Chapitre 2: les espaces vectoriels

Ch.2 : Les espaces vectoriels

Faculté des sciences Dhar Mahraz Fés hmouanis@yahoo.fr www.mouanis.wordpress.com

Plan

1. Espace vectoriel

1.1 Définition et propriétés

2. Sous espaces vectoriels

2.1 Définition et propriétés

2.2 Opérations sur les sous espaces vectoriel

Intersection Réunion

2.3 Somme de sous espaces vectoriels

Combinaison linéaire et Sous espaces engendré par un ensemble

Somme fini de sous-espaces vectoriels Somme quelconque de sous-espaces vectoriels

2.4 Produit des espaces vectoriels

3. Espaces vectoriels quotients

4. Famille génératrice, Famille libre et Famille base

4.1 Famille génératrice 4.2 Famille libre

4.3 Base d’un espace vectoriel

5. Espace de dimension fini

6. Théorème de la base incomplète

6.1 Théorème de la base incomplète 6.2 rang d’un système de vecteurs

7. Sous espace en dimension finie.

7.1 La dimension de la somme des sous espaces vectoriels 7.2 La dimension des espaces

Dans tous ce chapitre K désigne un corps

commutatif

Définition 1.1

Soit E un ensemble non vide. Une loi de composition externe sur E est une application

K × E −→ E

Exemples 1.1

1 _{La loi multiplicative}

K × K //K

(x, y) // x · y = x × y

est une loi externe sur K

2 _{Pour tout n ∈ N}∗_{,l’application}

K × Kn //Kn

Exemples 1.2

1 _{Soient (E, ·) et (F, ·) sont deux ensembles non vides munis de}

deux lois externes sur un corps commutatif K, alors l’application suivante :

K × (E × F) // E × F

(λ, (x, y)) // (λ · x, λ · y)

.

est une loi externe sur le produit cartésien E × F.

2 _{Si X est un ensemble non vide, l’application suivante est une loi}

externe sur KX _:

K × KX //KX

(λ, f ) // λ · f

où (λ · f ) (x) = λ × f (x) , pour tout x ∈ X,

Exemples 1.3

1 _{L’application K × K}N //

KN

(λ, (xn)) // λ · (xn)

où λ · (xn) = (λ × xn) ,pour tout (xn) ∈ KN,

est une loi externe sur KN

2 _{Soit K[X] l’ensemble des polynômes à coefficients dans K.}

L’application :

K × K[X] //K[X]

Définition 1.2

E un ensemble non vide. On muni E de :

Une loi de composition interne additive : ∀(x, y) ∈ E2_{, x + y ∈ E}

Une loi de composition externe : ∀x ∈ E, ∀λ ∈ K, λx ∈ E.

(E, +, .)est un espace vectoriel sur le corps K si, et seulement si,

Suite de la définition 1.2

1] (E, +) est un groupe commutatif :

la loi + est associative, c’est à dire si on a : ∀x, y, z ∈ E : (x + y) + z = x + (y + z)

Eadmet un élément neutre 0 pour la loi +, c’est à dire si :

∃0 ∈ E tq : ∀x ∈ E : x + 0 = 0 + x = x

tout élément de E admet un symétrique pour la loi +, c’est à dire si :

∀x ∈ E, ∃x0_{∈ E tq : x + x}0_{= x}0_{+ x = 0}

Suite de la définition 2.1

2] La loi externe vérifie les conditions suivantes :

∀λ ∈ K, ∀µ ∈ K et ∀x ∈ E, λ · (µ · x) = (λµ) · x, ∀λ ∈ K, ∀µ ∈ K et ∀x ∈ E, (λ + µ) · x = λ · x + µ · x, ∀λ ∈ K, ∀x ∈ E et ∀y ∈ E, λ · (x + y) = λ · x + λ · y, ∀x ∈ E, 1 · x = x.

Les élément de E sont appelé des vecteurs. Les éléments de K sont appelé des scalaires.

On dit que E estun espace vectoriel sur K ou tout simplement E est

un K− espace vectoriel ou un espace vectoriel s’il n y a pas de confusion.

Exemples 1.4

1 _{Les ensembles dans les exemples 1-1 et 1-3 sont des espaces}

vectoriels. 2

Kn[X], où n ∈ N, (l’ensemble des polynômes de degré inférieur

ou égal à n) est un espace vectoriel sur K.

3 _{Si E est un K−espace vectoriel et X un ensemble non vide, E}X

est un K− espace vectoriel pour les lois f + g et λ · f .

4 _{Si X un ensemble non vide, K}X, +, ·
, est un espace vectoriel

sur K, avec : pour tout (f , g) ∈ KX
2

,_{et pour tout x ∈ K}

Propriétés 1.1

Soit E un K− espace vectoriel, alors :

1 ∀α ∈ K, ∀x ∈ E et ∀y ∈ E α(x − y) = αx − αy. En particulier,

α(−y) = −(αy).

