existence, on proc` ede par r´ ecurrence sur la diff´ erence deg A − deg B. Si cette diff´ erence est n´ egative, c’est-` a-dire si deg A < deg B, la division euclidienne de A par B s’´ ecrit A = 0×B +A.

Sinon, notons n (resp. m) le degr´ e de A (resp. de B) et a

(resp. b

) son coefficient dominant.

Consid´ erons le polynˆ ome P = A − λX

B avec λ = a

θ

(

m

). Il est construit de mani` ere ` a ˆ

etre de degr´ e au plus n−1. L’hypoth` ese de r´ ecurrence s’applique donc au couple (P, B) : il existe des polynˆ omes de Ore Q

, R

∈ K[X, θ, ∂] tels que P = Q

B + R

et deg R

< deg B . Revenant ` a la d´ efinition de P, on trouve A = (λX

+ Q

)B + R

et l’existence de la division euclidienne ` a droite est d´ emontr´ ee.

Notez bien, cependant, qu’il n’existe pas de division euclidienne ` a gauche en g´ en´ eral :

´

etant donn´ e A, B ∈ K[X, θ, ∂] avec B 6= 0, on ne peut pas toujours ´ ecrire A = BQ + R avec deg R < deg B . Par exemple, dans l’anneau de Ore

(t)[X, θ : t 7→ t

] la division euclidienne ` a gauche de tX par X n’existe pas. En effet, une telle division euclidienne s’´ ecrirait n´ ecessairement tX = Xq(t) + r(t) avec q, r ∈

(t) et, en identifiant les coefficients en X, on obtiendrait t = θ(q(t)) = q(t

), ce qui n’est manifestement pas possible. Toutefois, la division euclidienne ` a gauche existe toutefois lorsque θ est bijectif. Cela r´ esulte du second isomorphisme du §1.2.

La propri´ et´ e suivante est imm´ ediate mais elle nous sera bien utile ` a plusieurs reprises dans la suite de ce cours.

Proposition 1.3.2. Soient A, B ∈ K[X, θ, ∂ ] avec deg A ≥ deg B et B non nul. Alors, le quotient Q de la division euclidienne ` a droite de A par B a pour degr´e deg Q = deg A − deg B.

Cas particuliers et exemples

En pratique, la division euclidienne dans les anneaux de Ore se pose de la mˆ eme mani` ere que

dans un anneau de polynˆ omes commutatif. Par exemple, dans l’anneau

], la division ` a

droite de X

+ (3−t

)X

+ tX par X − t

se pose de la mani` ere suivante :

X

+ (3−t

)X

+ tX + (3t+1) X − t

− X

− t

X

− 4tX − 2

X

+ 3X + (t

+ 5t) 3X

+ 5tX + (3t+3)

− 3X

− t

X − 2t (t

+5t)X + (5t+3)

− (t

+5t)X − (t

+5t

) t

+5t

+5t+3

Le quotient est X

+ 3X + (t

+5t) tandis que le reste est t

+5t

+5t+3.

´ Etant donn´ e que θ = id

est bijectif dans cet exemple, il est ´ egalement possible d’effectuer la division euclidienne ` a gauche des polynˆ omes pr´ ec´ edents. On obtient, ce faisant, le calcul diff´ erent suivant :

X

+ (3−t

)X

+ tX + (3t+1) X − t

− X

− t

X

X

+ 3X + (3t

+ t) 3X

+ tX + (3t+1)

− 3X

− 3t

X

(3t

+t)X + (3t+1)

− (3t

+t)X − (−3t

−t

+6t+1) 3t

+t

+3t

qui conduit ´ egalement ` a un r´ esultat diff´ erent : le quotient, ` a pr´ esent, est X

+ 3X + (3t

+t) et le reste 3t

+t

+3t.

Lorsque ∂ = 0, il existe une formule simple donnant le reste de la division euclidienne ` a droite par un polynˆ ome de Ore de degr´ e 1 comme le pr´ ecise le lemme suivant.

Lemme 1.3.3. Soient a, a

, . . . , a

∈ K. Dans l’anneau K[X, θ], le reste de la division euclidienne

`

a droite de a

X

+ a

X

+ · · · + a

X + a

par X − a est :

n

X

i=0

a

a θ(a) · · · θ

(a).

