6 Arithmétique dans Z
6.3 Pgcd, ppcm, algorithme d'Euclide
n=1
2nZ; 4Z∩6Z∩8Z∩19Z∩35Z. Exercice 288 1. Déterminer 2Z∪3Z. Est-ce un sous-groupe de Z?
2. Déterminer : 7Z∪49Z; 5Z∪45Z;S28
n=12nZ. Ces ensembles sont-ils des sous-groupes de Z?
3. Trouver une condition nécessaire et susante pour qu'une réunion de deux sous-groupes de Z soit un sous-groupe de Z.
Exercice 289 1. Soit A une partie non vide de Z; montrer que la famille des sous-groupes contenant A n'est pas vide. Soit H une partie contenant A. Montrer l'équivalence des conditions suivantes :
i) H est l'intersection des sous-groupes de Zqui contiennent A, ii) H est le plus petit sous-groupe de Z qui contient A,
iii) H est l'ensemble des sommes nies d'éléments de Aou d'éléments dont l'opposé est dans A.
Si ces conditions sont vériées on dit que H est le sous-groupe engendré par A. 2. Soient mZ et nZ deux sous-groupes de Z. Montrer que
mZ+nZ={mu+nv|u, v ∈Z} a) est un sous-groupe de Z,
b) contient mZ et nZ,
c) est contenu dans tout sous-groupe de Z qui contient mZ et nZ. d) Si mZ+nZ=dZ, que peut-on dire de d?
3. Déterminer les sous-groupes engendrés par : 14Z∪35Z; 4Z∪8Z∪6Z∪64Z; 2Z∪3Z; 4Z∪21Z; 5Z∪25Z∪7Z; {70,4}.
6.3 Pgcd, ppcm, algorithme d'Euclide
Exercice 290 Calculer le pgcd des nombres suivants : 1. 126, 230.
2. 390, 720, 450.
3. 180, 606, 750.
[Exercice corrigé]
Exercice 291 1. Calculer le ppcm des nombres : 108 et 144 ; 128 et 230 ; 6, 16 et 50.
2. Montrer que si a>1et b>1sont des entiers de pgcd det, si on pose a=da0;b=db0, le ppcm de a et b est da0b0.
3. Montrer que si a, b, c sont des entiers supérieurs à 1, on a : ppcm(a, b, c) = ppcm(ppcm(a, b), c).
Exercice 292 Déterminer les couples d'entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360. De même avec pgcd 18 et produit 6480.
[Exercice corrigé]
Exercice 293 Si a, b, c, d sont des entiers supérieurs à 1, montrer que l'on a : (a, b, c, d) = ((a, b),(c, d))
où ( , ) désigne le pgcd .
Exercice 294 1. Soient a, b, c des entiers relatifs tels que (a, b)6= (0,0), montrer que pour que l'équation
ax+by =c
ait une solution (x, y) en entiers relatifs x et y, il faut et il sut que le pgcd de a et b divise c.
2. Résoudre en entiers relatifs les équations suivantes : 7x−9y= 1, 7x−9y= 6, 11x+ 17y = 5.
Exercice 295 Soient a et b deux entiers tels que a >b>1 et pgcd(a, b) = 1. 1. Montrer que pgcd(a+b, a−b) = 1 ou 2,
2. Si pgcd(a, b) = 1, montrer que pgcd(a+b, ab) = 1,
3. Si pgcd(a, b) = 1, montrer que pgcd(a+b, a2+b2) = 1 ou 2.
Exercice 296 Calculer par l'algorithme d'Euclide : 18480∧9828. En déduire une écriture de 84comme combinaison linéaire de 18480 et 9828.
[Exercice corrigé]
Exercice 297 Déterminer le pgcd de99 099et43 928. Déterminer le pgcd de153 527et245 479. Exercice 298 Déterminer l'ensemble de tous les couples (m, n)tels que
955m+ 183n = 1.
[Exercice corrigé]
Exercice 299 Calculer, en précisant la méthode suivie,
a =pgcd(720,252) b=ppcm(720,252) ainsi que deux entiers u et v tels que 720u+ 252v =a.
Exercice 300 Démontrer :
a∧(b1b2) = 1⇔(a∧b1 = 1 et a∧b2 = 1), puis par récurence :
a∧(b1. . . bn) = 1 ⇔ ∀i= 1, . . . , n a∧bi = 1.