2 _{∀α ∈ K, ∀β ∈ K et ∀x ∈ E, (α − β)x = αx − βx. En particulier}

(−β)x = −βx.

Preuve.

1 _{Soit (α, x, y) ∈ K × E}2_{,alors :α(x − y) + αy = α(x − y + y) = αx;}

d’où α(x − y) = αx − αy.

2 _{Soit (α, β, x) ∈ K}2× E, alors : (α − β)x + βx = (α − β + β)x = αx.

3 _{Si on prend x = y dans la propriété 1 on obtient}

α · 0 = αx − αx = 0. Si on prend α = β dans la propriété 2 on obtient 0 · x = 0; le premier 0 étant l’élément neutre de (K, +), le second est l’élément neutre de E . Réciproquement, soit

(α, x) ∈ K × E, tel que α · x = 0 alors : si α 6= 0, on a 1

α· (α · x) = 0,

d’où α × 1

Définition 2.1

Soient E un K− espace vectoriel et F un sous ensemble non vide de E.

Fest un sous K−espace vectoriel de E si F est un espace vectoriel

pour les lois induites par celles de E.

Exemple 2.1

Pour tout n ∈ N, Kn[X]l’ensemble des polynômes de degré inférieur

Proposition 2.1

Soient E un K− espace vectoriel et F un sous-ensemble E. F est un sous K-espace vectoriel de E si, et seulement si, les deux propriétés suivantes sont vérifiées :

F6= ∅ ;

Fest un sous-groupe additif de E;

Fest stable pour la loi externe ; ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F, λ · x ∈ F.

Remarque 2.1

Proposition 2.2

Soient E un K− espace vectoriel et F un sous-ensemble de E.

Fest un sous - espace vectoriel de E si, et seulement si :

0E∈ F ;

∀x ∈ F, ∀y ∈ F, x + y ∈ F; ∀λ ∈ K, ∀x ∈ F, λ · x ∈ F.

Preuve. Si F est un sous-espace vectoriel de E, les deux propriétés ci-dessus en découlent trivialement.

Réciproquement : F est un sous-groupe de E car : F 6= ∅ et

∀x ∈ F, ∀y ∈ F − y = (−1) · y ⇒ −y ∈ F et ∀ (λ, µ) ∈ K2 _{x− y ∈ F.}

Fétant un sous-groupe du groupe commutatif E et est stable pour la

Proposition 2.3

Un sous-ensemble F d’un un K− espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel de E si, et seulement, si

1 _{0 ∈ F}

2 ∀λ ∈ K, ∀ (x, y) ∈ F2_{, x + λ · y ∈ F.}

Exemples 2.1

1 _{Si K = R, R est un sous R-espace vectoriel de C.}

2 _{Si K = C, R n’est pas un sous C-espace vectoriel de C.}

3 _{F= {(x, y, z) ∈ R}3_{/2x − y + 3z = 0} est un sous R-espace}

vectoriel de R3_.

4 _{G= {(x, y, z) ∈ R}3_{/2x − y + 3z = 1} n’est pas un sous R-espace}

vectoriel de R3_.

Proposition 2.4

Soit Σ le système linéaire à coefficients réels suivant :

Σ :         

a11x1+ a12x2+ ... + a1nxn = 0

a21x1+ a22x2+ ... + a2nxn = 0

.. .

ap1x1+ ap2x2+ ... + apnxn = 0

L’ensemble S(Σ) des solutions de Σ est un sous R-espace vectoriel de Rn_.

Exercice 2.1

Les ensembles suivants sont-ils des R-espaces vectoriels ?

1 _{F= {(x, y, z) ∈ IR}3_{/ 3x − y + 2z = 0}.}

2 _{G= {(x, y) ∈ IR}2_{/ xy = 0}.}

Proposition 2.5

L’intersection de sous K-espaces vectoriels d’un K-espace vectoriel E est un sous K-espace vectoriel de E.

Preuve. Soit (Fi)_i∈Iune famille de sous K-espaces vectoriels d’un K espace vectoriel E. Posons F =

\ i∈I

Fi,alors : F 6= ∅, car pour tout

i∈ I, 0E ∈ Fi(Fiest un sous-espace vectoriel de E), donc 0E∈ F.

De plus pour tout (λ, x, y) ∈ K × F2_{, on a : (∀i ∈ I) , x ∈ Fiet y∈ Fi,}

Remarque 2.2

La réunion des sous K-espaces vectoriels n’est pas en générale un sous espace vectoriel.

Contre exemple : E = {α.X : α ∈ R} et F =β.X2

: β ∈ R sont

deux sous R-espaces vectoriels réels de R [X].

E∪ F ne l’est pas car l’élément X2_{+ X/∈ E ∪ F, même si X ∈ E ∪ F et}

X2∈ E ∪ F.

