version 4, octobre 2003
recueil réalisé par Arnaud Bodin
An de faciliter le travail de tous, voici la quatrième version de ce recueil d'exercices. L'esprit n'a pas changé : simplier le concoctage des feuilles d'exercices par un simple copier-coller.
Je n'ai pas saisi tous les exercices, loin de là, je remercie vivement les gros contributeurs : - Éliane Cousquer ;
- François Gourio ; - Pierre-Yves Legall ; - Pascal Ortiz ; - Franz Ridde.
Sans oublier tous ceux qui m'ont fourni leurs feuilles d'exercices : Jean-François Barraud, Cé- cile Drouet, Cornélia Drutu, Olivier Gineste, Vincent Guirardel, Jean-Marc Hécart, Arnaud Hilion, Jean-Marie Lescure, Isabelle Liousse, Sylvain Maillot, Nicolas Marco, Bertrand Mon- thubert, Nadja Rebinguet, Sandrine Roussel, Marie-Helène Vignal. Qu'ils et elles en soient tous remerciés.
La bibliothèque s'agrandie encore : environ 2000 exercices. Les chiers sources sont dispo- nibles en LATEX, et récupérables à l'adresse suivante :
http ://www-gat.univ-lille1.fr/∼bodin/
Sur ce site, une page permet de récupérer les exercices qui vous intéressent en saisissant leur numéro. Certains exercices sont corrigés (environ 15%), cependant an des sauver quelques arbres les corrections ne sont pas incluses dans cette version papier. Bien sûr lorsque vous récu- pérez des exercices pour faire une feuille de td les corrections existantes sont automatiquement ajoutées en n de feuille.
Vous pouvez contribuer à ce recueil en m'envoyant vos chiers : Arnaud.Bodin@agat.univ-lille1.fr
Donc n'hésitez pas à taper vos feuilles et corrections, ce sera fait une fois pour toutes et pour tous !
Arnaud Bodin
I ALGÈBRE 1 1
1 Nombres complexes 1
2 Logique, ensembles, raisonnements 13
3 Injection, surjection, bijection 22
4 Relation d'équivalence, relation d'ordre 25
5 Dénombrement 26
6 Arithmétique dans Z 30
7 Polynômes 42
8 Fractions rationnelles 50
II ANALYSE 1 52
9 Propriétés de R 52
10 Suites 58
11 Limites de fonctions 70
12 Continuité et étude de fonctions 76
13 Dérivabilité 82
14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses 87
15 Calculs d'intégrales 90
16 Équations diérentielles 102
III ALGÈBRE 2 107
17 Espaces vectoriels 107
18 Applications linéaires 112
19 Espaces vectoriels de dimension nie 120
20 Matrices 127
21 Déterminants, systèmes linéaires 137
IV ANALYSE 2 153
22 Suites : compléments 153
23 Continuité et comparaison de fonctions 155
24 Dérivabilité : compléments 157
25 Développements limités 159
V ALGÈBRE 3 170
27 Groupes : généralités 170
28 Anneaux et corps 176
29 Groupes nis 180
30 Groupes quotients 187
31 Espaces euclidiens 190
32 Endomorphismes particuliers 199
33 Polynômes d'endomorphismes 210
34 Réduction d'endomorphismes : diagonalisation 212
35 Réduction d'endomorphismes : autres réductions 227
VI ANALYSE 3 238
36 Fonctions convexes 238
37 Notions de topologie 239
38 Fonctions de deux variables 245
39 Espaces métriques et espaces vectoriels normés 257
40 Suites dans Rn 265
41 Intégrales multiples 266
42 Séries numériques, séries de Fourier 268
VII GÉOMÉTRIE 274
43 Géométrie ane 274
44 Isométries vectorielles 277
45 Géométrie ane euclidienne 278
46 Courbes paramétrées 289
47 Propriétés métriques des courbes planes 290
48 Coniques 291
49 Analyse vectorielle 291
VIII QCM et FORMULAIRES 293
Première partie
ALGÈBRE 1
1 Nombres complexes
1.1 Forme cartésienne, forme polaire
Exercice 1 Mettre sous la forme a+ib (a, b∈R) les nombres : 3 + 6i
3−4i ;
1 +i 2−i
2
+ 3 + 6i
3−4i ; 2 + 5i
1−i +2−5i 1 +i .
[Exercice corrigé]
Exercice 2 Écrire les nombres complexes suivants sous la forme a+ib (a, b∈R) : 5 + 2i
1−2i ; −1 2 +i
√3 2
!3
; (1 +i)9 (1−i)7. Exercice 3 Écrire sous la forme a+ib les nombres complexes suivants :
1. Nombre de module 2et d'argument π/3. 2. Nombre de module 3et d'argument −π/8.
[Exercice corrigé]
Exercice 4 Placer dans le plan cartésien, les points d'axes suivantes : z1 =i, z2 = 1 +i, z3 =−2 + 2i, z4 =e−iπ3. Exercice 5 Mettre chacun des nombres complexes suivants sous la forme a+ib, a ∈ R et
b∈R.
−2 1−i√
3, 1
(1 + 2i)(3−i), 1 + 2i
1−2i, 2 + 5i
1−i + 2−5i 1 +i .
Exercice 6 1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : z1 = 3 + 3i, z2 =−1−√
3i, z3 =−4
3i, z4 =−2, z5 =eiθ+e2iθ. 2. Calculer (1+i2√3)2000.
Exercice 7 Eectuer les calculs suivants : 1. (3 + 2i)(1−3i).
2. Produit du nombre complexe de module 2et d'argument π/3 par le nombre complexe de module 3et d'argument −5π/6.
3. 3+2i1−3i.
4. Quotient du nombre complexe de module 2 et d'argument π/3 par le nombre complexe de module 3 et d'argument −5π/6.
[Exercice corrigé]
Exercice 8 Calculer le module et l'argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leurs conjugués :
1. 1 +i(1 +√ 2). 2. p
10 + 2√
5 +i(1−√ 5).
3. tanϕ+i où ϕ est un angle donné.
[Exercice corrigé]
Exercice 9 Représenter sous forme trigonométrique les nombres : 1 +i ; 1 +i√
3 ; √
3 +i ; 1 +i√
√ 3 3−i . Exercice 10 Établir les égalités suivantes :
1. (cos(π/7) +isin(π/7))(1−i
√3
2 )(1 +i) =√
2(cos(5π/84) +isin(5π/84)), 2. (1−i)(cos(π/5) +isin(π/5))(√
3−i) = 2√
2(cos(13π/60) +isin(13π/60)), 3. √2(cos(π/12)+isin(π/12))
1+i = √32−i.
[Exercice corrigé]
Exercice 11 Calculer le module et l'argument de u = √6−i2√2 et v = 1− i. En déduire le module et l'argument de w= uv.
[Exercice corrigé]
Exercice 12 Écrire sous la forme partie réelle-partie imaginaire, puis sous la forme module- argument le nombre complexe :
1 +i−√
3(1−i) 1 +i
!2
.
Exercice 13 Déterminer le module et l'argument des nombres complexes : eeiα et eiθ+e2iθ.
[Exercice corrigé]
Exercice 14 Déterminer le module et l'argument de 1+i1−i. Calculer (1+i1−i)32.
[Exercice corrigé]
Exercice 15 Calculer Z = (1 +i√ 3)2000. Exercice 16 Calculer (1 +i√
3)5+ (1−i√
3)5 et (1 +i√
3)5−(1−i√ 3)5. Exercice 17 Calculer le module et l'argument de z = 1+i1tanα.
