Th´ eor` emes de structure - Polynômes de Ore en une variable

Bien que la d´efinition des alg`ebres simples centrales paraissea priorirelativement souple et

semble laisser la porte ouverte `a des nombreux exemples vari´es, il se trouve qu’il n’en est rien et,

qu’au contraire, la théorie qui en résulte est très rigide, comme nous allons le voir tout au long

de cette partie.

3.2.1 Le th´eor`eme d’Artin–Wedderburn

UneK-algèbre à divisionsest uneK-algèbre (non nécessairement commutative) dans laquelle

tout élément non nul est inversible. Il est clair que toute algèbre à divisions est simple puisqu’un

idéal contenant un élément inversible est nécessairement trivial.

Théorème 3.2.1 (Artin–Wedderburn). TouteK-algèbre simple centraleAest isomorphe àM

(D)

pour une certaineK-alg`ebre `a divisions centraleD.

Démonstration. SoitAune algèbre simple centrale surk. On considère unA-module irréductible

S. On d´efinitD

⁰

=End

(S)comme l’ensemble des endomorphismesA-lin´eaires deS. Clairement

Dest uneK-alg`ebre. Soitf ∈D

⁰

,f 6= 0. Le noyau def est un sous-A-module strict deS. Par

simplicité, on en déduit qu’il est nul, c’est-à-dire quef est injective. De même, l’image def est

un sous-A-module non nul deSet est donc ´egale `aS tout entier. Ainsif est surjective. Il s’ensuit

quef est bijective. En résumé, nous venons de démontrer que tout élément non nul deD

⁰

est

inversible, d’o`u on d´eduit queD

⁰

est une alg`ebre `a divisions.

On munitSd’une structure deD

⁰

-espace vectoriel `a gaucheviala loi de multiplication externe

f·s=f(s)pourf ∈Dets∈S. Il se trouve que la th´eorie des espaces vectoriels sur les alg`ebres

`

a divisions est similaire à la théorie classique sur les corps (cf appendiceA.2pour plus de détails).

En particulier,S admet une base sur D

⁰

et le choix d’une telle base identifie End

_D0

(S)`a une

algèbre de matrices sur l’algèbre à divisions opposéeD= (D

⁰

)

^op

. Par ailleurs, pour touta∈A,

l’applicationm

:S →S, s7→asest dans End

_D0

(S). On obtient de cette mani`ere un morphisme

d’anneauxϕ:A→End

_D0

(S). Son noyau est un idéal bilatère deA. Par simplicité, on en déduit

queϕest injective. Nous allons montrer que c’est en fait un isomorphisme.

Soit f ∈ End

_D0

(S). On veut montrer que f est la multiplication par un certain ´el´ement

a ∈ A. Pour cela, on fixe une base (v

, . . . , v

) deS surk. On note End

(S

ⁿ

) l’ensemble des

endomorphismesA-lin´eaires deS

ⁿ

. Concr`etement, sachant que End

(S) =D

⁰

, on d´eduit que

tout morphisme dans End

(S

ⁿ

)est de la forme :

(s

₁

, . . . , s

)7→ P

i=1

d

_i,₁

(s

), . . . ,P

i=1

d

_i,n

(s

)

pour desd

i,j

∈D

⁰

. Autrement dit End

(S

ⁿ

)s’identifie canoniquement `aM

(D

⁰

). On consid`ere

l’application f

: S

ⁿ

→ S

ⁿ

, (s

₁

, . . . , s

) 7→ (f(s

₁

), . . . , f(s

)). On d´eduit de la description

pr´ec´edente que f

commute `a tout morphisme de End

(S

) puisque, par d´efinition, f est

D

⁰

-lin´eaire et donc commute `a tous lesd

i,j

.