Proposition 2.6

Soient F1et F2deux sous K-espaces d’un K− espace vectoriel E,

alors F1∪ F2un sous-espace vectoriel de E si, et seulement si,

Preuve. si F1 ⊂ F2( ou F2 ⊂ F1) alors F1∪ F2= F2(ou

F1∪ F2= F2) donc c’est un sous espace vectoriel.

Cette condition est nécessaire. En effet, supposons que F1⊂ F/ 2et

F2⊂ F/ 1,alors ∃x1 ∈ F1tel que x1∈ F/ 2et ∃x2∈ F2tel que x2∈ F/ 1,d’où x1+ x2∈ F/ 1∪ F2car sinon : x1+ x2∈ F1∪ F2⇒ x1+ x2∈ F1ou x1+ x2∈ F2.Si x1+ x2∈ F1alors x1+ x2− x1∈ F1 d’où x2∈ F1 contradiction. Si x1+ x2∈ F2alors x1+ x2− x2∈ F2dù x1∈ F2 contradiction.

Définitions 2.1

1 _{Soient E un K−espace vectoriel ; a1, a}

2, ..., andes vecteurs de E

et λ1, λ2, ..., λndes scalaires de K; on appelle combinaison

linéaire de a1, a2, ..., anle vecteur de E défini par :

λ1a1+ λ2a2+ ... + λnan=

n X

i=1 λiai

2 _{Soit A une partie non vide de E , on note : Vect(A), l’ensemble}

des combinaisons linéaires finies des éléments de A. vect(A) = {

n X

i=1

λiai: ai∈ A, λi∈ K, n ∈ N∗}.

• Dans le cas particulier ou A = {a1, a2, .., ap} fini, Vect(A) = {λ1a1+ λ2a2+ .. + λpap/∀i ∈ {1, .., p}, λi∈ K}

Remarque 2.3

Soit E un K espace vectoriel et a ∈ E.

Vect{a} = Ka = {αa / α ∈ K}

Exercice 2.2

Soient P = X3_{+ 2X + 1, Q = 2X}3_{+ 5X}2_{+ 4X et T = 5X}2_{− 2.}

1 _{T est une combinaison linéaire de P et Q car T = Q − 2P}

2

Vect(P, Q) = {αP + βQ / P, Q ∈ IK[X]}

Proposition 2.7

Soient E un K− espace vectoriel et A une partie non vide de E,

Vect(A)est un sous espace vectoriel de E.

Preuve. On a 0E = 0K.aoù a ∈ A donc 0E ∈ Vect(A) et pour tous a∈ Vect(A), b ∈ vect(A) et α ∈ K, il existe n ∈ N∗_{,il existe λ1, λ2, ..., λn} élément de K tels que : a =

n X

i=1

λiaioù (∀i ∈ {1, 2, ..., n}) ai∈ A. De même b peut s’écrire :

b=

m X

i=1

µibio`u (∀i ∈ {1, 2, ..., m}) bi∈ A et µi∈ K.

a+ αb = n X i=1 λiai+ m X i=1 (αµi) bi

= λ1a1+ λ2a2+ ... + λnan+ (αµ1) b1+ (αµ2) b2+ ... + (αµm) bm d’où a + αb ∈ Vect(A).

Proposition 2.8

Soient E un K− espace vectoriel et A une partie non vide de E, alors :

Vect(A) = \

F s.e.v A⊂F

F.

c’est aussi le plus petit sous espace vectoriel contenant A.

Preuve. Par double inclusion, on montre que le résultat. On a vect(A)

est un sous-espace de E qui contient A donc \

F s.e.v A⊂F

F⊂ Vect(A).

Réciproquement, soit F un sous-espace vectoriel de E tel que A ⊂ F,

alors pour tous a1, a2, ..., andes éléments de A et pour tous

λ1, λ2, ..., λndes éléments de K on a n X

i=1

λiai∈ F, donc Vect(A) ⊂ F et

par suite Vect(A) ⊂ \

F s.e.v A⊂F

F.

Il reste à montrer que c’est le plus petit sous espace vectoriel contenant A : Soit G un sous espace vectoriel qui contient A alors

\

Définition 2.2

Soient E un K-espace vectoriel et (Ei)1≤i≤pune famille des

sous-espaces vectoriels de E.

On notePp_i=1Ei= {x = x1+ x2+ ... + xp, ∀i ∈ [[1, p]]; xi∈ Ei}

Proposition 2.9

Pp

i=1Eiest le plus petit sous-espace de E contenant tous les Ei.

En d’autres termes,Pp_i=1Ei= Vect(

Sp i=1Ei).

Définition et propriété 2.1

Soit (Ei)1≤i≤pune famille de p sous-K-espaces de E. Les conditions

suivantes sont équivalentes :

Si x ∈Pp_i=1Ei, l’écriture x =Pp_i=1xiest unique.

Pour tout xi∈ Ei: Pp

i=1xi= 0 ⇒ (∀i ∈ [[1; p]]; xi= 0). Pour tout j ∈ [[2; p]], (Pj−1_i=1Ei)T Ej= {0}.

