Formes multilinéaires









0 1 . . . 0 ... ... ... ...

... ... 1 0 . . . 0









 .

Exercice 1103 Soit f ∈ L(R³) de matrice





3 −1 1

0 2 0

1 −1 3



 dans la base canonique. Déterminer la matrice de f dans la base (1,0,−1),(0,1,1),(1,0,1).

Exercice 1104 Soitf l'endomorphisme de R² de matrice

2 ²₃

−⁵₂ −²₃

dans la base canonique.

Soient e₁ = (−2,3) et e₂ = (−2,5).

1. Montrer que (e₁, e₂) est une base de R² et déterminer mat(f, e). 2. Calculer Aⁿ pour n ∈N.

3. Déterminer l'ensemble des suites réelles qui vérient ∀n ∈N







xn+1 = 2xn+2 3yn

yn+1 =−5

2xn− 2 3yn

. Exercice 1105 Soit E =vect(AB−BA,(A, B)∈Mn(Q)²).

1. Montrer que E = kertr (pour l'inclusion non triviale, on trouvera une base de kertr formée de matrices de la forme AB−BA).

2. Soit f ∈ M_n(Q)^∗ telle que ∀(A, B) ∈ M_n(Q)² f(AB) = f(BA). Montrer qu'il existe α∈R tel que f =αtr.

Exercice 1106 Soient A =

1 1 0 1

et Φ :

(M₂(R)→M₂(R)

M 7→AM −M A . Montrer que Φ est linéaire, déterminer sa matrice dans la base canonique et calculer ker Φ et ImΦ.

21 Déterminants, systèmes linéaires

21.1 Formes multilinéaires

Exercice 1107 On considère l'espace Mn(K) des matrices carrées n ×n à coecients dans le corps K. On rappelle que la trace tr(A) d'une matrice A ∈ Mn(K) est la somme de ses coecients diagonaux.

Pour une matrice M donnée, on note α_M l'application dénie par

∀X ∈ Mn(K), α_M(X) = tr(M X).

1. Vérier que ∀M ∈ Mⁿ(K), αM ∈(Mⁿ(K))^∗. On note φ l'application suivante :

φ : Mn(K) → (Mn(K))^∗

M 7→ α_M

2. Etudier l'injectivité et la surjectivité de φ.

3. En déduire que pour toute forme linéaire α∈(Mn(K)) , il existe une matrice A∈ Mn(K) telle que :

∀X ∈ Mn(K), α(X) =tr(AX).

4. Déterminer toute les formes linéaires α∈(Mn(K))^∗ telles que

∀(X, Y)∈(Mn(K))², α(XY) = α(Y X).

Exercice 1108 On note R_n[X] l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels de degré inférieur ou égal à n.

6. En déduire que pour toute fonction continue f de R dans R, il existe un polynôme P de degré n, qui interpole f en chaque point x_i, c'est à dire qui satisfait :

∀i∈ {!, ..., n} P(x_i) = f(x_i).

Exercice 1109 Dans chacun des cas ci-dessous, dire si l'application φ de R³ ×R³×R³ dans R, est multilinéaire.

Exercice 1110 Montrer que l'espace des formes bi-linéaires sur R² est un espace vectoriel. En donner une base.

Exercice 1111 Donner toutes les formes tri-linéaires alternées sur R². Plus généralement, que dire des formes m-linéaires alternées sur un espace de dimension n lorsque m > n?

Exercice 1112 Soit A∈ M^n,n(R). On considère l'application ΦA suivante :

Φ_A : (Rⁿ)ⁿ → R

M = (C₁, ..., C_n) 7→ det(AM) Montrer que Φ_A est n-linéaire.

Calculer A× Plus généralement, montrer que Φ_A est alternée.