D´emonstration. On proc` ede par r´ ecurrence sur n. Lorsque n = 0, il n’y a rien ` a d´ emontrer. Sinon,

´

ecrivons A = a

X

+ · · · + a

X + a

et, comme dans la d´ emonstration du th´ eor` eme de la division euclidienne (cf proposition

P = A − a

X

(X − a) = (a

+ a

θ

(a))X

+ a

X

+ · · · + a

X + a

. Clairement P a mˆ eme reste que A dans la division euclidienne ` a droite par X − a. On conclut alors en utilisant l’hypoth` ese de r´ ecurrence.

En particulier, lorsque a est de la forme a =

(pour b ∈ K), on obtient le corollaire suivant.

Corollaire 1.3.4. Soient b, a

, . . . , a

∈ K avec b 6= 0. Dans l’anneau K[X, θ], le reste de la division euclidienne ` a droite de a

X

+ a

X

+ · · · + a

X + a

par X −

est

i=0

a

θ

(b).

Il est int´ eressant de remarquer que ce dernier corollaire admet un analogue dans le cadre

diff´ erentiel dont l’´ enonc´ e s’obtient, de mani` ere relativement troublante, en remplac¸ant formelle-

ment chaque instance de θ par ∂.

Lemme 1.3.5. Soient g, f

, . . . , f

∈ K avec g 6= 0. Dans l’anneau K[X, ∂], le reste de la division euclidienne ` a droite de f

X

+ f

X

+ · · · + f

X + f

par X −

est

i=0

f

∂

(g).

D´emonstration. Il suffit de montrer que, pour tout entier n ≥ 0, le reste de la division euclidienne de X

par X −

est ´ egal ` a

. On proc` ede par r´ ecurrence sur n. Pour n = 0, l’assertion est clairement vraie. Supposons ` a pr´ esent qu’elle le soit pour l’entier n, c’est-` a-dire que l’on ait une ´ ecriture de la forme X

= P

(X) · X −

+

pour un certain polynˆ ome de Ore P

(X) ∈ K[X, ∂]. En multipliant l’´ egalit´ e pr´ ec´ edente par X ` a gauche, on obtient la relation :

X

= X · P

(X) ·

X −

+ X ·

= X · P

(X) ·

X −

+

X +

−

·

=

X · P

(X) +

·

X −

+

d’o` u on d´ eduit l’assertion souhait´ ee au rang n+1.

Remarque 1.3.6. L’ensemble des applications additives de K dans lui-mˆ eme pour les lois d’addition et de composition. Notons-le End

(K). Pour • = θ ou ∂, on dispose d’une application d’´evaluation :

K[X, •] −→

End

(K)

P (X) = a

+ a

X + · · · + a

X

7→ P (•) = a

+ a

• + · · · + a

•

.

qui, aussi bien dans le cas d’un endomorphisme que dans celui d’un d´ erivation, s’av` ere ˆ etre un morphisme d’anneaux. De plus, le corollaire

(dans le cas d’un endomorphisme) et le lemme

(dans le cas d’une d´ erivation) font le lien entre ce morphisme d’´ evaluation et le reste dans la division euclidienne ` a droite par un polynˆ ome de Ore de degr´ e 1.

Principalit´ e des anneaux de polynˆ omes de Ore

Au niveau structurel, l’existence d’une division euclidienne admet les mˆ emes cons´ equences que dans le cadre commutatif. Si A est un anneau, on rappelle qu’un id´ eal ` a gauche (resp. ` a droite) I de A est un sous-groupe additif de A v´ erifiant la condition suppl´ ementaire suivante : pour tout a ∈ A et tout x ∈ I, le produit ax (resp. xa) appartiennent ` a I .

Corollaire 1.3.7. Tout id´eal ` a gauche de K[X, θ, ∂] est principal, i.e. de la forme K[X, θ, ∂] P pour un certain polynˆ ome de Ore P ∈ K[X, θ, ∂ ].

D´emonstration. Soit I un id´ eal ` a gauche de K[X, θ, ∂]. On consid` ere un ´ el´ ement B ∈ I non nul de degr´ e minimal. Soit A dans I. On ´ ecrit la division euclidienne de A par B : on a A = QB + R avec deg R < deg B . De l’´ egalit´ e R = A−QB, on d´ eduit que R ∈ I. Par la condition de minimalit´ e sur le degr´ e, il en r´ esulte que R = 0. Ainsi A = QB . L’id´ eal I est donc l’id´ eal principal engendr´ e par B .