Proposition 2.10

E1L E2⇐⇒ E1∩ E2= {0} .

Remarque 2.4

cette propriété est fausse s’il y a plus de deux sous-espaces vectoriels.

Définition et propriété 2.2

On dit que deux sous-espacesE1et E2d’un espace vectoriel E sont

supplémentaires dans Esi, et seulement si,E1⊕ E2= E.

Cela équivaut à

∀x ∈ E; ∃!y ∈ E1, ∃!z ∈ E2: x = y + z Dans ce cas

yest appelé la projection de x sur E1parallèlement à E2.

Définition 2.3

Si (Ei)_i∈Iest une famille de sous K-espaces vectoriels de l’espace

vectoriel E; on appelle somme des sous-espaces (Ei)_i∈Iet on note

X i∈I

Ei,le sous-espace vectoriel de E engendré par la réunion des Ei

X i∈I Ei= ( n X k=1 xik : ∀k ∈ {1, 2, ..., n} xik ∈ Eik ) .

Notamment, pour toute partie non vide A de E, on a Vect(A) =X

x∈A K.x.

Proposition 2.11

Si (Ei)_i∈Iest une famille de sous-espaces vectoriels d’un espace

vectoriel E, les conditions suivantes sont équivalentes :

1 _{Tout vecteur x de E s’écrit d’une manière unique x =}X

i∈I

xioù

xi∈ Eiet xi= 0 sauf pour un nombre fini d’indices.

2 _E=X

i∈I

Eitel que pour tout J(⊆ I) fini et tout élémentX

i∈J xi∈ E, on aX i∈J xi= 0 =⇒ (∀i ∈ J) xi= 0. 3 _E=X i∈I Eiet Ei∩   X j∈I\{i} Ej  = {0} .

Définition 2.4

Lorsque la famille (Ei)_i∈Isatisfait les conditions 1, ou 2, ou 3 de la

proposition 3.4 on dit que E est la somme directe interne des

sous-espaces vectoriels Eiet on note E = M

i∈I Ei.

Définition et proposition 2.1

Soit (Ei)1_{6i6pune famille de p espace vectoriel sur K.}

Pour λ ∈ K et  x= (x1, x2, ..., xp) ∈ E = Π p i=1Ei y= (y1, y2, ..., yp) ∈ E = Π p i=1Ep On pose 

x+ y = = (x1+ y1, x2+ y2, ..., xp+ yp)_c

λx = = (λx1, λx2, ..., λxp)_16i6p

Muni de ces opérations, E est un K-espace vectoriel. On l’appelle l’espace vectoriel produit de E1; E2; ...; Ep.

Soient E un K− espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E. Puisque F est un groupe, on considère < la relation d’équivalence définie sur E par :

x<y ⇔ x − y ∈ F

L’ensemble quotient E/< = {¯x : x ∈ E}on le note par E/F.

Proposition 3.1

E/Fmuni de la loi + définie par ¯x+ ¯y= x + y et de la loi externe

définie par α¯x= αx_{pour tous x, y ∈ E et λ ∈ K, est un K espace}

Preuve. On a (E/F, +) est un groupe commutatif pour la loi + définie

comme suit : ¯x+ ¯y= x + y.

1) La multiplication externe est bien définie. En effet, soient α ∈ K,

x, y ∈ Etel que ¯x= ¯yon cherche à montrer que que α¯x= α¯y: On a

¯x= ¯ydonc x − y = c ∈ F d’où αx − αy = αc ∈ F car c’est un sous

espace vectoriel, ce qui montre que

α¯x− α¯y = αx − αy = αx − αy = ¯0

2) Pour tous α, β ∈ K et tous x, y ∈ E on a :

1 _{α(¯x+ ¯y) = α(x + y) = α(x + y) = αx + αy = α¯x+ α¯y}

2 _{(α + β)¯x= α¯x+ β¯x}

3 _{(αβ)¯x= α(β¯x)}

4 _{1¯x= ¯x}

Définition 4.1

Soit A = (xi)_{i∈Iune famille de vecteurs d’un K− espace vectoriel E.}

On dit que A est une famille génératrice de E (ou engendre E) si, et seulement si, E = Vect(A).

Remarque 4.1

Cas particulier : Soit A = (xi)_{1≤i≤nune famille de vecteurs d’un K−}

espace vectoriel E

E= Vect(A)si, et seulement si, pour tout x ∈ E, il existe

(α1, α2, ..., αn) ∈ Kntel que

Exemples 4.1

1 _{Pour tout n ∈ N}?_{, le système B = (e1, e}

2, ..., en)engendre le K-espace vectoriel Kn_{, tel que pour tout i, ei= (0, 0, ..., 0, 1, 0, ..., 0)} où 1 est à la iieme_place.