Posonsv = (v

₁

, . . . , v

) ∈ S

ⁿ

et notonsAv le sous-A-module deS

ⁿ

engendr´e parv. ´Etant

donn´e un sous-ensembleI de{1, . . . , n}, notonsS

le sous-ensemble deS

ⁿ

form´e desn-uplets

(s

, . . . , s

) pour lesquelss

= 0 d`es quei ∈ I. SoitI un sous-ensemble de cardinal maximal

de{1, . . . , n}tel que Av∩S

= 0. Montrons queAv+S

=S

ⁿ

. Pour cela, il suffit de v´erifier

queS

⊂Av+S

pour touti. Or par simplicit´e deS

, l’intersectionS

∩(Av+S

)est soit ´egale

`

a S

, soit égale à 0. Dans le premier cas, l’inclusion annoncée est prouvée tandis que, dans le

second cas, on d´eduitAv∩S

_I∪{i}

= 0, ce qui contredit la maximalit´e deI. En conclusion, on

obtientAv⊕S

=S

ⁿ

, la somme ´etant directe puisqueS

est choisi de fac¸on `a ce queAv∩S

= 0.

Soulignons queAv etS

sont tous les deux desA-modules et que la d´ecomposition ci-dessus est

compatible `a la structure deA-module.

Soitπ : S

ⁿ

→ S

ⁿ

la projection sur Av correspondant `a la d´ecomposition S

ⁿ

= Av⊕S

que l’on vient d’´etablir. Du fait queπ ∈End

(S

ⁿ

), on d´eduit queπ commute `a f

et donc, en

particulier, quef

(v

, . . . , v

) =π◦f

(v

, . . . , v

)∈Av. Autrement dit, il existea∈Atel que

f(v

) =av

pour touti. Comme la famille(v

₁

, . . . , v

)engendreS surk, on en d´eduit quef est

la multiplication para. Autrement dit,f =ϕ(a)et on a ainsi trouvé un antécédent àf parϕ.

Il résulte de ce qui précède queA ' M

(D). Il ne reste donc plus qu’`a d´emontrer que le

centre deD estK. Soit doncd∈D un ´el´ement central. Du fait quedcommute avec tous les

´

eléments deD, on déduit plus généralement qu’il commute avec tous les matrices deM

(D),

c’est-à-dire avec tous les éléments deA. Étant donné queAest centrale par hypothèse, on obtient

finalementd∈K.

Il est en général possible d’avoir, à peu de frais, des renseignements supplémentaires sur

l’algèbre à divisionsDpromise par le théorème d’Artin–Wedderburn. Tout d’abord, il se trouve

qu’elle est entièrement déterminée (à isomorphisme près) par A. C’est une conséquence de

l’´equivalence de Morita que nous exposerons au§3.2.3(voir proposition3.2.9).

Par ailleurs, siK est un corps fini, on a n´ecessairementD=K; c’est une cons´equence directe

du théorème de Wedderburn qui affirme que toute algèbre à divisions finie est commutative

[4, Théorème III.5]. Lorsque K = _R, on peut montrer queD = _Rou D = _H (l’algèbre des

quaternions introduites précédemment). Dans le cas général, les algèbres à divisions de centre

K sont classifi´ees par ce que l’on appelle legroupe de Brauerde K. Il existe des outils puissants

(de nature cohomologique) pour ´etudier ce groupe. On renvoie le lecteur `a [10,24] pour de

nombreux compl´ements `a ce sujet.

3.2.2 Extension des scalaires

SoitAuneK-alg`ebre simple centrale. SiLest une extension deK, il est possible de former

le produit tensorielL⊗

A, qui est uneL-alg`ebre. Concr`etement, si(λ

)

i∈I

est une base deLsur

K, tout ´el´ement deL⊗

As’´ecrit de mani`ere unique sous la formex=P

i∈I

λ

⊗a

pour une

famille(a

)

i∈I

d’éléments deApresque tous nuls. Le produit, quant à lui, se calcule

coordonn´ee

par coordonn´ee

par la formule :

(λ⊗a)·(µ⊗b) = (λµ)⊗(ab)

pourλ, µ∈Leta, b∈A.