Montrer que Φ_A(M) = det(A) det(M). En déduire que :

∀(A, B)∈ Mn,n(R), det(AB) = det(BA) = det(A) det(B)

Exercice 1113 Dans R³ muni de sa base canonique, on considère les applications ω et α suivantes :

1. Montrer que ω est antisymétrique et bilinéaire.

A l'aide de ω et α, on dénit une nouvelle application, notée ω∧α, de la façon suivante : ω∧α : R³×R³×R³ → R

(X, Y, Z) 7→ ω(X, Y)α(Z) +ω(Y, Z)α(X) +ω(Z, X)α(Y) 2. Montrer que ω∧α est alternée.

3. Montrer que ω∧α est trilinéaire.

4. Calculer ω∧α(e₁, e₂, e₃). En déduire que∀(X, Y, Z)∈(R³)³ω∧α(X, Y, Z) = det(X, Y, Z)

21.2 Calcul

Exercice 1114 Calculer les déterminants des matrices suivantes :



Exercice 1115 Calculer, pour tout t ∈ R le rang des matrices M_t =



Exercice 1116

1. Soient A ∈ M_p(R) et B ∈ M_q(R). Calculer (en fonction de det(A) et det(B)) le déter-minant de la matrice M =

A 0 0 B

∈ M_p+q(R). (On pourra pour cela décomposer M comme produit de deux matrices de déterminant évident et utiliser la multiplicativité du déterminant.) Exercice 1117 Sans calcul, montrer que

est divisible par 17.

Exercice 1118 Soit ∆(x) = det(a_i,j(x))de taille n= 2 ou 3avec a_i,j des fonctions dérivables.

1. Montrer que∆⁰(x)est la somme desndéterminants obtenus en remplaçant successivement dans ∆(x) chaque colonne par sa dérivée.

2. Calculer

et déterminer la condition d'inversibilité de la matrice.

Exercice 1120 La famille (2,1,0), (1,3,1),(5,2,1)est-elle libre ? vecteur de Rⁿ dont la i-ième composante est égale à 1 et toutes les autres sont nulles. Écrire la matrice n×n dont les vecteurs colonnes C_i sont donnés par C_i =e_i +e_n pour 16 i6 n−1 et C_n=e₁+e₂+e_n. Calculer alors son déterminant.

Exercice 1124 On note a, b, c des réels. Calculer les déterminants suivants.

D1 =

Exercice 1126 Montrer que Exercice 1127 Soient a, b deux réels distincts. Calculer le déterminant suivant.

D₁ = Exercice 1128 Calculer le déterminant de la matrice suivante :



Calculer alors, suivant la valeur du paramètre m, le rang de cette matrice.

Exercice 1129 Calculer le déterminant

∆_n = Exercice 1130 Calculer les déterminants suivants :

∆₁ =

Exercice 1132 Soit (a, b) ∈ R avec a 6= b. Pour n ∈ N, n > 2, on note B_n le déterminant

Exercice 1133 On s'intéresse aux suites réelles (u_n)_n∈N satisfaisant la relation de récurrence

∀n∈N u_n+2 =√

2u_n+1−u_n (?) 1. Déterminer toutes les suites complexes satisfaisant la relation (?). 2. Déterminer toutes les suites réelles satisfaisant la relation (?).

On considère maintenant le déterminant d'ordre n suivant :

∆_n= Exercice 1134 Calculer les déterminants suivants :

Exercice 1135 Calculer les déterminants suivants :

Exercice 1136 Les nombres 119, 153 et 289 sont tous divisibles par 17. Montrer, sans le développer que le déterminant

Exercice 1137 Calculer les déterminants suivants :

∆₁ =

Exercice 1138 Pour (a₀, . . . , a_n−1) ∈Rⁿ, on note A_(a0...an) la matrice

Exercice 1139 Calculer les déterminants suivant :

Etudier la multi-linéarité de φ par rapport aux colonnes de A. Calculer φ(id). En déduire que det Exercice 1141 Calculer le déterminant suivant :

∆ = Comment généraliser ce résultat en dimension plus grande ? Exercice 1142 Calculer les déterminants suivants :

Exercice 1143 Soit (a₀, ..., a_n−1)∈C ,x∈C. Calculer

Calculer le produit AV, puis det(AV) en fonction de det(V), et en déduire det(A). Exercice 1145 Soit a un réel. On note ∆_n le déterminant suivant :

∆_n = Exercice 1147 Soient a, b, c trois réels et ∆_n le déterminant de taille n suivant :

∆_n= Exercice 1148 Calculer le déterminant suivant :

∆ =

Exercice 1149 Soit ∆_n le déterminant de taille n suivant :

Exercice 1151 Soit E un espace vectoriel réel de dimension nie n et ϕ ∈ L(E) telle que ϕ² =−idE.