2 _{Pour tout n ∈ N, le système}1, X, X2_{, ..., X}n engendre Kn[X]

l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n. 3 _{K[X] = Vect{1, X, X}2_{, .., X}n_{, ../n ∈ N}}

Exercice 4.1

Soit F = {P = α + βX + γX2_{+ λX}3

∈ R3[X] / α = 2γ et β = −λ }. 1) Trouver une partie génératrice de F.

Définition 4.2

Soit A = (xi)_i∈Iune famille de vecteurs d’un K− espace vectoriel E.

1 _{On dit que A estune famille libre(ou que les vecteurs sont}

linéairement indépendants) si, et seulement si, pour toute partie

finie J de I, pour tout (αi) ∈ KJ_{et pour tout (xi) ∈ A}J_,X

i∈J

αixi= 0

entraine ∀i ∈ J αi= 0.

2 _{On dit que A estune famille liée(ou que les vecteurs sont}

Proposition 4.1

1 _{Tout sous-système d’un système libre est libre.}

2 _{Tout sur-système d’un système lié est lié.}

3 _{Tout système qui contient le vecteur nul est lié.}

Proposition 4.2

Soit S = {a1, ...an} un système fini de vecteurs d’un K-espace vectoriel E. Alors,

1 _{S= {a}

1, ...an} est libre si et, seulement, si pour tout famille (α_{i) ∈ K}n_,

n X

i=1

αiai= 0 entraine ∀i ∈ [[1, n]] αi= 0.

2 _{un système S = {a1, ..., an} est lié si, et seulement, si il existe}

i∈ [[1, n]] tel que ai∈ Vect(a1, ..ai−1, ai+1, .., an).

3 Si S = {a1, a2, ..., an} un système libre de E et an+1∈ E, alors

S0 = {a1, ..., an, an+1} est un système libre de E si, et seulement si

Exercice 4.2

1 _{Dans R}3_{, soient}

u1= (1, 3, 0), u2= (−1, 0, 2), u3= (−1, 3, 4), u4= (0, 0, 1) et

S= {u1, u2, u3, u4}. S est un système lié.

2 _{la famille B = {P1= X}3− 1, P2_{= X}2_{+ X, P3 = X}2} est libre dans

Définition 4.3

Soit B = (xi)_i∈Iune famille de vecteurs d’un K− espace vectoriel E.

On dit que B est une base de E si, et seulement si, B est une famille libre et génératrice de E.

Conséquence 4.1

B= (xi)i∈I est une base de l’espace vectoriel E si, et seulement si,

tout élément x de E s’écrit d’une manière unique x =X

i∈J

αixioù J est

une partie finie de I et les αisont des éléments du corps K

Exemples 4.2

1 _{Dans E = K}n_{,où n ∈ N}∗_{,le système S = {e1, e2, ..., e}

n} défini par : (∀i ∈ {1, ..., n}) ei= (0, 0, ..., 1, 0, ..., 0) où i est à la iieme_{place, est}

une base de Kn_.

2 _{Pour tout n ∈ N et E = Kn[X]l’ensemble des polynômes de degré}

inférieur ou égal à n, B = 1, X, X2_{, ..., X}n
_{est une base de Kn[X].}

3 _{Dans K}(I)_{,soit ej= (α}

i)i∈Iavec αi= δij= 

1 si i = j

0 si i 6= j La famille

(ej)_j∈Iest une base de K(I).

4 _{Pour I = N, le système}1, X, X2_{, ...., X}n, .... est une base de

K [X] .

Propriétés 4.1

Soient E un espace vectoriel, (Ei)_i∈Iune famille de sous-espaces

vectoriels de E et (∀i ∈ I) Biest une base de Ei,alors si E =M

i∈I Ei,

B =[

i∈I

Preuve. Montrons que B est un système générateur de E. En effet :

(∀i ∈ I) Bi⊂ B =⇒ Vect (Bi) ⊂ Vect (B)

Donc le sous-espace vectoriel engendré par B contient le

sous-espace vectoriel engendré par Bipour tout i ∈ I c’est à dire

(∀i ∈ I) Ei⊂ Vect (B) , et par suite E =

X i∈I

Ei⊂ Vect (B) ⊆ E, donc B

engendre E.

Montrons que le système B est libre.

On désigne par ei

j

j∈Ji les vecteurs de la base Bidans Eiet

J=[ i∈I Ji,alorsX i∈I αiei= 0 =⇒X i∈I X j∈Ji αjeij ! = 0 ∈M i∈I Ei,d’où X j∈J αjei_j= 0 =⇒ (∀j ∈ Ji) αj= 0.

Définition 5.1

On dit qu’un espace vectoriel E est de dimension finie s’il possède un système générateur fini ; c’est à dire qu’il existe n vecteurs x1, x2, ..., xn de E tels que :

E= Vect(x1, .., xn) Autrement dit, si l’application

Kn −→ E (α1, α2, ..., αn) −→ n X i=1 αixi soit surjective.