Proposition 3.2.2. Soit A uneK-alg`ebre simple centrale. AlorsL⊗

A est une alg`ebre simple

centrale surL.

D´emonstration. Le fait que L⊗

A soit centrale r´esulte ais´ement de la description explicite

que nous avons donnée ci-dessus. Montrons à présent queL⊗

Aest simple. SoitI un id´eal

bilat`ere non nul deL⊗

A. Considérons un élémentx∈ I,x6= 0que l’on écrit sous la forme

x=P

i∈I

λ

⊗x

pour une famille(x

)

i∈I

d’´el´ements deApresque tous nuls. Choisissonsxde

sorte que le nombre dex

non nuls soit minimal. Fixons un indicei

pour lequelx

6= 0. L’id´eal

bilat`ere deAengendr´e parx

_i₀

est égal àApar simplicité. Ainsi il existea

₁

, . . . , a

, a

⁰₁

, . . . , a

⁰_m

∈A

tels queP

j=1

a

x

_i₀

a

⁰_j

= 1. L’´el´ementP

j=1

(1⊗a

)·x·(1⊗a

⁰_j

)appartient encore `aI et a une

composante eni

qui est égale à1. Quitte à remplacerxpar ce nouvel élément, on peut supposer

quex

_i₀

= 1. Poura∈A, examinons l’´el´ement deI suivant :

(1⊗a)·x−x·(1⊗a) =^X

i∈I

λ

⊗(ax

−x

a).

Sa composante eni

s’annule puisqu’on a suppos´ex

= 1. Par minimalit´e, les autres composantes

doivent donc s’annuler aussi,i.ex

a=ax

pour touti∈I. Comme ceci vaut pour touta∈A, on

d´eduit que lesx

sont tous centraux. Étant donné queAest uneK-algèbre centrale, cela signifie

quex

∈K pour touti∈I. Il r´esulte de cela quex=P

i∈I

λ

⊗x

est dansL. AinsiL⊗

Aest,

elle aussi, centrale.

Théorème 3.2.3. Soit AuneK-algèbre simple centrale. Il existe une extension finie L/K et un

entierntels queL⊗

A'M

(L)(commeK-alg`ebres).

Démonstration. Considérons une clôture algébrique K^¯ de K et formons le produit tensoriel

¯

A = ¯K ⊗

A. D’apr`es la proposition 3.2.2, A^¯ est une K^¯-alg`ebre simple centrale et, par le

th´eor`eme d’Artin–Wedderburn, est donc de la formeM

(D)pour uneK^¯-alg`ebre `a divisionsD

centrale.

Considéronsx ∈ Det notons K^¯[x]la sous-algèbre deDengendré parx. ClairementK^¯[x]

est commutative et de dimension finie sur K^¯. De plus, elle est int`egre car Dest une alg`ebre

`

a divisions. Ainsi K^¯[x] est une extension de K^¯ et, comme K^¯ est alg´ebriquement clos, on a

nécessairementK^¯[x] = ¯K,i.e.x ∈ K^¯. En conclusion, on a démontré queD= ¯K et donc que

¯

A'M

( ¯K).

Fixons un isomorphismeϕ¯: ¯A'M

( ¯K)et notonsM sa matrice ´ecrite dans desK-bases de

Aet deM

(K)respectivement. SiLd´esigne l’extension finie deK engendr´ee par les coefficients

deM, l’isomorphismeϕ¯provient d’un isomorphisme ϕ

:L⊗

A →M

(L). Le th´eor`eme est

d´emontr´e.

Corollaire 3.2.4. SoitAuneK-alg`ebre simple centrale. La dimension deAsurKest un carr´e.

D´emonstration. SoitA^¯= ¯K⊗

A. Clairementdim

A= dim

_K¯

_A¯. Or, d’après le théorème3.2.3,

¯

A est isomorphe à une algèbre de matrices sur K^¯, d’où on déduit que sa dimension est un

carr´e.