1. Donner des exemples de telles applications dans le cas n = 2 ou 4.

2. Montrer que de telles applications existent si et seulement si n est pair.

[Exercice corrigé]

Exercice 1152 Inverser les matrices



ainsi que leurs pro-duits.

1. Montrer que le produit de deux matrices triangulaires supérieures est une matrice trian-gulaire supérieure.

2. Démontrer que det(A) =a₁₁· · ·a_nn.

3. Soit E un espace vectoriel, ε = {e₁, . . . , e_n} une base de E et ϕ ∈ L(E). On note E_i l'espace vectoriel engendré par {e₁, . . . , e_i}, pour tout 16i6n. Montrer que Mat(ϕ, ε) est triangulaire supérieure si et seulement si ϕ(E_i)⊂E_i pour tout 16i6n.

4. Démontrer que l'inverse d'une matrice triangulaire supérieure est une matrice triangulaire supérieure.

Exercice 1155 On considère les matrices :

I =

1. Pour tout n∈N calculer det(A ).

2. Calculer N² et N³.

3. Pour tout n∈N^∗ donner le rang de Nⁿ et celui de Aⁿ.

4. En utilisant 1., donner, en fonction de n∈N^∗, l'expression de la matrice M(n) =Aⁿ. 5. Pour n ∈ N^∗, justier la formule (Aⁿ)⁻¹ = M(−n). Expliquer et justier l'écriture :

Aⁿ=M(n) pour tout n ∈Z.

Exercice 1156 Soit S la matrice 5×5 à coecients réels : S =













0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0











 .

1. Calculer det (S). Déterminer (de préférence sans calcul) S⁻¹.

2. Montrer qu'il existe deux sous espaces vectoriels E₁ et E₂ de R⁵ de dimension respective 2 et 3 tels que : R⁵ =E₁⊕E₂⊕E₃ et S(E₁)⊂E₁ S(E₂)⊂E₂.

3. Montrer qu'il existe x∈E₂ tels queSx=x.En déduire que la décomposition qui précéde n'est pas unique.

Exercice 1157 Soit A ∈ M₃(R) anti-symétrique. Calculer det(A). Ce résultat vaut-il encore pour A ∈M2(R)?

[Exercice corrigé]

Exercice 1158 Soient n = 2 ou 3 et A∈M_n(Q).

1. Montrer que si ∀X ∈M_n(Q) det(A+X) = det(X) alors A= 0.

2. Soit B ∈M_n(Q) telle que ∀X ∈M_n(Q) det(A+X) = det(B+X). Montrer que A=B. Exercice 1159 Soit (A, B)∈M_n(R)² tel que A²+B² =AB et AB−BA inversible. Montrer que 3divise n.

Exercice 1160 Montrer que si n ∈N− {0,1}, A∈M_n(R), on a : det(Com(A)) = det(A)ⁿ⁻¹. Exercice 1161 Montrer que si n ∈N^∗, A∈Mn(R) :

rg(A) = n⇒rg(Com(A)) =n;

rg(A) =n−1⇒rg(Com(A)) = 1;

rg(A)6n−2⇒rg(Com(A)) = 0.

Exercice 1162 Soit A= (ai,j)(i,j)∈{1,...,n}² ∈Mn(R)telle que :

∀i ∈ {1, ..., n},

n

X

j=1

a_i,j 61,

∀(i, j) ∈ {1, ..., n}², a_i,j ∈[0,1[.

Montrer que |det(A)|<1.

Dans le document Bibliothèque d'exercices (Page 145-155)