Exercice 301 Démontrer pour m, n∈N∗ :
am∧bn = 1⇒a∧b = 1.
Exercice 302 Déteminer deux entiers naturels connaissant leur somme, 1008, et leur pgcd,24. Exercice 303 Notons a= 1 111 111 111 et b= 123 456 789.
1. Calculer le quotient et le reste de la division euclidienne de a par b. 2. Calculer p= pgcd(a, b).
3. Déterminer deux entiers relatifs u et v tels que au+bv =p.
[Exercice corrigé]
Exercice 304 Soient m et n deux entiers (m > n > 0) et a > 2 un entier. Montrer que le reste de la division euclidienne de am−1 par an−1 est ar−1 où r est le reste de la division euclidienne de m par n, et que le pgcd de am−1 et an−1est ad−1, où d est le pgcd de m et n.
Exercice 305 Résoudre dans Z: 1665x+ 1035y= 45.
[Exercice corrigé]
Exercice 306 Montrer qu'il n'existe pas d'entiers m et n tels que m+n= 101 et pgcd(m, n) = 3 Exercice 307 Soit m et n deux entiers positifs.
1. Si pgcd(m,4) = 2et pgcd(n,4) = 2, montrer que pgcd(m+n,4) = 4. 2. Montrer que pour chaque entier n,6 divise n3−n.
3. Montrer que pour chaque entier n,30 divise n5 −n.
4. Montrer que si m et n sont des entiers impairs, m2+n2 est pair mais non divisible par 4. 5. Montrer que le produit de quatre entiers consécutifs est divisible par 24.
6. Montrer que si pgcd(a, b) = 1, alors pgcd(a+b, a−b)∈ {1,2}, pgcd(2a+b, a+ 2b)∈ {1,3}, pgcd(a2+b2, a+b)∈ {1,2}, pgcd(a+b, a2−3ab+b2)∈ {1,5}.
Exercice 308 Trouver une CNS pour que ax+b ≡0 mod nait une solution.
Exercice 309 1. Calculer pgcd(18,385) par l'algorithme d'Euclide, en déduire un couple (u0, v0)∈Z2 solution de l'équation 18u+ 385v = 1, avec (u, v)∈Z2.
2. Fournir enn l'ensemble des solutions entières de
18u+ 385v = 1; 18u+ 385v = 3; 54u+ 1155v = 3; 54u+ 1155v = 5.
Exercice 310 Trouver a et b entiers naturels tels que 1. a+b= 2070 et ppcm(a, b) = 9180;
2. a2 +b2 = 5409 et ppcm(a, b) = 360 (on pourra commencer par montrer que pgcd(a, b) divise pgcd(5409,360) et considérer ensuite diérents cas).
Exercice 311 Résoudre dans Z les équations : 35x≡7 mod 4; 22x ≡33 mod 5 Exercice 312 Résoudre dans Z le système suivant :
S :
x ≡ 4 mod 6 x ≡ 7 mod 9 On recherchera d'abord une solution particulière.
Exercice 313 1. Résoudre dans Z les équations : x2 ≡2 mod 6; x3 ≡3 mod 9. 2. Résoudre dans Z2 les équations suivantes : 5x2+ 2xy−3 = 0 ; y2+ 4xy−2 = 0. Exercice 314 Résoudre dans Z2 les équations suivantes :
a) 17x+ 6y= 1 b) 27x+ 25y = 1 c) 118x+ 35y= 1 d) 39x+ 26y = 1
Exercice 315 Montrer que si a divise 42n+ 37et 7n+ 4, pour une valeur de n donnée, alors a divise 13. Quelles sont les valeurs possibles pour n?
Exercice 316 Trouver pgcd(−357,629) et trouver des entiers x et y tels que pgcd(−357,629) =−357x+ 629y
Exercice 317 Trouver pgcd(2183,6313) =d et trouver des entiers xet y tels que d= 2183x+ 6313y
Exercice 318 Supposons pgcd(a, b) = d et soit x0 et y0 des entiers tels que d = ax0 +by0. Montrer que :
1. pgcd(x0, y0) = 1,
2. x0 et y0 ne sont pas uniques.
Exercice 319 Soit a, b, cdes entiers.