Afin de pouvoir utiliser toute la puissance de la th´eorie de Galois, il est important d’avoir une

version plus précise du théorème3.2.3permettant de choisir l’extensionLgaloisienne surK. Ce

raffinement est l’objet du théorème de Wedderburn–Koethe, énoncé ci-dessous.

Théorème 3.2.5 (Wedderburn–Koethe). SoitAuneK-algèbre simple centrale. Il existe une

exten-sion finies´eparableL/K et un entierntels queL⊗

A'M

(L)(commeK-alg`ebres).

Démonstration. Si K est de caractéristique nulle, le théorème a déjà été démontré puisque

toute extension finie deKest automatiquement s´eparable. Nous supposons donc queKest de

caract´eristiquepavecp >0.

De même que dans la démonstration du théorème3.2.3, il suffit de démontrer que siK est

séparablement clos, il n’existe pas deK-algèbre à divisions non triviale. Soient doncK un corps

séparablement clos etDuneK-algèbre à divisions centrale que l’on suppose non triviale. Soit

x∈D,x6∈K. SoitK[x]le sous-anneau deDengendr´e parx. Il s’agit d’une extension finie de

K. Comme, par hypothèse,K est séparablement clos, l’extension K[x]/K est nécessairement

purement ins´eparable. Autrement dit, il existe un entiermtel quex

^p^m

∈K.

Soitσ:D→D, d7→xdx

⁻1

l’application de conjugaison parx. D’après ce qui précède, on a

σ

^p^m

= 1, soit encore(σ−1)

^p^m

. Soitrl’indice de nilpotence de(σ−1); c’est un entier strictement

sup´erieur `a 1puisquex 6∈ K. Soita ∈K tel que(σ−1)

^r−¹

(a) 6= 0. Posonsu = (σ−1)

^r−¹

(a)

etv = (σ−1)

^r−²

(a)de sorte que l’on ait σ(u) =u etσ(v) =u+v. En posantt =u

⁻¹

v ∈D,

on trouveσ(t) =t+ 1. Ainsi l’endomorphisme deK-alg`ebresσ:D→Dstabilise le sous-corps

commutatifK[t]et agit non trivialement sur celui-ci. Ceci est une contradiction carK est suppos´e

s´eparablement clos.

3.2.3 La th´eorie de Morita

L’équivalence de Morita est un énoncé algébrique très général qui, étant donné un anneauR

quelconque, non nécessairement commutatif, établit un lien étroit entre les modules surM

(R)

et ceux surR.

Avant d’énoncer le résultat de Morita de manière précise, on a besoin d’introduire quelques

objets. Dans tout ce num´ero, on fixe un anneauR(non n´ecessairement commutatif) ainsi qu’un

entier nstrictement positif. On introduit leR-moduleP =R

ⁿ

que l’on identifie `a l’espace des

vecteurs colonne de taillenà coefficients dansR. On voitP à la fois comme un module à droite

sur R et un module `a gauche sur M

(R) via l’action naturelle M ·x = M x (multiplication

matricielle). On note P

le dual alg´ebrique de P. Par d´efinition, P

= Hom

(P, R); c’est

l’ensemble des applications R-linéaires de P dans R. Les éléments de P

peuvent ˆetre ´ecrits

comme des vecteurs ligne, le vecteur ligneL´etant en correspondance avec l’application lin´eaire

`:R

ⁿ

→R, X 7→LX (X´etant vu ici comme un vecteur colonne). On muniP

d’une structure

de module `a gauche surRet de module `a droite surM

(R).

On rappelle par ailleurs qu’étant donné un anneauA, un module à droite M surAet un

module `a gauche N sur A, le produit tensoriel M ⊗

N peut ˆetre d´efini : c’est l’ensemble

des sommes formelles de tenseurs purs x⊗y (avec x ∈ M et y ∈ N) modulo les relations

xa⊗y =x⊗aypoura∈A,x∈M ety ∈N ainsi que les relations usuelles d’additivit´e. Si de

plusM (resp.N) est muni d’une structure supplémentaire de module à gauche (resp. à droite)

sur un anneau auxiliaireB qui commute avec l’action deA, alors le produit tensorielM⊗

N

hérite d’une structure deB-module à gauche (resp. à droite).