Exercice 18 Calculer les puissances n-ièmes des nombres complexes : z1 = 1 +i√
3
1 +i ; z2 = 1 +j ; z3 = 1 +itanθ 1−itanθ. Exercice 19 Comment choisir l'entier naturel npour que(√
3+i)nsoit un réel ? un imaginaire ? Exercice 20 Soit z un nombre complexe de module ρ, d'argument θ, et soit z son conjugué.
Calculer (z+z)(z2+z2). . .(zn+zn)en fonction de ρ et θ.
[Exercice corrigé]
Exercice 21 (partiel novembre 88) Soient α et β deux nombres réels. Mettre le nombre complexe z = eiα +eiβ sous forme trigonométrique z = ρeiγ (indication : poser u = α+β2 , v = α−β2 ).
En déduire la valeur de n X
p=0
Cnpcos[pα+ (n−p)β].
[Exercice corrigé]
Exercice 22 Écrire l'expression (1 + cosφ+isinφ) sous forme trigonométrique. En déduire l'expression de (1 + cosφ+isinφ)n.
Exercice 23 Mettre sous forme trigonométrique 1 +eiθ où θ ∈]−π, π[. Donner une interpré- tation géométrique.
[Exercice corrigé]
Exercice 24 Montrer que si |z| 6 k < 1 alors 1−k 6 |1 +z| 6 1 +k. Faire un dessin et montrer qu'il peut y avoir égalité.
Exercice 25 Montrer algébriquement et géométriquement que si |z| = 1 alors |1 +z|> 1 ou
|1 +z2|>1.
Exercice 26 Résoudre l'équation exp(z) = √ 3 + 3i.
1.2 Racines carrées, équation du second degré
Exercice 27 Calculer les racines carrées de 1, i, 3 + 4i, 8−6i,et 7 + 24i.
[Exercice corrigé]
Exercice 28 Trouver les racines carrées de 3−4i et de 24−10i.
[Exercice corrigé]
Exercice 29 1. Calculer les racines carrées de 1+i√2. En déduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8).
2. Calculer les valeurs de cos(π/12) et sin(π/12).
[Exercice corrigé]
Exercice 30 Montrer que les solutions de az2 +bz+c = 0 avec a, b, c réels, sont réelles ou conjuguées.
[Exercice corrigé]
Exercice 31 Résoudre dans C les équations suivantes :
z2+z+ 1 = 0 ; z2−(1 + 2i)z+i−1 = 0 ; z2−√
3z−i= 0 ; z2−(5−14i)z−2(5i+ 12) = 0 ; z2−(3 + 4i)z−1 + 5i= 0 ; 4z2−2z+ 1 = 0 ;
z4+ 10z2+ 169 = 0 ; z4+ 2z2+ 4 = 0.
[Exercice corrigé]
Exercice 32 Trouver les racines complexes de l'équation suivante : x4−30x2+ 289 = 0.
Exercice 33 Pour z ∈C\ {2i}, on pose
f(z) = 2z−i z−2i. 1. Résoudre l'équation z2 =i, z ∈C.
2. Résoudre l'équation f(z) = z, z∈C\ {2i}. Exercice 34 On note j =e2π3 .
1. Mettre j et j2 sous forme algébrique.
2. Vérier que 1 +j+j2 = 0.
3. Factoriser le polynôme z −8i.
Exercice 35 1. Calculer les racines carrées de 1 +i, 7 + 24i, i,5 + 12i, 1+i√3+i√3. 2. Résoudre les équations suivantes :
(a) z2 +z+ 1 = 0 (b) z2 +z−2 = 0
(c) z2 −(5−14i)z−2(5i+ 12) = 0 (d) z2 + 4z+ 5 = 0
(e) z2 −(3 + 4i)z−1 + 5i= 0 (f) z4 −(1−i)z2−i= 0
(g) z4 + 4z3+ 6z2+ 4z−15 = 0
Exercice 36 Résoudre dans C les équations suivantes : 1. z2−(11−5i)z+ 24−27i= 0.
2. z3+ 3z−2i= 0.
[Exercice corrigé]
Exercice 37 On considère dans C l'équation (E) suivante : z2−(1 +a) (1 +i)z+ 1 +a2
i= 0, où a est un paramètre réel.
1. Calculer en fonction de a ∈ R les solutions z1 et z2 de (E) (indication : on pourra déterminer les racines carées complexes de −2i(1−a)2).
2. On désigne par Z1 (resp. Z2) les points du plan complexe d'axe z1 (resp. z2) et parM le milieu de [Z1, Z2]. Tracer la courbe du plan complexe décrite par M lorsquea varie dans R.
Exercice 38 1. Pour α∈R, résoudre dans Cl'équation z2−2 cos(α)z+ 1 = 0.En déduire la forme trigonométrique des solutions de l'équation :
z2n−2 cos(α)zn+ 1 = 0, où n est un entier naturel non nul.
Pα(z) =z2n−2 cos(α)zn+ 1.
(a) Justier la factorisation suivante de Pα : Pα(z) =
z2−2 cos α
n
+ 1
z2 −2 cos α
n +2π n
+ 1
. . .
z2−2 cos α
n + 2(n−1)π n
+ 1
. (b) Prouver, à l'aide des nombres complexes par exemple, la formule suivante :
1−cosθ= 2 sin2 θ
2
, θ∈R.
(c) Calculer Pα(1). En déduire sin2α
2n
sin2α 2n + π
n
. . .sin2 α
2n + (n−1)π n
= sin2 α2 4n−1 .
2. Pour tout α appartenant à ]0, π[, et pour tout entier naturel n>2, on pose : Hn(α) = sinα
2n + π 2n
sin
α 2n + 2π
n
. . .sin α
2n + (n−1)π n
. (a) Montrer que, pour tout α non nul, on a :
2n−1Hn(α) = sin(α/2) sin(α/2n). (b) Quelle est la limite de Hn(α) lorsque α tend vers 0?
(c) En déduire que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, on a sinπ
n
sin 2π
n
. . .sin
(n−1)π n
= n 2n−1.
1.3 Racine n -ième
Exercice 39 1. Pour quelles valeurs de z ∈C a-t-on |1 +iz|=|1−iz|. On considère dans C l'équation 1+iz1−izn
= 1+ia1−ia, où a ∈R. Montrer, sans les calculer, que les solutions de cette équation sont réelles. Trouver alors les solutions.
Calculer les racines cubiques de √√3+i3−i.
Exercice 40 Pour tout nombre complexe Z, on pose P(Z) =Z4−1.
1. Factoriser P(Z) et en déduire les solutions dans C de l'équation P(Z) = 0. 2. Déduire de 1. les solutions de l'équation d'inconnue z :
((2z+ 1)/(z−1))4 = 1
Exercice 41 Résoudre dans C l'équation suivante : z4 = (1−i)/ 1 +i√ 3
.
Exercice 42 Résoudre dans C l'équation z3 = 14(−1 +i) et montrer qu'une seule de ses solu- tions a une puissance quatrième réelle.
[Exercice corrigé]
Exercice 43 Trouver les racines cubiques de 2−2i et de 11 + 2i.
[Exercice corrigé]
Exercice 44 Calculer 1+i
√3
√ 2 2(1+i)
2
algébriquement, puis trigonométriquement. En déduire cos12π, sin12π, tan12π, tan5π12. Résoudre dans C l'équation z24= 1.
[Exercice corrigé]
Exercice 45 Trouver les racines quatrièmes de 81 et de −81.