Exemples 5.1

1 Pour tout n ∈ N?, Knest de dimension finie sur K.

2 _{Pour tout n ∈ N, E = Kn[X]l’ensemble des polynômes de degré}

inférieur ou égal à n, est de dimension finie sur K.

3 _{L’espace vectoriel K [X] est de dimension infinie sur K, le}

système1, X, X2_{, ...., X}n_{, .... en est un système générateur}

Théorème de la base incomplète

Théoréme 6.1

Soient E un K− espace vectoriel tel que E 6= {0} ayant un système générateur fini S

Alors toute famille libre de E peut être compléter en une base de E.

Preuve. 1ere_{étape :Montrons tout d’abord qu’on peut extraire}

du système S un sous-système qui soit une base de E.

En effet :

Si S = {x1, x2, ..., xn} ; soit L (S) = {A ⊂ S/ A est libre } . Alors L (S) n’est pas vide car E 6= {0} et S en est un système générateur

entrainent qu’il existe i ∈ {1, 2, ..., n} tel que xi6= 0, d’où {xi} est un

système libre de E.

On suppose par exemple que L (S) = {A1, A2, ..., Ap} , (L (S) ⊂ P (S) et S est fini ) .

Soit N (L (S)) = {card (Ai) : 1 ≤ i ≤ p} ; alors N (L (S)) est une partie non vide de N qui est majorée (par n) , elle admet donc un plus grand

élément ; soit k cet élément et soit Akl’ensemble associé. Akest donc

un sous-système de S comportant le plus grand nombre de vecteurs linéairement indépendants.

Montrons que Akest une base de E. Comme Akest libre, il suffit de

montrer qu’elle est génératrice ; et puisque S est un système générateur de E il suffit de montrer que tout élément de S est

combinaison linéaire de ceux de Ak.

Soit Ak= {xi1, xi2, ..., xik} , alors :

1er_{cas : Si A}

2eme_{cas : Si A}

k6= S, alors pour tout x ∈ S \ Ak,l’ensemble Ak∪ {x} est

un sous-système de S qui contient k + 1 éléments, elle est donc lié, et

puisque Akest libre alors, d’après la proposition 4.2(3), x est une

combinaison linéaire fini des éléments de Ak, c’est à dire,il existe

alors (, λ1, λ2, ..., λk)dans Kknon tous nuls tels que :x =

k X

j=1

λjxij.Ce

qui montre que E = vect(S) = vect(Ak)

2eme_{étape :}

Soit S0 une famille libre de E, alors si S”_{= S ∪ S}0_{, S”est un système}

générateur de E; on peut donc en extraire une base de E. Cette base doit être précisément le plus grand système extrait et comportant des

Conséquence 6.1

Tout espace vectoriel de dimension finie admet une base fini.

Proposition 6.1

Soit E un espace vectoriel engendré par un système de n vecteurs, alors tout système libre de E a au plus n éléments.

Preuve. Soit S = {x1, x2, ..., xn} un système générateur de E.

Soit S0 = {y1, y2, ..., ym} un système libre de E. Il s’agit de montrer que

m≤ n.

Par l’absurde :

Supposons que m > n; on a y1= α1x1+ ... + αnxn,il existe au moins

un αinon nul, car sinon y1serait nul et par suite le système S0 ne

serait pas libre. On suppose par exemple que α1 6= 0, alors :

Suite de preuve

Le système S1= {y1, x2, ..., xn} engendre donc E.

y2= β1y1+ β2x2+ ... + βnxn,les coefficients βipour i ∈ {2, ..., n} ne

sont pas tous nuls car sinon : y2= β1y1ce qui est absurde. On peut

supposer que β26= 0, alors :

x2= 1

β2(y2− β1y1− β3x3− ... − βnxn) Le système S2= {y1, y2, x3, ..., xn} engendre donc E.

En continuant ce processus, on aura donc le système {y1, y2, .., yn}

générateur de E, en particulier yn+1= α1y1+ α2y2+ ... + αnynce qui

Définition et proposition 6.1

Dans un K-espace vectoriel E de dimension finie, toutes les bases

ont même nombre d’éléments, appelédimension de Eet est noté

dim_K(E) .ou bien tout simplement dim (E) s’il n y a pas de confusion.

Un espace vectoriel qui ne possède pas de base finie est dit de dimension infinie.

Preuve. Si B et B0 sont deux bases de E et n = card (B) et

m= cardB0,alors n ≤ m ( B libre et B0 génératrice) et m ≤ n (B0

Exemples 6.1

1 _{dim({0}) = 0.}

2 _{Pour tout n ∈ N, Kn[X]est de dimension n + 1 comme K-espace}

vectoriel.

3 _{Pour tout n ∈ N}∗_{, K}n_{est de dimension n comme K-espace}

Définition 6.1

Étant donné un système S = {a1, . . . , an}, non vide, des éléments

d’un espace vectoriel E. On appellerangde S la dimension du

sous-espace vectoriel Vect(S), engendré par le système S. C’est aussi le nombre maximale des vecteurs libres qu’on peut extraire de ce système.