Lemme 3.2.6. 1. L’application :

α: P⊗

P

−→ M

(R)

C⊗L 7→ CL

est un isomorphisme de modules `a gauche et `a droite surM

(R).

2. L’application :

β : P

⊗

_M_n₍_R₎

P −→ R

L⊗C 7→ LC

est un isomorphisme de modules `a gauche et `a droite surR.

Démonstration. Il est immédiat de vérifier la linéarité annoncée des applicationsαetβ.

Soient(E

, . . . , E

)la base canonique deP et(E

₁^?

, . . . , E

_n^?

)sa base duale. La famille (E

⊗

E

_j^?

)

1≤i,j≤n

est une base deP⊗

P

. Par ailleurs, un calcul direct montre queE

⊗E

_j^?

s’envoie

parαsur la matriceE

_ij

dont tous les coefficients sont nuls `a l’exception de celui en position(i, j)

qui vaut1. Le fait queαsoit un isomorphisme en r´esulte sachant que la famille(E

)

1≤i,j≤n

est

une base deM

(R).

NotonsL

₀

= (1 0 0 · · · 0)∈P

etC

₀

=L

^T₀

∈P, le vecteur colonne transpos´e deL

₀

. Il est

clair que β(L

⊗C

) = 1; ainsiβ est surjectif. Soit `a pr´esentX ∈P

⊗

_M_n₍_R₎

P que l’on ´ecrit

comme une somme formelleX=L

⊗C

+L

⊗C

+· · ·+L

⊗C

(pourm∈_N,L

∈P

et

matriceM

dont la premi`ere ligne estL

et les autres lignes sont nulles. Un calcul direct aboutit `a

L

M

=L

etM

C

=C

u

, d’o`u on d´eduit :

L

⊗C

= (L

₀

M

)⊗C

=L

₀

⊗(M

C

) =L

₀

⊗(C

₀

u

) = L

₀

⊗C

₀

)·u

.

En sommant suri, on obtient finalementX= (L

⊗C

)·(u

+· · ·+u

) = (L

⊗C

)·β(X) = 0.

On en déduit l’injectivité deβ et le lemme est démontré.

Corollaire 3.2.7(´Equivalence de Morita). SoientMod

^g_R

(resp.Mod

^g_M

n(R)

) la cat´egorie des modules

`

a gauche surR(resp. surM

(R)). Les foncteurs :

Mod

^g_R

−→ Mod

^g_M n(R)

X 7→ P ⊗

X

!

et Mod

^g_M n(R)

−→ Mod

^g_R

Y 7→ P

⊗

_M_n₍_R₎

Y

!

réalisent des équivalences de catégories inverses l’une de l’autre entre les catégories Mod

^g_R

et

Mod

^g_M n(R)

.

Démonstration. Le lemme3.2.6permet de vérifier directement que la composée des foncteurs

dans les deux sens est isomorphe `a l’identit´e.

Le cas particulier oùRest un corps est particulièrement intéressant. En effet, dans ce cas, il

est bien connu que deuxK-espaces vectoriels sont isomorphes si et seulement s’ils ont le mˆeme

dimension. On en d´eduit que deuxM

(K)-modules `a gauche sont isomorphes si et seulement s’ils

ont la mˆeme dimension en tant queK-espace vectoriel (noter quedim

(P⊗

X) =n·dim

X).

Ce résultat vaut encore si K est remplacé par une algèbre à divisionsD, d’après les résultats

de l’appendiceA.2. Du théorème d’Artin–Wedderburn (cf théorème3.2.1), on déduit le résultat

encore plus g´en´eral suivant :

Proposition 3.2.8. SoitAuneK-alg`ebre simple centrale. DeuxA-modules `a gauche sont isomorphes

si et seulement s’ils ont la mˆeme dimension en tant queK-espaces vectoriels.