[Exercice corrigé]
Exercice 46 1. Montrer que, pour tout n∈N∗ et tout nombre z ∈C, on a : (z−1) 1 +z+z2+...+zn−1
=zn−1, et en déduire que, si z 6= 1, on a :
1 +z+z2+...+zn−1 = zn−1 z−1 .
2. Vérier que pour tout x∈R , on aexp(ix)−1 = 2iexp 2 sin 2 . 3. Soit n∈N∗. Calculer pour tout x∈R la somme :
Zn = 1 + exp(ix) + exp(2ix) +...+ exp((n−1)ix), et en déduire les valeurs de
Xn = 1 + cos(x) + cos(2x) +...+ cos((n−1)x) Yn = sin(x) + sin(2x) +...+ sin((n−1)x).
[Exercice corrigé]
Exercice 47 Calculer la somme Sn= 1 +z+z2+· · ·+zn.
[Exercice corrigé]
Exercice 48 1. Résoudre z3 = 1 et montrer que les racines s'écrivent 1, j, j2. Calculer 1 +j +j2 et en déduire les racines de 1 +z+z2 = 0.
2. Résoudre zn = 1et montrer que les racines s'écrivent 1, ε, . . . , εn−1. En déduire les racines de 1 +z+z2+· · ·+zn−1 = 0. Calculer, pour p∈N,1 +εp+ε2p+· · ·+ε(n−1)p.
[Exercice corrigé]
Exercice 49 Résoudre dans C : 1. z5 = 1.
2. z5 = 1−i. 3. z3 =−2 + 2i. 4. z5 = ¯z.
Exercice 50 1. Calculer les racines n-ièmes de −iet de 1 +i. 2. Résoudre z2−z+ 1−i= 0.
3. En déduire les racines de z2n−zn+ 1−i= 0. Exercice 51 Soit ε une racine n-ième de l'unité ; calculer
S = 1 + 2ε+ 3ε2+· · ·+nεn−1. Exercice 52 Résoudre, dans C, l'équation (z+ 1)n = (z−1)n. Exercice 53 Résoudre, dans C, l'équation zn =z où n >1. Exercice 54 Résoudre les équations suivantes :
z6 = 1 +i√ 3 1−i√
3 ; z4 = 1−i 1 +i√
3. Exercice 55 Résoudre z6+ 27 = 0. (z ∈C)
Exercice 56 (partiel novembre 91) 1. Soientz1,z2,z3trois nombres complexes distincts ayant le même cube.
Exprimer z2 et z3 en fonction de z1.
2. Donner, sous forme polaire, les solutions dans C de : z6+ (7−i)z3−8−8i= 0.
(Indication : poser Z =z3; calculer (9 +i)2)
[Exercice corrigé]
Exercice 57 Résoudre dans C l'équation 27(z−1)6+ (z+ 1)6 = 0. Exercice 58 Déterminer les racines quatrièmes de −7−24i.
Exercice 59 Soit β ∈Ctel que β7 = 1 et β 6= 1. Montrer β
1 +β2 + β2
1 +β4 + β3
1 +β6 =−2
1.4 Géométrie
Exercice 60 Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que : 1.
z−3 z−5
= 1, 2.
z−3 z−5
=
√2 2 .
[Exercice corrigé]
Exercice 61 1. Résoudre dans Cl'équation (1) (z−2)/(z−1) = i.On donnera la solution sous forme algébrique.
2. Soit M, A, et B les points d'axes respectives z,1,2. On suppose que M 6= A et que M 6= B. Interpréter géométriquement le module et un argument de (z −2)/(z −1) et retrouver la solution de l'équation (1).
Exercice 62 Le plan P est rapporté à un repère orthonormé et identié à l'ensemble C des nombres complexes par
M(x, y)7→x+iy=z,
où z est appelé l'axe de M. Soit f :P rgP qui à tout point M d'axe z associe M0 d'axe z0 = zz+i−i.
1. Sur quel sous ensemble de P,f est-elle dénie ?
2. Calculer |z0| pour z axe d'un point M situé dans le demi plan ouvert H :={M(x, y)∈P |y >0.}?
3. En déduire l'image par f de H.
Exercice 63 Le plan P est rapporté à un repère orthonormé et on identie P à l'ensemble des nombres complexes C par
M(x, y)7→x+iy=z,
où z est appelé l'axe de M. Soit g : PrgP qui à tout point M d'xe z 6= −1 associe g(M) d'axe z0 = 1−z1+z.
1. Calculer z0+ ¯z0 pour |z|= 1.
2. En déduire l'image du cercle de rayon 1de centre 0privé du point de coordonnées (−1,0) par l'application g.
Exercice 64 SoitC la courbe d'équation x2−xy+y2 = 0dans le planP rapporté à un repère orthonormé.
1. La courbe C a-t-elle des points d'intersection avec le rectangle ouvert Rdont les sommets sont :
A = (−3,2) B = (4,2) C = (4,−1) D = (−3,−1).
2. Même question pour le rectangle fermé R0 de sommets : A0 = (−1,4) B0 = (2,4) C0 = (2,1) D0 = (−1,1).
Exercice 65 Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexes z tels que
z−3 z−5
= 1. Généraliser pour
z−a z−b
= 1.
[Exercice corrigé]
Exercice 66 Déterminer par le calcul et géométriquement les nombres complexes z tels que
z−3 z−5
=k (k > 0, k 6= 1). Généraliser pour
z−a z−b
=k.
[Exercice corrigé]
Exercice 67 1. Soit A,B,C trois points du plan complexe dont les axes sont respective- menta,b,c. On suppose quea+jb+j2c= 0; montrer queABCest un triangle équilatéral (j et j2 sont les racines cubiques complexes de 1 plus précisément j = −1+i2√3). Réci- proque ?
2. ABC étant un triangle équilatéral direct du plan complexe, on construit les triangles équilatéraux directs BOD et OCE, ce qui détermine les points D et E (O est l'origine du plan complexe). Quelle est la nature du quadrilatère ADOE? Comparer les triangles OBC, DBA et EAC.
[Exercice corrigé]
Exercice 68 Soit H une hyperbole équilatère de centre O, et M un point de H. Montrer que le cercle de centre M qui passe par le symétrique de M par rapport à O recoupe H en trois points qui sont les sommets d'un triangle équilatéral.
Indications : en choisissant un repère adéquat, H a une équation du type xy = 1, autrement dit en identiant le plan de H au plan complexe, z2 −z¯2 = 4i. En notant a l'axe de M, le cercle a pour équation |z−a|2 = 4a¯a. On pose Z = z−a et on élimine Z¯ entre les équations du cercle et de l'hyperbole. En divisant par Z + 2a pour éliminer la solution déjà connue du symétrique de M, on obtient une équation du type Z3−A= 0.
Exercice 69 Montrer que pour u, v ∈C, on a |u+v|2 +|u−v|2 = 2(|u|2 +|v|2).
[Exercice corrigé]
Exercice 70 Soient z, z0 ∈C tels que Arg(z)−Arg(z0) = π2. 1. Montrer que zz0+zz0 = 0.
2. Montrer que |z+z0|2 =|z−z0|2 =|z|2+|z0|2.
Exercice 71 1. Déterminer l'ensemble des points M du plan complexe, d'axe z tels que : z(z−1) =z2(z−1).
2. Déterminer l'ensemble des points M du plan complexe, d'axe z tels que les images de 1,z, 1 +z2 soient alignées.
Exercice 72 Soit s= (1−z)(1−iz).