Exercice

Déterminer les rangs des systèmes de vecteurs suivants

1 {(2, 3, 5), (−1, 2, −3), (4, −3, 8)}.

2 {(2, 3, 5), (−1, 2, −3), (1, 5, 2)}.

Théoréme 6.2

Soient E un K-espace vectoriel de dimension fini n et B un système de vecteurs de E.

Bengendre E si, et seulement si rg(B) = n.

En particulier,

Preuve.

On a B est un système générateur de E alors E = vect(B) donc n = dim(E) = dim(vect(B)) = rgB.

Inversement, si dim(E) = rg(B) = n.

On a rg(B) = n donc il existe B0 ⊆ B tel que B0 est libre et

card(B0) = rg(B) = net ∀u ∈ B\B0 on a B0∪ {u} est lié c’est à dire

u∈ Vect(B0)ce qui montre que Vect(B) = Vect(B0).

Donc, il suffit de montrer que Vect(B0) = E: Supposons que

Vect(B0) 6= E, c’est à dire, il existe x ∈ E tel que x 6∈ Vect(B0)alors,

puisque B0 est libre, {x} ∪ B0 est libre et

card(B0∪ {x}) = n + 1 > dim(E) absurd( car tout famille libre dans E

Théoréme 7.1

1 _{Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie n, n ∈ N}∗_{et F}

un sous K-espace vectoriel de E, alors F est un K-espace de dimension finie et on a : dim (F) ≤ dim (E)

Preuve.

1 _{Soit B une base de F, elle est libre dans F donc libre dans E,d‘où}

dim F= card(B) = rgB ≤ dim E(d’après proposition 2.1).

2 _{Si E = F alors dim E = dim F. inverement, si dim E = dim F. Soit B}

une base de F, pour monter que E = F il suffit de montrer que

E= vect(B). On a B est libre et rgB = dim F = dim E ce qui

implique que B est un système générateur de E (d’après Théorème 2.2).

Corollaire 7.1

Soit E est un K-espace vectoriel de dimension finie n. Alors :

1 _{tout système générateur de E contient au moins n vecteurs.}

2 _{un système générateur de E contenant n vecteurs est une base}

de E.

Preuve.

1 _{Soit B un système générateur de E, alors}

dim E= rg(B) ≤ card(B). Donc B a au moins n éléments.

2 _{Soit B = {x1, ..., xn} un système générateur de E tel que}

card(B) = n,alors card(B) = n = dim E = rg(B) ce qui montre que

Best libre, donc une base de E.

3 _{Soit B = {x1, ..., x}

n} un système libre de E tel que card (B) = n,

alors rg(B) = card(B) = dim E, d‘où B est un système générateur de E, et par suite une base de E.

Théoréme 7.2

Soit E un K−espace vectoriel de dimension finie n et soit B une partie de E. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

1 _{Best une base de E.}

2 _{Best une partie libre de E et |B| = n .}

3 _{Best une partie génératrice de E et |B| = n .}

Preuve. 1. ⇒ 2. évident.

2. ⇒ 3. B est une base de E d’après 3. du corollaire précédente, donc c’est une partie génératrice de E ayant n éléments.

Exercice

Théoréme 7.3

Soient F et G deux sous espace vectoriels d’un K-espace vectoriel de dimension finie E, B une base de F et C une base de G. Alors,

La somme de F et G est directe

si, et seulement, si

B∩ C = ∅ et on a F + G = vect(B ∪ C). Donc, il reste à monter que le système {B ∪ C} est libre : d’abord il est fini car

card(B) = dim F ≤ dim Eet card(C) = dim G ≤ dim E et

card(B ∪ C) = card(B) + card(C)donc fini. posons B ∪ C = {x1, .., xr},

soient α1, ...αr∈ K tels que

r X i=1 αixi= 0 alors r X i=1 αixi = X {1≤i≤r/ xi∈F} αixi+ X {1≤i≤r/ xi∈G} αixi = 0 et puisue FL G alors X {1≤i≤r/ xi∈F} αixi= X {1≤i≤r/ xi∈G} αixi= 0

Inversement, suposons que B ∪ C est libre avec B = {a1, .., ap} et

C= {ap+1, .., ap+s} . Soit x ∈ F ∩ G alors il existe (αi){1≤i≤p+s}∈ Kp+s

et tels que x = p X i=1 αiai= s+p X i=p+1 αiaidonc p X i=1 αiai− s+p X i=p+1 αiai= 0

et puisue B ∪ C est libre, alors for all 1 ≤ i ≤ p + s, αi= 0 , ce qui

Proposition 7.1

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie. Si F et G sont deux sous espaces vectoriels de E et si la somme de F et G est directe alors :

dim(F ⊕ G) = dim(F) + dim(G)

Preuve. Soient B une base de F et S une base de G. Puisque la somme de F et G est directe, alors B ∩ S = ∅ et B ∪ S est une base de

F⊕ G.

