A4919 – Une algébrique et deux diophantiennes [** à la main]

A4919 – Une algébrique et deux diophantiennes [** à la main]

Q₁ Résoudre l’équation algébrique en x réel : 8^x – 18^x = 18^x – 27^x.

Q₂ Résoudre l’équation diophantienne en x et y entiers positifs: x² + 26455 = 2^y.

Q₃ L’entier x positif ajouté à 10 puis à 4000 donne respectivement le premier terme et le septième terme d’une suite d’entiers formant une progression géométrique dont la raison est un nombre rationnel.

Déterminer le quatrième terme de la suite.

Solution proposée par Maric-Christine Piquet

Q1 . 8^x - 18^x = 18^x - 27^x => 2 . 3^2x . 2^x = 3^3x + 2^3x ; ce qui entraine :

3^3x + 2^3x / ( 2^x . 3^2x ) = (3/2)^x + (4/9)^x = 2

Posons (3/2)^x = U ; dans ce cas : (4/9)^x = 1/U² . Alors : U + 1/U² = 2 a pour solutions positives : U

= 1 & U = Ø qui est le nombre d'or 1.6180339...

Si U = 1 , x = 0 est une première solution .

Ø = (3/2)^x et Ln Ø = x . Ln (3/2) => x = {Ln[V5 + 1] - Ln2} / [Ln3 - Ln2] = 1.18681439... est la seconde solution .

Donc x = ( 0 ; 1.18681439..)

Q2 . Dans N : x² + 26455 = 2^y.

2^y étant pair , x² est impair . La décomposition de 26455 = 13 x 2035 . Comme 13 + 2035 = 2¹¹ , alors (1024 - 1011).(1024 + 1011) = 26455 . x = 1011 & y = 10 est le couple recherché .

Q3 . Si a/b > 1 est la raison de cette suite géométrique , alors : U₇ = a⁶/b⁶ . U₁

Et U1 = X ; U7 = X + 3990 . D'où l'égalité : X + 3990 = a⁶/b⁶ . X => 3990 = X. (a⁶- b⁶)/b⁶ = 2 x 3 x 5 x 7 x 19 .

b⁵ divise donc X . a⁶ - b⁶ = (a³ - b³).(a³+ b³) . Comme 3990 = 19 x 35 x 6 = 6 .(27 - 8) . (27 + 8) ; alors a = 3 & b = 2

2⁶ & 2⁷ divisent aussi X puisque X = 6 x 2⁶ = 384 & X + 3990 Et U₄ = 1296 .