1. Déterminer l'ensemble des images des nombres complexes z tel que s soit réel.
2. Déterminer l'ensemble des images des nombres complexes z tel que s soit imaginaire pur.
Exercice 73 1. Soit A un point du plan d'axe α = a+ib. Déterminer l'ensemble des points M du plan dont l'axe z vérie |z|2 =αz¯+ ¯αz.
2. Quelles conditions doivent vérier les points M1 et M2 d'axes z1 et z2 pour que zz12 soit réel ?
3. Déterminer les nombres complexes z tels que les points du plan complexe d'axes z, iz, i forment un triangle équilatéral.
4. Soit z =a+ib, mettre l'expression z−1z+1 sous forme A+iB, . Déterminer l'ensemble des points du plan complexe d'axe z telle que l'argument de z−1z+1 soit π2.
Exercice 74 Déterminer les nombres complexes z tels que le triangle ayant pour sommets les points d'axes z, z2, z3 soit rectangle au point d'axe z.
Exercice 75 Déterminer les nombres complexes z ∈ C∗ tels que les points d'axes z,1z et (1−z) soient sur un même cercle de centre O.
Exercice 76 Résoudre dans C le système :
|z−1|61,|z+ 1|61.
Exercice 77 (Comment construire un pentagone régulier ?) Soit(A0, A1, A2, A3, A4)un pentagone régulier. On note O son centre et on choisit un repère orthonorm'e (O,−→u ,−→v )avec
−→u =−−→OA0, qui nous permet d'identier le plan avec l'ensemble des nombres complexes C.
1. Donner les axes ω0, . . . , ω4 des points A0, . . . , A4. Montrer que ωk = ω1k pour k ∈ {0,1,2,3,4}. Montrer que 1 +ω1+ω21 +ω13+ω14 = 0.
2. En déduire que cos(2π5 )est l'une des solutions de l'équation 4z2+ 2z−1 = 0. En déduire la valeur de cos(2π5 ).
3. On considère le point B d'axe −1. Calculer la longueur BA2 en fonction de sin10π puis de √
5 (on remarquera que sin10π = cos2π5 ).
4. On considère le point I d'axe 2i, le cercle C de centre I de rayon 12 et enn le point J d'intersection de C avec la demi-droite [BI). Calculer la longueur BI puis la longueur BJ.
5. Application : Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.
[Exercice corrigé]
1.5 Trigonométrie
Exercice 78 On rappelle la formule (θ∈R) :
eiθ = cosθ+isinθ.
1. Etablir les formules d'Euler (θ ∈R) : cosθ= eiθ+e−iθ
2 et sinθ = eiθ −e−iθ 2i .
2. En utilisant les formules d'Euler, linéariser (ou transformer de produit en somme) ( a, b∈ R) :
2 cosacosb ; 2 sinasinb ; cos2a ; sin2a.
3. A l'aide de la formule : eixeiy = ei(x+y) (x, y ∈ R), retrouver celles pour sin(x +y), cos(x+y)et tan(x+y)en fonction de sinus, cosinus et tangente de xou dey; en déduire les formules de calcul pour sin(2x), cos(2x) et tan(2x) (x, y ∈R).
4. Calculer cosxet sinx en fonction de tanx
2 (x6=π+ 2kπ , k ∈Z).
5. Etablir la formule de Moivre (θ ∈R) :
(cosθ+isinθ)n= cos(nθ) +isin(nθ).
6. En utilisant la formule de Moivre, calculer cos(3x)et sin(3x)en fonction de sinxetcosx. Exercice 79 1. Calculercos 5θ,cos 8θ,sin 6θ,sin 9θ, en fonction des lignes trigonométriques
de l'angle θ.
2. Calculer sin3θ, sin4θ, cos5θ, cos6θ, à l'aide des lignes trigonométriques des multiples entiers de θ.
Exercice 80 En utilisant les nombres complexes, calculer cos 5θ et sin 5θ en fonction de cosθ et sinθ.
[Exercice corrigé]
Exercice 81 1. Soit θ∈R. A l'aide de la formule de Moivre exprimer en fonction de cosθ et de sinθ :
(a) cos(2θ) et sin(2θ).
(b) cos(3θ) et sin(3θ). En déduire une équation du troisième degré admettant pour so- lution cos(π3) et la résoudre.
2. Linéariser les polynomes trigonométriques suivants : 1 + cos2x, cos3x+ 2 sin2x. Exercice 82 Exprimer (cos 5x)(sin 3x)en fonction de sinx et cosx.
Exercice 83 Soitxun nombre réel. On noteC = 1+cosx+cos 2x+. . .+cosnx=Pn
k=0coskx, et S = sinx+ sin 2x+. . .+ sinnx=Pn
k=0sinkx. Calculer C et S. Exercice 84 Résoudre dans R les équations :
sinx= 1
2, cosx=−1
2, tanx=−1,
et placer sur le cercle trigonométrique les images des solutions ; résoudre dans R l'équation cos(5x) = cos
2π 3 −x
.
Exercice 85 Calculer sin(25π/3),cos(19π/4),tan(37π/6).
Exercice 86 Résoudre l'équation :2 sin2x−3 sinx−2 = 0, puis l'inéquation :2 sin2x−3 sinx− 2>0.
Exercice 87 Etudier le signe de la fonction donnée par f(x) = cos 3x+ cos 5x.
Exercice 88 Simplier, suivant la valeur de x∈[−π, π], l'expression √
1 + cosx+|sinx/2|.
Exercice 89 Résoudre dans R les équations suivantes : (donner les valeurs des solutions ap- partenant à ]−π, π] et les placer sur le cercle trigonométrique).
1. sin (5x) = sin 2π3 +x , 2. sin 2x− π3
= cos x3 , 3. cos (3x) = sin (x).
[Exercice corrigé]
Exercice 90 A quelle condition sur le réel m l'équation √
3 cos(x) + sin(x) = m a-t-elle une solution réelle ? Résoudre cette équation pour m=√
2.
[Exercice corrigé]
Exercice 91 Résoudre dans R les inéquations suivantes : cos(5x) + cos(3x)6cos(x) 2 cos2(x)−9 cos(x) + 4>0.
[Exercice corrigé]
Exercice 92 Résoudre dans R les équations suivantes : 1. cos2(x)−sin2(x) = sin(3x).
2. cos4(x)−sin4(x) = 1.
[Exercice corrigé]
1.6 Divers
Exercice 93 Montrer que tout nombre complexe z non réel de module 1 peut se mettre sous la forme 1+ir1−ir, où r∈R.
Exercice 94 Soit u, v des nombres complexes non réels tels que |u| = |v| = 1 et uv 6= −1. Montrer que 1+uvu+v est réel.
Exercice 95 Calculer les sommes suivantes :
n
X
k=0
cos(kx) ;
n
X
k=0
Cnkcos(kx).
Exercice 96 (Entiers de Gauss) Soit Z[i] ={a+ib ; a, b∈Z}.
1. Montrer que si α et β sont dans Z[i] alors α+β et αβ le sont aussi.
2. Trouver les élements inversibles de Z[i], c'est-à-dire les éléments α∈Z[i] tels qu'il existe β ∈Z[i]avec αβ = 1.
3. Vérier que quel que soit ω ∈C il existe z ∈Z[i] tel que |ω−z|<1.
4. Montrer qu'il existe sur Z[i] une division euclidienne, c'est-à-dire que, quels que soient α et β dans Z[i] il existe q et r dans Z[i]vériant :
α=βq+r avec |r|<|β|. (Indication : on pourra considérer le complexe αβ)
[Exercice corrigé]
Exercice 97 Montrer que ∀z ∈ C |<(z)|+|=(z)|
√2 6 |z| 6 |<(z)|+|=(z)|. Étudier les cas d'égalité.