Théoréme 7.4

Soient E un espace vectoriel de dimension finie et F un sous-espace vectoriel de E. Alors F admet au moins un supplémentaire dans E;,

qu’on note ici H et dim_KH= dim_K(E/F) = dim (E) − dim (F), appelé

Preuve.

Soit (e1, e2, ..., em)une base de F. D’après le théorème de la base

incomplète ils existent des vecteurs (u1, u2, ..., up)de E tel que

(e1, e2, ..., em, u1, u2, ..., up)soit une base E. Tout vecteur x de E s’écrit d’une façon unique :

x= λ1e1+ λ2e2+ ... + λmem+ α1u1+ ... + αpup

où λi, αi∈ K. D’où

x+F = λ1e1+λ2e2+...+λmem+α1u1+...+αpup+F = α1u1+...+αpup+F

Montrons que les vecteurs u1+ F, u2+ F, ..., up+ Fsont linéairement indépendants.

Soient β1, β2, ..., βp∈ K tel que :

β1(u1+ F) + β2(u2+ F) + ... + βp(up+ F) = 0 + F Ce qui implique que β1(u1) + β2(u2) + ... + βp(up) ∈ F Donc : ∃µ1, µ2, ..., µm∈ K tel que :

β1(u1) + β2(u2) + ... + βp(up) = µ1e1+ µ2e2+ ... + µmem

Comme e1, e2, ..., em, u1; ..., upsont linéairement indépendants, on en

déduit que β1= ... = βp= µ1= ... = µm= 0.

Alors E/F admet pour base u1+ F, u2+ F, ..., up+ Fet :

Exercice

On considère le sous espace vectoriel de R3_,

F_{= {(x, y, z) ∈ R}3_{/ x + 2y − 3z = 0}.}

1 _{Donner une base de F ainsi que sa dimension.}

Proposition 7.2

Soient E un espace vectoriel de dimension finie et E1, E2, ... et Epsont

des sous- espaces vectoriels de E de dimensions n1, n2, ... et np,

alors :

dim(E1⊕ E2⊕ ... ⊕ Ep) = n1+ n2+ ... + np. En particulier si E1, E2, ..., Epsont supplémentaires, alors

dim(E) =

p X

i=1

Lemme 7.1

Soit E un K-espace vectoriel. Si F et G sont deux sous espaces vectoriels de E et si H est un supplémentaire de F ∩ G dans G alors H est un supplémentaire de F dans F + G.

Preuve. Soit x ∈ F ∩ H donc x ∈ F ∩ H ∩ G car H ⊂ G

Ainsi x ∈ (F ∩ G) ∩ H = {0E}. Ce qui montre que la somme de F et H est directe.

On a F ⊕ H = F + H ⊂ F + G car H ⊂ G. ∀x ∈ F + G, ∃a ∈ F, ∃b ∈ G tel que x = a + b.

b∈ G = F ∩ G ⊕ H donc ∃u ∈ F ∩ G, ∃v ∈ H tel que b = u + v.

Alors x = a + b = a + (u + v) = (a + u) + v ∈ F + G ⊂ F ⊕ H. Par suite F ⊕ H = F + G.

Proposition 7.3

Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Pour tout F, G sous espaces de E : dim (F + G) = dim (F) + dim (G) − dim (F ∩ G)

Preuve.

Puisque G est un sous-espace vectoriel de E de dimension finie alors

F∩ G admet un supplémentaire H dans G .

Donc :

(F ∩ G) ⊕ H = G =⇒ dim((F ∩ G) + H) = dim((F ∩ G) ⊕ H) = dim(G). Alors : dim(H) = dim(G) − dim(F ∩ G).

Puisque H est un supplémentaire de F ∩ G dans G alors H est un supplémentaire de F dans F + G.

Ainsi : F + G = F ⊕ H. Par suite on a :

Corollaire 7.2

Soient E un K−espace vectoriel de dimension finie et F et G deux sous-espaces de E. Alors F et G sont supplémentaires si, et seulement si, F ∩ G = {0} et dim (F) + dim (G) = dim (E) .

Preuve.

Fet G sont supplémentaires si, et seulement si, F ∩ G = {0} et

F+ G = E,si, et seulement si, F ∩ G = {0} et dim (F + G) = dim (E) ,

si, et seulement si, F ∩ G = {0} et

dim(F) + dim (G) − dim (F ∩ G) = dim (E) ,si, et seulement si,

Résumé

Soient E un K−espace vectoriel de dimension finie , et F et G deux sous-espaces de E. avec B une base de F et C une base de G. Alors

Fet G sont supplémentaires

⇐⇒

F∩ G = {0} et dim F + dim G = dim E

⇐⇒

B∪ C est une base de E.

⇐⇒