Remarque 1.3.8. Lorsque θ est bijectif, il existe une division euclidienne ` a gauche sur K[X, θ, ∂],

`

a partir de quoi on d´ eduit comme ci-dessus que K[X, θ, ∂] est aussi principal ` a droite.

De mˆ eme que dans le cadre commutatif, l’existence d’une division euclidienne entraˆıne aussi

l’existence de

, de

ainsi que la validit´ e d’un th´ eor` eme de B´ ezout. Il faut n´ eanmoins

faire attention ` a ne pas m´ elanger la gauche et la droite. Pr´ ecis´ ement, fort d’une division ` a droite,

on peut d´ efinir un

` a droite (not´ e

) et un

` a gauche (not´ e

) comme suit.

D´ efinition 1.3.9. Etant donn´ ´ es A, B ∈ K[X, θ, ∂], on note

(A, B) et

(A, B) les deux polynˆ omes unitaires pour lesquels :

K[X, θ, ∂] P + K[X, θ, ∂] B = K[X, θ, ∂]

(A, B) K[X, θ, ∂] P ∩ K[X, θ, ∂] B = K[X, θ, ∂]

(A, B).

On dispose en outre d’une variante non commutative de l’algorithme d’Euclide permettant de calculer des

et des

. Pour l’expliquer consid´ erons deux polynˆ omes de Ore A, B ∈ K[X, θ, ∂] avec B 6= 0. Posons R

= A, R

= B et, pour i ≥ 2, tant que R

6= 0, d´ efinissons R

comme le reste de la division euclidienne de R

par R

.

Proposition 1.3.10. Avec les notations pr´ec´edentes, si n est le plus grand entier pour lequel R

6= 0, on a

(A, B) =

n)

· R

o` u lc(R

) d´esigne le coefficient dominant de R

.

D´emonstration. Soit i ∈ {1, . . . , n}. De l’´ ecriture R

= R

− Q

R

(pour un Q

∈ K[X, θ, ∂]), on d´ eduit que les id´ eaux ` a gauche de K[X, θ, ∂] engendr´ es par R

et R

, d’une part, et par R

et R

, d’autre part, co¨ıncident. Par r´ ecurrence, il s’ensuit que l’id´ eal engendr´ e par R

= A et R

= B est ´ egal ` a l’id´ eal engendr´ e par R

(puisque R

= 0). La proposition en d´ ecoule.

De mˆ eme que dans le cas commutatif, on peut ´ etendre l’algorithme d’Euclide pour calcu- ler en mˆ eme temps les coefficients de B´ ezout. Pour ce faire, on conserve la suite R

d´ efinie pr´ ec´ edemment mais on d´ efinit de plus de nouvelles suites de polynˆ omes de Ore (U

)

et (V

)

par les formules r´ ecurrentes suivantes :

U

= 1, V

= 0, U

= 0, V

= 1 U

= U

− Q

U

, V

= V

− Q

V

o` u Q

d´ esigne le quotient de la division euclidienne de R

par R

. Il est imm´ ediat de v´ erifier par r´ ecurrence que U

A + V

B = R

pour tout entier i. Ainsi, en posant U =

n)

· U

et V =

n)

· V

, on obtient la relation de B´ ezout :

U A + V B =

(A, B).

On dispose de plus, de mˆ eme que dans le cas commutatif, d’une formule pour les degr´ es des polynˆ omes U

et V

(qui vaut donc ´ egalement, en particulier, pour les coefficients de B´ ezout U et V ), donn´ ee par le lemme suivant :

Lemme 1.3.11. Pour tout entier i ∈ {2, 3, . . . , n+1}, on a

deg U

= deg B − deg R

et deg V

= deg A − deg R

.

D´emonstration. Sans nuire ` a la g´ en´ eralit´ e, on peut supposer deg A ≥ deg B. Nous allons montrer le r´ esultat par r´ ecurrence sur i. Lorsque i = 2, on a U

= 1, V

= −Q

et R

= B, ` a partir de quoi les formules annonc´ ees se v´ erifient sans peine. Pour i ∈ {3, . . . , n}, il suit de l’hypoth` ese de r´ ecurrence que :

deg U

= deg B − deg R

si i > 3

= −∞ si i = 3

deg Q

U

= deg Q

+ deg U

= deg R

− deg R

+ deg B − deg R

= deg B − deg R

.