Exercice 98 Soit (a, b, c, d) ∈ R4 tel que ad−bc = 1 et c 6= 0. Montrer que si z 6= −d c alors
=(az+b
cz+d) = =(z)
|(cz+d)|2.
Exercice 99 Que dire de trois complexes a, b, cnon nuls tels que |a+b+c|=|a|+|b|+|c|.
Exercice 100 1. Étudier la suite (zn)n∈N dénie par : z0 = 4, zn+1 = f(zn) où f est l'application de C sur lui-même dénie par :
∀z ∈C, f(z) = i+1
4(1−i√ 3)z.
Indication : on commencera par rechercher les coordonnées cartésiennes de l'unique point α tel que f(α) =α, puis on s'intéressera à la suite (xn)n∈N dénie par :
∀n ∈N, xn=zn−α.
2. On pose ∀n∈N, ln =|zn+1−zn|. Calculer
nlim→∞
n
X
k=0
lk et interpréter géométriquement.
Exercice 101 (Examen octobre 1999) On dénit une fonction f de C− {i} dans C− {1} en posant
f(z) = z+i z−i. 1. On suppose z réel. Quel est le module de f(z)? 2. Trouver les nombres complexes z tels que f(z) =z.
Exercice 102 (Examen novembre 2001) Soitf la fonction de CdansCdénie par f(z) =
1+z 1−z.
1. Calculer les points xes de la fonction f, c'est à dire les nombres complexes z tels que f(z) = z.
2. Déterminer les nombres complexes z pour lesquels f(z)est réel.
Exercice 103 1. Montrer que si x+y+z = a, yz +zx+xy = b, xyz = c, alors x, y et z sont solutions de l'équation Z3 −aZ2 +bZ −c = 0. Trouver x, y et z si on suppose a=b= 0 et c=−8.
2. Résoudre le système
x+y+z = 4 x2+y2+z2 = 4 x3+y3+z3 = 1
[Exercice corrigé]
2 Logique, ensembles, raisonnements
2.1 Logique
Exercice 104 Soient R et S des relations. Donner la négation de R ⇒S. Exercice 105 Démontrer que (1 = 2)⇒(2 = 3).
[Exercice corrigé]
Exercice 106 Soient les quatre assertions suivantes :
(a) ∃x∈R ∀y∈R x+y >0 ; (b)∀x∈R ∃y∈R x+y >0 ; (c) ∀x∈R ∀y∈R x+y >0 ; (d) ∃x∈R ∀y∈R y2 > x.
1. Les assertions a, b, c, d sont-elles vraies ou fausses ? 2. Donner leur négation.
[Exercice corrigé]
Exercice 107 Soitf une application deRdans R. Nier, de la manière la plus précise possible, les énoncés qui suivent :
1. Pour tout x∈R f(x)61. 2. L'application f est croissante.
3. L'application f est croissante et positive.
4. Il existe x∈R+ tel que f(x)60.
On ne demande pas de démontrer quoi que ce soit, juste d'écrire le contraire d'un énoncé.
[Exercice corrigé]
Exercice 108 Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s'impose : ⇔, ⇐, ⇒. 1. x∈R x2 = 4 . . . x= 2;
2. z ∈C z =z . . . z ∈R; 3. x∈R x=π . . . e2ix = 1.
[Exercice corrigé]
Exercice 109 Dans R2, on dénit les ensembles F1 = {(x, y) ∈R2, y 6 0} et F2 = {(x, y) ∈ R2, xy >1, x>0}. Évaluer les propositions suivantes :
1. ∀ε∈]0,+∞[ ∃M1 ∈F1∃M2 ∈F2 / ||−−−→M1M2||< ε 2. ∃M1 ∈F1∃M2 ∈F2 / ∀ε∈]0,+∞[ ||−−−→M1M2||< ε 3. ∃ε∈]0,+∞[ / ∀M1 ∈F1∀M2 ∈F2 ||−−−→M1M2||< ε 4. ∀M1 ∈F1∀M2 ∈F2 ∃ε∈]0,+∞[ / ||−−−→M1M2||< ε Quand elles sont fausses, donner leur négation.
[Exercice corrigé]
Exercice 110 Nier la proposition : tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront leur retraite avant 50 ans.
[Exercice corrigé]
Exercice 111 Écrire la négation des assertions suivantes où P, Q, R, S sont des propositions.
1. P ⇒Q, 2. P et non Q,
3. P et (Q et R), 4. P ou (Qet R),
5. (P et Q)⇒ (R⇒S).
[Exercice corrigé]
Exercice 112 Nier les assertions suivantes :
1. tout triangle rectangle possède un angle droit ; 2. dans toutes les écuries, tous les chevaux sont noirs ;
3. pour tout entier x, il existe un entier y tel que, pour tout entier z, la relation z < x implique le relation z < x+ 1;
4. ∀ε >0∃α >0 / |x−7/5|< α⇒ |5x−7|< ε.
[Exercice corrigé]
Exercice 113 (Le missionnaire et les cannibales) Les cannibales d'une tribu se préparent à manger un missionnaire. Désirant lui prouver une dernière fois leur respect de la dignité et de la liberté humaine, les cannibales proposent au missionnaire de décider lui-même de son sort en faisant une courte déclaration : si celle-ci est vraie, le missionnaire sera rôti, et il sera bouilli dans le cas contraire. Que doit dire le missionnaire pour sauver sa vie ? (d'après Cervantès) Exercice 114 La proposition P ∧QV(¬P)∨Q
est-elle vraie ?
Exercice 115 On suppose que la proposition P est vraie ainsi que les propositions suivantes : 1. (¬Q)∧P V¬S.
2. S V(¬P)∨Q. 3. P VR∨S. 4. S∧QV¬P. 5. R∧ ¬(S∨Q)VT. 6. RV(¬P)∨(¬Q).
La proposition T est-elle vraie ?
Exercice 116 Ecrire la négation des phrases suivantes : 1. (∀x)(∃n)/(x6n).
2. (∃M)/(∀n)(|un|6M). 3. (∀x)(∀y)(xy=yx). 4. (∀x)(∃y)/(yxy−1 =x).
5. (∀ε >0)(∃N ∈N)/(∀n >N)(|un|< ε).
6. (∀x∈R)(∀ε >0)(∃α >0)/(∀f ∈ F)(∀y∈R)(|x−y|< αV|f(x)−f(y)|< ε).
Exercice 117 Comparer les diérentes phrases (sont-elles équivalentes, contraires, quelles sont celles qui impliquent les autres...)
1. (∀x)(∃y)/(x6y). 2. (∀x)(∀y)(x6y). 3. (∃x)(∃y)/(x6y). 4. (∃x)/(∀y)(x6y). 5. (∃x)/(∀y)(y < x).
6. (∃x)(∃y)/(y < x). 7. (∀x)(∃y)/(x=y).
Exercice 118 SiP(x)est une proposition dépendant de x∈X, on noteP ={x∈X/P(x) est vraie}.
Exprimer en fonction de P et Q les ensembles ¬P , P ∧Q, P ∨Q, P VQ, P ⇔Q. Exercice 119 Montrer que ∀ε >0∃N ∈N tel que (n>N V2−ε < 2n+1n+2 <2 +ε).