Comme autre corollaire, l’équivalence de Morita implique l’unicité de l’écriture du théorème

d’Artin–Wedderburn. Pr´ecis´ement :

Proposition 3.2.9. SoientD, D

⁰

deux alg`ebres `a divisions etn, n

⁰

deux entiers tels queM

(D)'

M

_n0

(D

⁰

). AlorsD'D

⁰

etn=n

⁰

.

D´emonstration. Posons A = M

(D). D’après la démonstration du théorème 3.2.1, il suffit de

démontrer que tous lesA-modules simples à gauche sont isomorphes. D’après le corollaire3.2.7,

ceci revient `a d´emontrer que tous lesD-espaces vectoriels de dimension1sont isomorphes, ce

qui est bien le cas.

Remarque 3.2.10. Bien entendu, l’´equivalence de Morita est encore valable si l’on remplace

partout

gauche

par

droite

: il existe une équivalence de catégories entre la catégorie

desM

(R)-modules à droite et celle desR-modules à droite. Il est possible également d’obtenir

une version mixte qui stipule que la cat´egorie desM

(R)-bimodules

est ´equivalente `a celle des

R-bimodules. Les foncteurs r´ealisant cette ´equivalence sont :

biMod

−→ biMod

_M_n₍_R₎

X 7→ P⊗

X⊗

P

!

et ^biMod

^Mn(R)

−→ biMod

Y 7→ P

⊗

_M_n₍_R₎

Y ⊗

_M_n₍_R₎

P

!

.

En particulier, on retrouve comme ceci que, siK est un corps,M

(K)ne poss`ede pas d’id´eaux

bilat`eres non triviaux.

1. SiAest un anneau, unA-bimodule est un groupe additif muni d’une multiplication externe à gauche et d’une multiplication externe à droite par les éléments deA, de manière à ce que les multiplications à gauche commutent avec celles à droite.

3.2.4 Le th´eor`eme de Noether–Skolem

Le théorème de Noether–Skolem est un résultat de rigidité sur les endomorphismes d’une

alg`ebre simple centrale. Il nous sera utile `a plusieurs reprises dans la suite pour montrer que les

constructions que nous allons ´elaborer ne d´ependent d’aucun choix.

Théorème 3.2.11(Noether–Skolem). SoitAuneK-algèbre simple centrale. Tout endomorphisme

deK-alg`ebres deAest de la formex7→gxg

⁻¹

pour un certain ´el´ement inversiblegdeA.

Le théorème de Noether–Skolem possède une reformulation dans le langage de la théorie des

modules qui en donne un nouvel ´eclairage et qui nous sera utile dans la d´emonstration. Cette

reformulation s’´enonce comme suit.

Corollaire 3.2.12. SoitDune alg´ebre `a divisions centrale surK.

SoitV un bimodule sur D. On suppose que tout pour λ ∈ K, les multiplications `a gauche et `a

droite parλco¨ıncident. SiV est de dimension finie surK, alorsV 'D

ⁿ

commeD-bimodule avec

n=

^dimKV

dimKD

.

Commençons par démontrer que le théorème3.2.11pourA=M

(D)implique le corollaire

3.2.12pour l’algèbre à divisionsDet l’entiern. Considérons donc unD-bimoduleV vérifiant les

hypoth`eses de corollaire. On suppose quedim

V =n·dim

D. Du fait queDest une alg`ebre `a

divisions, on d´eduit queV 'D

ⁿ

en tant queD-espace vectoriel `a gauche. Soit(e

₁

, . . . , e

)une

base deV surD. Pour toute matriceM = (m

)

1≤i,j≤n

∈M

(D), l’applicationd

:V →V de

multiplication `a droite parM :