On en d´ eduit que deg U

< deg Q

U

et, par suite, que le degr´ e de U

= U

− Q

U

est ´ egal

`

a celui de Q

U

, c’est-` a-dire ` a deg B − deg R

. On d´ emontre exactement de la mˆ eme mani` ere que

deg V

= deg A − deg R

, ce qui termine la r´ ecurrence.

L’algorithme d’Euclide permet ´ egalement de calculer le

. En effet, au rang i = n + 1, la relation U

A + V

B = R

conduit ` a l’´ egalit´ e U

A = −V

B. Ainsi cette quantit´ e commune apparaˆıt comme un multiple ` a gauche commun de A et de B. Il s’av` ere en fait que celle-ci est bel et bien le

(` a un facteur de renormalisation pr` es) comme le pr´ ecise la proposition suivante.

Proposition 1.3.12. Avec les notations pr´ec´edentes, on a :

LLCM

(A, B) = U

A

lc(U

A) = V

B lc(V

B) .

D´emonstration. Pour la d´ emonstration, nous avons besoin d’anticiper l´ eg` erement sur des r´ esultats

`

a venir et admettre temporairement la proposition suivante (qui sera d´ emontr´ ee au §1.4, voir proposition

et la remarque qui la suit).

Proposition 1.3.13. Pour A, B ∈ K [X, θ, ∂] avec (A, B) 6= (0, 0), on a : deg

(A, B) + deg

(A, B) = deg A + deg B.

Fort de ce r´ esultat, on peut argumenter comme suit. Tout d’abord, on remarque que, par le lemme

deg U

= deg B − deg R

et donc deg U

= deg B − deg

(A, B) d’apr` es la proposition

deg(U

A) = deg A + deg B − deg

(A, B) = deg

(A, B) (9) la derni` ere ´ egalit´ e r´ esultant de la proposition

U

A est un multiple commun

`

a A et B, il est aussi un multiple de

(A, B) et l’in´ egalit´ e (9) implique donc que U

A et

LLCM

(A, B) sont ´ egaux ` a multiplication pr` es par un scalaire non nul.

1.4 Modules sur les anneaux de polynˆ omes de Ore

L’´ etude des modules sur les anneaux

est int´ eressante ` a plusieurs titres. Premi` erement, elle permet de faire le pont entre les polynˆ omes de Ore, d’une part, et l’alg` ebre semi-lin´ eaire ou la th´ eorie des ´ equations diff´ erentielles lin´ eaire, d’autre part. Elle donne ainsi aux anneaux de Ore une dimension nouvelle. Deuxi` emement, l’introduction de m´ ethodes alg´ ebriques issues de la th´ eorie des modules permet de clarifier certaines constructions (comme nous l’avons d´ ej` a entrevu dans le cas des

et

) et, plus g´ en´ eralement, offre un nouveau regard et une nouvelle intuition, souvent tr` es fructueux, sur les polynˆ omes de Ore.

A toutes fins utiles, on commence par rappeler la d´ ` efinition suivante.

D´ efinition 1.4.1. Soit R un anneau non n´ ecessairement commutatif. Un R-module ` a gauche est un groupe commutatif M muni d’une multiplication externe R × M → M, (a, x) 7→ a · x v´ erifiant les axiomes suivants :

• a · (x + y) = ax + ay,

• (a + b) · x = ax + by,

• 1 · x = x,

• a · (bx) = (ab) · x pour a, b ∈ R et x, y ∈ M.

´ Etant donn´ e un anneau

commutatif, on rappelle que la donn´ ee d’un

´

equivalente ` a la donn´ ee d’un

eaire, ce dernier endo- morphisme correspondant ` a la multiplication par X. De la mˆ eme mani` ere, la donn´ ee d’un module

`

a gauche sur

] est ´ equivalente ` a la donn´ ee d’un

M muni d’une application additive f : M → M telle que :

∀a ∈

∀x ∈ M, f (ax) = θ(a)f (x) + ∂(a)x. (10)

De la mˆ eme mani` ere que les polynˆ omes interviennent dans les th´ eor` emes de r´ eduction des applications lin´ eaires, les polynˆ omes de Ore peuvent ˆ etre utilis´ es pour ´ etudier les endomorphismes v´ erifiant l’axiome (10). Lorsque ∂ = 0, l’axiome (10) est celui des applications semi-lin´ eaires tandis que lorsque θ = id

, c’est celui des d´ erivations/connexions.