[Exercice corrigé]
Exercice 120 Soit f, g deux fonctions de Rdans R. Traduire en termes de quanticateurs les expressions suivantes :
1. f est majorée ; 2. f est bornée ; 3. f est paire ; 4. f est impaire ;
5. f ne s'annule jamais ; 6. f est périodique ; 7. f est croissante ;
8. f est strictement décroissante ; 9. f n'est pas la fonction nulle ;
10. f n'a jamais les mêmes valeurs en deux points distcincts ; 11. f atteint toutes les valeurs de N;
12. f est inférieure à g; 13. f n'est pas inférieure à g.
[Exercice corrigé]
2.2 Ensembles
Exercice 121 Montrer que ∅ ⊂X, pour tout ensemble X.
Exercice 122 Montrer par contraposition les assertions suivantes, E étant un ensemble : 1. ∀A, B ∈ P(E) (A∩B =A∪B)⇒A=B,
2. ∀A, B, C ∈ P(E) (A∩B =A∩C et A∪B =A∪C)⇒B =C.
[Exercice corrigé]
Exercice 123 SoitA, B deux ensembles, montrer {(A∪B) ={A∩{B et {(A∩B) ={A∪{B.
[Exercice corrigé]
Exercice 124 Soient E et F deux ensembles, f :E →F. Démontrer que :
∀A, B ∈ P(E) (A⊂B)⇒(f(A)⊂f(B)),
∀A, B ∈ P(E) f(A∩B)⊂f(A)∩f(B),
∀A, B ∈ P(E) f(A∪B) = f(A)∪f(B),
∀A, B ∈ P(F) f−1(A∪B) =f−1(A)∪f−1(B),
∀A∈ P(F) f−1(F \A) = E\f−1(A).
[Exercice corrigé]
Exercice 125 A et B étant des parties d'un ensemble E, démontrer les lois de Morgan : {A∪{B ={(A∩B) et {A∩{B ={(A∪B).
Exercice 126 Démontrer les relations suivantes :
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) et A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).
Exercice 127 Montrer que si F et Gsont des sous-ensembles de E :
(F ⊂G ⇐⇒ F ∪G=G) et (F ⊂G ⇐⇒ {F ∪G=E).
En déduire que :
(F ⊂G ⇐⇒ F ∩G=F) et (F ⊂G ⇐⇒ F ∩{G=∅).
Exercice 128 Soit E et F des ensembles. Si A⊂E et B ⊂F montrer que A×B ⊂E×F. Exercice 129 Soit A = {a1, a2, a3, a4} et B = {b1, b2, b3, b4, b5}. Écrire le produit cartésien A×B. Quel est le nombre de parties de A×B?
Exercice 130 Soit E un ensemble à n éléments. Quel est le nombre d'éléments de Ep? Quel est le nombre de parties de Ep?
Exercice 131 x, y,z étant des nombres réels, résoudre le système : (x−1)(y−2)z = 0
(x−2)(y−3) = 0 Représenter graphiquement l'ensemble des solutions.
Exercice 132 SoitA une partie de E, on appelle fonction caractéristique de Al'application f de E dans l'ensemble à deux éléments {0,1}, telle que :
f(x) =
(0 si x /∈A 1 si x∈A
SoitAet B deux parties de E,f etg leurs fonctions caractéristiques. Montrer que les fonctions suivantes sont les fonctions caractéristiques d'ensembles que l'on déterminera :
1. 1−f. 2. f g.
3. f+g−f g.
Exercice 133 Soit un ensembleEet deux partiesAetB deE. On désigne parA4Bl'ensemble (A∪B)\(A∩B). Dans les questions ci-après il pourra être commode d'utiliser la notion de fonction caractéristique.
1. Démontrer que A4B = (A\B)∪(B \A).
2. Démontrer que pour toutes les parties A, B, C de E on a (A4B)4C=A4(B4C). 3. Démontrer qu'il existe une unique partie X de E telle que pour toute partie A de E,
A4X =X4A=A.
4. Démontrer que pour toute partie A de E, il existe une partie A0 de E et une seule telle que A4A0 =A04A=X.
Exercice 134 1. Écrire l'ensemble de dénition de chacune des fonctions numériques sui- vantes : x7→√
x, x7→ x−11 ,x7→√
x+ x−11 . 2. Simplier [1,3]∩[2,4]et [1,3]∪[2,4].
3. Pour tout n∈N, on notenZl'ensemble des entiers relatifs multiples de n:nZ={np|p∈ Z}. Simplier 2Z∩3Z.
Exercice 135 On dénit les cinq ensembles suivants : A1 =
(x, y)∈R2, x+y <1 A2 =
(x, y)∈R2, |x+y|<1 A3 =
(x, y)∈R2, |x|+|y|<1 A4 =
(x, y)∈R2, x+y >−1 A5 =
(x, y)∈R2, |x−y|<1 1. Représenter ces cinq ensembles.
2. En déduire une démonstration géométrique de
(|x+y|<1 et |x−y|<1)⇔ |x|+|y|<1.
Exercice 136 Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, éventuellement vide ou réduit à un point
I1 =
+∞
\
n=1
3,3 + 1 n2
et I2 =
+∞
\
n=1
−2− 1
n,4 +n2
.
[Exercice corrigé]
Exercice 137 Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, éventuellement vide ou réduit à un point
I1 =
+∞
\
n=1
−1
n,2 + 1 n
et I2 =
+∞
[
n=1
1 + 1
n, n
.
[Exercice corrigé]
Exercice 138 Soient E un ensemble et A, B, C trois parties de E telles que A∪B =A∪C et A∩B =A∩C. Montrer que B =C.
Exercice 139 Soient E un ensemble et A, B, C trois parties de E.
Montrer que (A∪B)∩(B∪C)∩(C∪A) = (A∩B)∪(B ∩C)∪(C∩A). Exercice 140 Donner les positions relatives de A, B, C ⊂E siA∪B =B ∩C.
Exercice 141 Est-il vrai que P(A∩B) = P(A)∩ P(B)? Et P(A∪B) = P(A)∪ P(B)? Exercice 142 Montrer que A∩B =A∩C ⇔A∩{B =A∩{C.
Exercice 143 Donner la liste des éléments de P(P({1,2})).
Exercice 144 Soient A, B ⊂E. Résoudre les équations à l'inconnue X ⊂E 1. A∪X =B.
2. A∩X =B.
[Exercice corrigé]
Exercice 145 Soient E, F, Gtrois ensembles. Montrer que (E×G)∪(F ×G) = (E∪F)×G. Exercice 146 SoientE, F, G, H quatre ensembles. Comparer les ensembles (E×F)∩(G×H) et (E∩G)×(F ∩H).
Exercice 147 Soit E l'ensemble des fonctions de N dans {1,2,3}. Pour i = 1,2,3 on pose Ai ={f ∈E/f(0) =i}. Montrer que les Ai forment une partition de E.
2.3 Absurde et contraposée
Exercice 148 Montrer que √ 2∈/Q.
Exercice 149 SoitXun ensemble et f une application deX dans l'ensembleP(X)des parties deX. On noteAl'ensemble desx∈X vériantx /∈f(x). Démontrer qu'il n'existe aucun x∈X tel que A=f(x).
Exercice 150 Soit(fn)n∈Nune suite d'applications de l'ensemble Ndans lui-même. On dénit une application f de N dans N en posant f(n) = fn(n) + 1. Démontrer qu'il n'existe aucun p∈N tel que f =fp.
[Exercice corrigé]
Exercice 151 1. Soitp1, p2, . . . , pr rnombres premiers. Montrer que l'entier N =p1p2. . . pr+ 1 n'est divisible par aucun des entiers pi.