X

i=1

d

e

7→

X

i=1 n

X

j=1

d

e

m

est D-lin´eaire `a gauche. Notonsσ(M) sa matrice dans la base (e

₁

, . . . , e

). Il est ´evident que

l’applicationσ :M

(D) →M

(D)ainsi définie est un morphisme d’anneaux. Par le théorème

3.2.11, il existe une matrice inversible G∈M

(D)telle queσ(M) =GM G

⁻¹

pour toutM ∈

M

(D). Autrement dit, l’applicationd

s’identifie `a la multiplication `agaucheparM dans une

certaine base (g

, . . . , g

). Ainsi l’applicationD-lin´eaire `a gaucheD

ⁿ

→ V qui envoie la base

canonique sur la base de(g

)est un morphisme de bimodules et le corollaire est d´emontr´e.

Venons-en maintenant à la démonstration du théorème de Noether–Skolem. D’après le

théorème d’Artin–Wedderburn,Aest isomorphe àM

(D)pour un certain entiernet une certaine

alg`ebre `a divisionsD. On peut donc supposer queAest de cette forme.

Montrons tout d’abord que, si le th´eor`eme de Noether–Skolem est vrai pourD, alors il l’est

aussi pourM

(D)pour tout entiern. Pour ce faire, consid´erons un endomorphisme deK-alg`ebres

σ :M

(D)→M

(D). PosonsP =D

ⁿ

et munissons-le de deux structures deM

(D)-modules :

– d’une part, de sa structure naturelle en faisant agir la matriceM ∈M

(D)agit surP par

multiplication `a gauche et

– d’autre part, de la structure naturelle twist´ee parσ obtenue en faisant agirM ∈M

(D)

agit par multiplication parσ(M).

Pour distinguer ces deux modules, notons-les respectivementP

etP

. Munissons ´egalementP

etP

de leur structure naturelle deD-module `a droite. SoientV

etV

lesD-espaces vectoriels `a

gauche associ´es respectivement `aP

₁

etP

₂

par l’´equivalence de Morita (cf corollaire3.2.7). Ils

h´eritent en outre d’une structure deD-espace vectoriel `a droite, faisant d’eux des bimodules sur

D. Par ailleurs, ils sont de dimension 1surD. Par le corollaire3.2.12 appliqu´e avecn = 1, il

existe un isomorphisme de bimodulesf :V

₁

→V

₂

.Vial’´equivalence de Morita,f correspond `a

un automorphismeD-linéaire à droiteϕ:P →P vérifiant :

CommeϕestD-linéaire à droite, il est donné par la multiplication à gauche par une matrice

G∈M

(D); de plus,Gest inversible puisqueϕest un automorphisme. Ainsi la relation (24)

s’´ecrit encoreGM x=σ(M)Gx. Comme ceci est vrai pour toutx, on trouveGM =σ(M)G, soit

encoreσ(M) =GM G

⁻¹

.

Il reste à démontrer le théorème de Noether–Skolem lorsqueAest une algèbre à divisionsD.

Soitσ:D→Dun morphisme deK-algèbres. D’après le théorème3.2.3, il existe une extension

finie L/K telle que D

= L⊗

Dsoit isomorphe `a une alg`ebre de matricesM

(L). De plus

σ

=id⊗σ d´efinit un endomorphisme deL-alg`ebres deD

. D’après ce que nous avons déjà

démontré, il existe un élément G

∈ D

tel que σ

(X) = G

XG

⁻_L¹

pour toutX ∈ D

. En

particulier, pourX∈D, on a la relationσ(X)G

=G

X. Fixons(λ

₁

, . . . , λ

)une base deLsur

Ket ´ecrivonsG

sous la formeG

=λ

G

+· · ·+λ

G

avecG

∈D. La relationσ(X)G

=G

X

entraˆıne queσ(X)G

=G

X pour touti∈ {1, . . . , s} et toutX ∈D. Or, il existe au moins un

indiceipour lequelG

est non nul. CommeDest une alg`ebre `a divisions, ceG

est inversible et

le théorème de Noether–Skolem est démontré.

Dans le document Polynômes de Ore en une variable (Page 38-44)