Dans le cas g´ en´ eral, une application additive v´ erifiant l’axiome (10) s’appelle une transforma- tion pseudo-lin´eaire. Ces transformations ont ´ et´ e introduites et ´ etudi´ ees par Jacobson dans [15] ; nous y reviendrons plus en d´ etails au §??.

Modules cycliques. Afin de pr´ eciser encore davantage les liens entrevus ci-dessus et d’´ etablir des r´ esultats concrets dans cette direction, nous nous proposons d’´ etudier en d´ etails l’exemple des modules cycliques. ` A partir de maintenant, nous supposons pour simplifier que l’anneau de base

est un corps et on le note K.

D´ efinition 1.4.2. Un K[X, θ, ∂ ]-module ` a gauche est dit cyclique s’il est engendr´ e par un unique

´

el´ ement.

Soit M un K[X, θ, ∂] un module cyclique. Soit x ∈ M un g´ en´ erateur. L’application lin´ eaire naturelle f

: K[X, θ, ∂ ] → M , A 7→ Ax est alors surjective. De plus, son noyau est un id´ eal ` a gauche, il est donc de la forme K[X, θ, ∂ ]P pour un certain polynˆ ome de Ore P , ´ eventuellement nul. Il s’ensuit que f

induit un isomorphisme :

M ' M

avec M

= K[X, θ, ∂ ]/K[X, θ, ∂] P.

Autrement dit, tout module cyclique est de la forme M

pour un certain polynˆ ome de Ore P . Le lemme suivant est une ´ evidence mais il nous sera tr` es utile.

Lemme 1.4.3. Tout K[X, θ, ∂]-module contient un module cyclique.

D´emonstration. Il suffit de consid´ erer le sous-module engendr´ e par n’importe quel ´ el´ ement.

Les propositions qui suivent font le lien entre la factorisation dans K[X, θ, ∂] et la d´ ecomposition des modules cycliques.

Proposition 1.4.4. Soit P ∈ K[X, θ, ∂]. La fonction A 7→ M

r´ealise une bijection de l’ensemble des diviseurs ` a droite unitaires de P dans l’ensemble des quotients de M

.

De plus, si P s’´ecrit P = BA (avec A, B ∈ K[X, θ, ∂]), le noyau de la projection canonique M

→ M

est canoniquement isomorphe ` a M

(via la multiplication ` a droite par A) de sorte que l’on a une suite exacte :

0 → M

→ M

→ M

→ 0. (11)

D´emonstration. Soit M un quotient de M

. Soit f : K[X, ∂, θ] → M

→ M la compos´ ee des deux projections canoniques. Le noyau de f est un id´ eal de K[X, ∂, θ] qui contient P . D’apr` es le corollaire

K[X, ∂, θ]A pour un certain polynˆ ome de Ore A. De plus, A est uniquement d´ etermin´ e si on demande qu’il soit unitaire. Enfin, le fait que P ∈ ker f indique que A est un diviseur ` a droite de P. On a ainsi d´ emontr´ e, qu’en tant que quotient de M

, M est isomorphe ` a M

. La premi` ere assertion de la proposition en r´ esulte.

Pour d´ emontrer la seconde assertion, notons tout d’abord que, d’apr` es ce qui vient d’ˆ etre

fait, nous savons d´ ej` a que le noyau de la projection M

→ M

est ´ egal au sous-module

M

A. Ainsi il suffit de d´ emontrer que la multiplication ` a droite par A induit un isomorphisme

M

→ M

A. Cela r´ esulte du fait que l’application K[X, ∂, θ] → K[X, ∂, θ], R 7→ RA r´ ealise une

bijection K[X, ∂, θ] → K[X, ∂, θ] A qui envoie K[X, ∂, θ] B sur K[X, ∂, θ] P et induit ainsi un

isomorphisme au niveau des quotients.