2. Utiliser la question précédente pour montrer par l'absurde qu'il existe une innité de nombres premiers.
[Exercice corrigé]
2.4 Récurrence
Exercice 152 Démontrer, en raisonnant par récurrence, que 106n+2+ 103n+1+ 1est divisible par 111 quel que soit n∈N. (Indication : 1000 = 9×111 + 1 ).
Exercice 153 Montrer : 1.
n
X
k=1
k = n(n+ 1)
2 ∀n ∈N∗. 2.
n
X
k=1
k2 = n(n+ 1)(2n+ 1)
6 ∀n∈N∗.
[Exercice corrigé]
Exercice 154 En quoi le raisonnement suivant est-il faux ? Soit P(n) : n crayons de couleurs sont tous de la même couleur.
P(1) est vraie car un crayon de couleur est de la même couleur que lui-même.
Supposons P(n). Soit n+ 1 crayons. On en retire 1. Les n crayons restants sont de la même couleur par hypothèse de récurrence.
Reposons ce crayon et retirons-en un autre ; les n nouveaux crayons sont à nouveau de la même couleur. Le premier crayon retiré était donc bien de la même couleur que les n autres.
La proposition est donc vraie au rang n+ 1.
On a donc démontré que tous les crayons en nombre inni dénombrable sont de la même couleur.
Exercice 155 Soit la suite (xn)n∈N dénie par x0 = 4 et xn+1 = 2x2n−3 xn+ 2 . 1. Montrer que : ∀n∈N xn >3.
2. Montrer que : ∀n∈N xn+1−3> 32(xn−3). 3. Montrer que : ∀n∈N xn > 32n
+ 3. 4. La suite (xn)n∈N est-elle convergente ?
[Exercice corrigé]
Exercice 156
1. Dans le plan, on considère trois droites ∆1,∆2,∆3 formant un vrai triangle : elles ne sont pas concourantes, et il n'y en a pas deux parallèles. Donner le nombre R3 de régions (zones blanches) découpées par ces trois droites.
2. On considère quatre droites ∆1, . . . ,∆4, telles qu'il n'en existe pas trois concourantes, ni deux parallèles. Donner le nombre R4 de régions découpées par ces quatre droites.
3. On considère n droites ∆1, . . . ,∆n, telles qu'il n'en existe pas trois concourantes, ni deux parallèles. Soit Rn le nombre de régions délimitées par ∆1. . .∆n, et Rn−1 le nombre de régions délimitées par ∆1. . .∆n−1. Montrer que Rn =Rn−1+n.
4. Calculer par récurrence le nombre de régions délimitées par ndroites en position générale, c'est-à-dire telles qu'il n'en existe pas trois concourantes ni deux parallèles.
[Exercice corrigé]
Exercice 157 Soit X un ensemble. Pour f ∈ F(X, X), on dénit f0 = id et par récurrence pour n ∈N fn+1 =fn◦f.
1. Montrer que ∀n∈N fn+1 =f◦fn.
2. Montrer que si f est bijective alors ∀n ∈N (f−1)n = (fn)−1.
[Exercice corrigé]
Exercice 158 Montrer que
∀n>2, n!6
n+ 1 2
n
. Exercice 159 Pour tout entier naturel n, on pose
Sn = 1·2 + 2·3 +· · ·+ (n−1)·n Démontrer que l'on a
Sn= 1
3n(n−1)(n+ 1) Exercice 160 Pour n ∈N on considère la propriété suivante :
Pn : 2n> n2
1. Pour quelles valeurs de n l'implication Pn =⇒Pn+1 est-elle vraie ? 2. Pour quelles valeurs de n la propriété Pn est-elle vraie ?
Exercice 161 Que pensez-vous de la démonstration suivante ? 1. Pour tout n>2, on considère la propriété :
P(n) : n points distincts du plan sont toujours alignés 2. Initialisation : P(2) est vraie car deux points distincts sont toujours alignés.
3. Hérédité : On suppose que P(n) est vraie et on va démontrer P(n+ 1).
Soit donc A1, A2, . . . , An, An+1 des points distincts. D'après l'hypothèse de récurrence, A1, A2, . . . , An sont alignés sur une droite d, et A2, . . . , An, An+1 sont alignés sur une droited0. Les deux droites detd0 ayant n−1points communsA2, . . . , Ansont confondues.
Donc A1, A2, . . . , An, An+1 sont alignés, ce qui montre l'hérédité de la propriété.
4. Conclusion : la propriété P(n) est vraie pour tout n >2.
Exercice 162 1. Démontrer que pour tout entier naturel n, 9divise 10n−1.
2. Soit kun entier strictement positif. Étudier la propriété suivante : pour tout entier naturel n, k divise (k+ 1)n+ 2.
Exercice 163 Démontrer que pour n>1, le produit de nentiers impairs est un entier impair.
Exercice 164 On considère une suite (un)n∈N telle que :
u0 = 0 et u1 = 1 et ∀n>1, un+1 =un+ 2un−1 Démontrer que :
1. ∀n∈N, un∈N,
2. ∀n∈N, un= 13(2n−(−1)n).
Exercice 165 Soit b > 2 un entier xé. Démontrer que pour tout N ∈N∗, il existe un entier n∈N et des entiers a0, a1, . . . , an appartenant à {0,1, . . . , b−1} tels que ;
N =a0+a1b+· · ·+anbn et an6= 0
Démontrer que pour chaque N, le système (n, a0, a1, . . . , an) est déterminé par la propriété ci-dessus.
On dit que a0, a1, . . . , an sont les chires de l'écriture du nombre N suivant la base b.
Exercice 166 Démontrer par récurrence que pour tout k ∈N,k!divise le produit de k entiers consécutifs :
∀n ∈N, k!|n(n+ 1)· · ·(n−k+ 1) Exercice 167 Les propriétés
Pn : 3|4n−1, ∀n ∈N, et
Qn : 3|4n+ 1 , ∀n ∈N, sont-elles vraies ou fausses ?
Exercice 168 1. Calculer les restes de la division euclidienne de 1,4,42,43 par 3.
2. Formuler, pour tout n ∈ N, une hypothèse P(n) concernant le reste de la division eucli- dienne de 4n par 3. Démontrer que P(n)est vériée pour tout n∈N.
3. Pour tout n∈N, le nombre 16n+ 4n+ 3 est-il divisible par 3.
Exercice 169 Démontrer, en raisonnant par récurrence, que 32n+2−2n+1 est divisible par 7 quel que soit n ∈N.
Exercice 170 1. Démontrer par récurrence :
n
X
k=0
k = n(n+ 1) 2 2. Calculer de deux manières diérentes :
n+1
X
k=1
k3−
n
X
k=0
(k+ 1)3.
3. En déduire : n
X
k=0
k2 = 1
6(2n3 + 3n2+ 3n).
Exercice 171 Montrer que pour tout entier n >1 : 1
1.2+ 1
2.3+. . .+ 1
n.(n+ 1) = n n+ 1.
Exercice 172 Démontrer, en le déterminant qu'il existe un entier n0 tel que
∀n>n0, 2n >(n+ 2)2.
Exercice 173 Démontrer par récurrence sur n que pour tout n>2 l'implication [x >−1, x6= 0]⇒[(1 +x)n >1 +nx]
est vraie.
Exercice 174 1. Soit n∈N; montrer que pour tout entier k >1on a nk+knk−1 6(n+ 1)k.
2. Soit b un réel positif ou nul. Montrer par récurrence, que pour tout n>1 on a (1 +b)n61 + nb
1! + (nb)2
2! +...+ (nb)n n! . Exercice 175 Montrer par récurrence que pour tout entier n∈N,
(a+b)n=
n
X
k=0
Cnkakbn−k, pour tout réel a et b.
