A 469 L’armée de Napoléon [**** à la main]
Solution de Daniel Collignon
Un régiment ordinaire contient o^2 hommes et le régiment d’élite e^2 hommes.
Ce régiment avec 7 régiments ordinaires forme un carré de c^2 hommes.
La totalité des troupes forme un grand carré de g^2 hommes.
Cherchons à résoudre en entiers strictement positifs le système : c^2 - 7o^2 = e^2
c^2 + 7o^2 = g^2
Remarque : l’existence d’une solution (c, e, g, o) garantit une infinité de solutions puisque pour tout entier k strictement positif (kc, ke, kg, ko) sera également solution. Nous nous limiterons donc à la recherche d’une solution telle que PGDC(c, e, g, o) = 1 et g minimal.
Quelques propriétés faciles à démontrer :
* e et g ont même parité (x+y = x-y modulo 2)
* e, g, c impairs et o pair (raisonner modulo 4)
* si 7 divisait e et g, alors 7 diviserait c et o, et donc 7 diviserait PGDC(c, e, g, o).
* finalement si p premier divisait e et g, alors p|c et p|o et donc p diviserait PGDC(c, e, g, o).
Nous cherchons donc une solution telle que PGDC(e, g) = 1.
Remarquons que {(e+g)/2}^2 + {(g-e)/2}^2 = c^2 avec PGDC((e+g)/2, (g-e)/2) = 1.
Donc en suivant le raisonnement dans A467, il existe des entiers u et v tels que : u > v de parité différente et PGDC(u, v) = 1
g = u^2 - v^2 + 2uv e = |u^2 - v^2 - 2uv|
c = u^2 + v^2
D’où 7o^2 = 4*u*v*(u-v)*(u+v).
Puisque u, v, u-v et u+v sont premiers entre eux deux à deux, nous devons avoir o=2pqrs avec p, q, r et s premiers entre eux deux à deux.
Analyse du positionnement du facteur 7 :
* u=p^2, v=q^2, u-v=r^2, u+v=7s^2 => p^2 + q^2 = 7s^2
* u=7p^2, v=q^2, u-v=r^2, u+v=s^2 => q^2 + r^2 = 7p^2
Dans ces deux cas, l’équation n’admet pas de solution entière (raisonner modulo 4).
* u=p^2, v=7q^2, u-v=r^2, u+v=s^2 => p^2 - 7q^2 = r^2 et p^2 + 7q^2 = s^2
Mais g^2 = u^2 - v^2 + 2uv > u^2 - v^2 = (u-v)(u+v) >= u+v = s^2 contredirait le caractère minimal de g puisque nous aurions une solution plus petite.
* u=p^2, v=q^2, u-v=7r^2, u+v=s^2 Nous cherchons donc p et q tels que
p > q de parité différente et PGDC(p, q) = 1 p^2 + q^2 = s^2
p^2 - q^2 = 7r^2
g = p^4 - q^4 + 2p^2q^2 = 7*r^2*s^2 + q^2*(s^2+7r^2) minimal.
Nous sommes « chanceux » car le plus petit triplet (p, q, s) = (4, 3, 5) convient et conduit à la solution r=1, u=16, v=9, o=120, c=337, e=113 (au passage on vérifie que e<o comme
demandé) et g=463.
L’armée de Napoléon comptait donc au minimum 463^2 = 214 369 hommes.
