UPMC 2M220 Arithmétique et algèbre 2017-2018
TD 6 - Anneaux de polynômes sur un corps
Exercice 1. Déterminer une identité de Bézout entre les polynômesX3+X+ 1et X2+X+ 1dans(Z/2Z) [X].
Exercice 2. Montrer qu’un polynôme de degré2ou3à coefficients dans un corpsK est irréductible si et seulement s’il n’a pas de racine dansK.
Exercice 3. Soitpun nombre premier. On noteK le corpsZ/pZ.
1) Déterminer le nombre de polynômes unitaires de degré2 à coefficients dansK.
2) Montrer que sif ∈K[X] est unitaire, de degré2 et réductible alors il s’écrit commef = (X−a) (X−b) aveca, b∈K et a6=b, ou commef = (X−a)2 aveca∈K.
3) En déduire le nombre de polynômes unitaires de degré2et irréductibles à coefficients dansK. Les énumérer explicitement pour p= 2 etp= 3.
Exercice 4. Soientθ∈Retn∈N. Déterminer le reste de la division euclidienne de(cos (θ) + sin (θ)X)nparX2+ 1.
Exercice 5. Soient Kun corps, ainsi quef ∈K[X]et a, b∈K aveca6=b.
1) Exprimer le reste de la division euclidienne def par(X−a) (X−b)en fonction dea, b,f(a), etf(b).
2) Exprimer le reste de la division euclidienne def par(X−a)2en fonction dea,f(a), etf0(a).
Exercice 6. SoientK etLdeux corps, avecK⊂L. On considère deux polynômesf, g∈K[X], avecf irréductible.
Montrer que sif et gont une racine commune dansL, alorsf diviseg.
Exercice 7. Montrer qu’un polynôme non constant à coefficients dans R se factorise en produit de polynômes irréductibles de degré inférieur ou égal à 2. Déterminer la factorisation de X8−1 dans C[X], puis dans R[X].
Indication : on admettra le fait que Cest algébriquement clos.
Exercice 8. Déterminer la factorisation en produit de polynômes d’irréductibles deX2+ 3X+ 4dans (Z/pZ) [X]
pour p∈ {2,3,5,7,11}.
Exercice 9. Soient Kun corps etf ∈K[X]non nul. On noteA le quotientK[X]/(f).
1) Montrer qu’un élément deA est inversible si et seulement s’il ne s’agit pas d’un diviseur de zéro.
2) Donner un exemple d’anneau possédant des éléments non inversibles qui ne sont pas des diviseurs de zéro.
Exercice 10. On noteAl’anneau quotient C[X]/ X3−X2
. Déterminer les éléments inversibles, les diviseurs de zéro, et les nilpotents deA.
Exercice 11. Soitpun nombre premier. On noteQ √ p
le sous-ensemble deRformé des éléments pouvant s’écrire sous la formea+b√
paveca, b∈Q. 1) Montrer que√
pn’est pas rationnel.
2) En déduire que pour toutx∈Q √ p
, l’écriturex=a+b√
pest unique.
3) Montrer queQ √ p
est un sous-corps deR.
4) Déterminer le noyau et l’image du morphisme d’anneaux ϕ : Q[X] −→ Rdéfini par ϕ(f) = f √ p
. En déduire queQ √
p
est isomorphe au quotientQ[X]/ X2−p .
5) Montrer que sipetqsont deux nombres premiers distincts, les corpsQ √ p
etQ √ q
ne sont pas isomorphes.