Exercice 176 On dénit une suite (Fn)de la façon suivante : Fn+1 =Fn+Fn−1; F0 = 1, F1 = 1 . 1. Calculer Fn pour 1< n <10.
2. Montrer que l'équation x2 =x+1admet une unique solution positive aque l'on calculera.
3. Montrer que, pour tout n >2, on a
an−2 < Fn < an−1 . Exercice 177 Montrer que :
cos π 2n =
r 2 +
q
2 +. . .√ 2.
Exercice 178 Pour n ∈N, n>2,trouver une loi simpliant le produit : (1−1
4)...(1− 1 n).
Exercice 179 Pour n∈N,soienta0, . . . , an des nombres réels de même signe tel que ai >−1, montrer que :
(1 +a0)...(1 +an)>1 +a0+. . .+an.
2.5 Divers
Exercice 180 Quels sont les entiers n tels que 4n6n!? Exercice 181 Montrer que :
∀n>2, un=
n
X
k=1
1 k ∈/ N. Indication : montrer que
∀n>2,∃(pn, qn)∈(N∗)2, un = 2pn+ 1 2qn . Exercice 182 Soit f :N∗ →N∗ une application vériant :
∀n∈N∗, f(n+ 1)> f(f(n)).
Montrer que f = IdN∗. Indications : que dire de k ∈ N tel que f(k) = inf{f(n)|n ∈ N}? En déduire que ∀n > 0, f(n)> f(0). Montrer ensuite que ∀n∈N, on a : ∀m > n, f(m)> f(n) et
∀m 6 n, f(m) > m (on pourra introduire k tel que f(k) soit le plus petit entier de la forme f(m) avec m > n). En déduire que f est strictement croissante et qu'il n'existe qu'une seule solution au problème. Laquelle ?
Exercice 183 Pour p∈ {1,2,3} on note Sp =
n
P
k=0
kp.
1. A l'aide du changement d'indice i=n−k dans S1, calculer S1. 2. Faire de même avec S2. Que se passe-t-il ?
3. Faire de même avec S3 pour l'exprimer en fonction de n et S2. 4. En utilisant l'exercice 153, calculer S3.
Exercice 184 Pour calculer des sommes portant sur deux indices, on a intérêt à représenter la zone du plan couverte par ces indices et à sommer en lignes, colonnes ou diagonales... Calculer :
1. P
16i6j6n
ij.
2. P
16i<j6n
i(j−1).
3. P
16i<j6n
(i−1)j.
4. P
16i6j6n
(n−i)(n−j).
5. P
16p,q6n
(p+q)2 (on posera k=p+q).
3 Injection, surjection, bijection
3.1 Application
Exercice 185 Soientf :R→Ret g :R→Rtelles quef(x) = 3x+ 1etg(x) = x2−1. A-t-on f ◦g =g◦f?
[Exercice corrigé]
Exercice 186 Soit l'application de R dans R,f: x7→x2.
1. Déterminer les ensembles suivants : f([−3,−1]),f([−2,1]),f([−3,−1]∪[−2,1])etf([−3,−1]∩ [−2,1]). Les comparer.
2. Mêmes questions avec les ensembles f−1(]−∞,2]), f−1([1,+∞[),f−1(]−∞,2]∪[1,+∞[) et f−1(]−∞,2]∩[1,+∞[).
3.2 Injection, surjection
Exercice 187 Donner des exemples d'applications de Rdans R (puis de R2 dans R) injective et non surjective, puis surjective et non injective.
Exercice 188 Soit f :R→R dénie par f(x) = x3−x.
f est-elle injective ? surjective ? Déterminer f−1([−1,1]) et f(R+).
Exercice 189 Les fonctions suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ? f :Z→Z, n7→2n ; f :Z→Z, n7→ −n
f :R→R, x7→x2 ; f :R→R+, x7→x2 f :C→C, z 7→z2.
Exercice 190 Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ? 1. f :
(
N→N n7→n+ 1 2. g :
(
Z→Z n 7→n+ 1 3. h:
(
R2 →R2
(x, y)7→(x+y, x−y) 4. k :
(
R− {1} →R x7→ x+1x−1
Exercice 191 Soit f :R→R dénie par f(x) = 2x/(1 +x2). 1. f est-elle injective ? surjective ?
2. Montrer que f(R) = [−1,1].
3. Montrer que la restriction g : [−1,1]→[−1,1]g(x) = f(x) est une bijection.
4. Retrouver ce résultat en étudiant les variations de f.
[Exercice corrigé]
Exercice 192 L'application f : C\ {0} → C, z 7→ z + 1/z est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Donner l'image par f du cercle de centre 0 et de rayon 1. Donner l'image réciproque par f de la droite iR.
Exercice 193 On considère quatre ensembles A, B, C et D et des applications f : A → B, g :B →C, h:C→D. Montrer que :
g◦f injective ⇒f injective, g◦f surjective ⇒g surjective.
Montrer que :
g◦f et h◦g sont bijectives
⇔ f, g et h sont bijectives .
[Exercice corrigé]
Exercice 194 Soit f :X →Y. Montrer que 1. ∀B ⊂Y f(f−1(B)) =B ∩f(X).
2. f est surjective ssi ∀B ⊂Y f(f−1(B)) =B. 3. f est injective ssi ∀A⊂X f−1(f(A)) =A. 4. f est bijective ssi ∀A⊂X f({A) ={f(A).
Exercice 195 Soitf :X →Y. Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes : i. f est injective.
ii. ∀A, B ⊂X f(A∩B) =f(A)∩f(B). iii. ∀A, B ⊂X A∩B =∅Vf(A)∩f(B) =∅.
Exercice 196 Soit f : X → Y.On note fˆ :
(P(X)→ P(Y)
A7→f(A) et f˜ :
(P(Y)→ P(X) B 7→f−1(B) . Montrer que :
1. f est injective ssi fˆest injective.
2. f est surjective ssi f˜est injective.
Exercice 197 (Exponentielle complexe) Si z =x+iy, (x, y)∈R2, on pose ez =ex×eiy. 1. Déterminer le module et l'argument de ez.
2. Calculer ez+z0, ez, e−z,(ez)n pour n∈Z.
3. L'application exp :C→C, z 7→ez, est-elle injective ?, surjective ?
[Exercice corrigé]
3.3 Bijection
Exercice 198 Soienta, b∈Raveca6= 0, etfa,b :R→Rtelle quefa,b(x) = ax+b. Démontrer que fa,b est une permutation et déterminer sa réciproque.
[Exercice corrigé]
Exercice 199 Soit f : [0,1]→[0,1]telle que f(x) =
(x si x∈[0,1]∩Q, 1−x sinon.
Démontrer que f◦f =id.
[Exercice corrigé]
Exercice 200 Soit f : R → C t 7→ eit. Montrer que f est une bijection sur un ensemble à préciser.
[Exercice corrigé]
Exercice 201 On appelle demi-plan de Poincaré l'ensemble P des nombres complexes z tels queImz >0, et disque unité l'ensembleDdes nombres complexes ztels que |z|<1. Démontrer que z 7→ z−iz+i est une bijection de P sur D.
Exercice 202 Soit f : [1,+∞[→[0,+∞[ telle que f(x) = x2−1. f est-elle bijective ?
[Exercice corrigé]
Exercice 203 Soient A−→f B −→g C −→h D. Montrer que si g◦f et h◦g sont bijectives alors f, g et h le sont également.
