P est un point fixe du plan. On donne trois nombres réels positifs a, b et c. Parmi les triangles ABC tels que PA = a, PB = b et PC = c, on détermine :
1) le triangle T₁ dont le périmètre est le plus grand. P est un point remarquable du triangle. Lequel ? 2) le triangle T₂ dont l’aire est la plus grande. P est un point remarquable du triangle. Lequel ? Application numérique : PA = 1, PB = √2 et PC = √3+1. Calculer le périmètre de T₁ et l’aire de T₂ .
Les points A, B et C appartiennent respectivement aux cercles de centre P de rayons a, b et c.
1) B et C étant fixés, les ellipses de foyers B et C sont les lieux des points tels que la somme des distances à B et C reste constante : pour un point du cercle de rayon a, cette somme est maximale si l’ellipse est tangente à ce cercle, donc lorsque la normale au point de contact passe par P : AP est alors bissectrice de l’angle A (BAC). En permutant les sommets, on en déduit que le périmètre du triangle ABC est maximal lorsque P=I, centre du cercle inscrit dans ABC, point de concours des bissectrices. Si r est le rayon du cercle inscrit, et p le demi-périmètre, sin(A/2)=r/a, sin (B/2)=r/b, sin(C/2)=r/c, et p=r(cotg(A/2)+cotg(B/2)+cotg(C/2). Ici 1/a=1, 1/b=√2/2, 1/c=1/(1+√3)=(√3-1)/2 ; or sinπ/4=√2/2, sinπ/6=1/2 et sinπ/12=(√3-1)/2√2.
donc pour r=√2/2, A=π/2, B=π/3, C=π/6 (on a bien A+B+C=π), et cotgπ/4=1, cotgπ/6=√3, cotg(π/12)=2+√3, donc 2p=(3+2√3)√2=9,14.
2) De même, B et C étant fixés, l’aire du triangle ABC est proportionnelle à la distance de A à la droite BC, qui est maximale lorsque PA est perpendiculaire à BC : P
appartient donc à la hauteur issue de A. En permutant les sommets, on en déduit que P=H, orthocentre de ABC.
Le symétrique H’ de l’orthocentre H par rapport à AB appartient au cercle circonscrit, de rayon R, et AH=AH’. B appartient au cercle circonscrit, et voit AH, donc AH’
sous l’angle π/2-A : donc AH=AH’=2Rsin(π/2-A)=2RcosA ; de même BH=2RcosB et CH=2RcosC ; et l’aire S=R2 (sin 2A+sin 2B+sin2C)/2. A défaut d’angles
remarquables dont les cosinus sont proportionnels à 1, √2 et √3+1, un tableur permet de trouver R=1,778 , A=73,66°, B=66,56°, C=39,78°, S=3,56.