1. Montrer que pgcd(ca, cb) = |c|pgcd(a, b). 2. Montrer que pgcd(a2, b2) = (pgcd(a, b))2.
3. Montrer que si pgcd(a, b) = 1 et si c divise a, alors pgcd(c, b) = 1. 4. Montrer que pgcd(a, bc) = 1 ⇐⇒ pgcd(a, b) = pgcd(a, c) = 1.
5. Montrer que si pgcd(b, c) = 1 alors pgcd(a, bc) = pgcd(a, b)pgcd(a, c). 6. Montrer que pgcd(a, b) = pgcd(a+b,ppcm(a, b)).
Exercice 320 En divisant un nombre par 8, un élève a obtenu 4 pour reste ; en divisant ce même nombre par 12, il a obtenu 3 pour reste. Qu'en pensez-vous ?
Le fort en calcul de la classe, qui ne fait jamais d'erreur, a divisé le millésime de l'année par 29, il a trouvé 25 pour reste ; il a divisé le même millésime par 69, il a trouvé 7 pour reste. En quelle année cela se passait-il ?
Exercice 321 Trouver deux nombres sachant que leur somme est 581 et que le quotient de leur PPCM par leur pgcd est 240.
Exercice 322 Trouver les solutions entières de l'équation : 102x−18018y= 18.
Combien y a-t-il de solutions telles que x et y soient compris entre entre 0 et 4000?
Exercice 323 Le pgcd de deux nombres est 12; les quotients successifs obtenus dans le calcul de ce pgcd par l'algorithme d'Euclide sont 8, 2 et 7. Trouver ces deux nombres.
Exercice 324 Trouver les couples de nombres a et b, divisibles par 3, vériant les propriétés suivantes : leur ppcm est 7560, et si on augmente chacun de ces nombres d'un tiers de sa valeur, le pgcd des deux nombres obtenus est 84.
Exercice 325 Un terrain rectangulaire dont les dimensions en mètres a et b sont des nombres entiers, a pour aire 3024m2. Calculer son périmètre sachant que le pgcd de aetbest6. Combien y a-t-il de solutions possibles ?
Exercice 326 1. Dans Z/nZ, écrire l'ensemble des multiples de x¯, classe de x, pour x variant de 0à n−1 dans chacun des cas suivants : Z/5Z,Z/6Z,Z/8Z.
2. Dans Z/nZ, montrer l'équivalence des trois propositions : i) x¯ est inversible ;
ii) x et n sont premiers entre eux ;
iii) x¯ engendre Z/nZ, c'est à dire que l'ensemble des multiples de x¯ est Z/nZ.
3. La classe de 18 est-elle inversible dans Z/49Z? Si oui, quel est son inverse ? (On pourra utiliser le théorème de Bézout).
Exercice 327 Résoudre dans Z les équations suivantes : 1. 91x−65y= 156.
2. 135x−54y= 63. 3. 72x+ 35y= 13.
Exercice 328 Résoudre dans N les équations suivantes : 1. 31x−13y= 1.
2. 31x−13y=−1.
Application : Au bord d'une piscine pleine d'eau, on dispose d'une cuve xe de 31 litres munie à sa base d'un robinet de vidange, et d'un seau de 13 litres. Expliquer comment opérer pour obtenir exactement 1 litre dans le seau.
Exercice 329 Résoudre dans N l'équation 77x+ 105y= 2401.
Exercice 330 Dans un pays nommé ASU, dont l'unité monétaire est le rallod, la banque nationale émet seulement des billets de 95 rallods et des pièces de 14 rallods.
1. Montrer qu'il est possible de payer n'importe quelle somme entière (à condition bien sûr que les deux parties disposent chacune d'assez de pièces et de billets).
2. On suppose que vous devez payer une somme S, que vous avez une quantité illimitée de pièces et de billets, mais que votre créancier ne puisse pas rendre la monnaie. Ainsi, il est possible de payer si S = 14, mais pas si S = 13ou si S = 15. . . Montrer qu'il est toujours possible de payer si S est assez grande. Quelle est la plus grande valeur de S telle qu'il soit impossible de payer S?
Exercice 331 Trouver tous les points à coordonnées entières du plan d'équation 6x+ 10y+ 15z= 1997. Combien y a-t-il de solutions dans N3?
Exercice 332 1. Trouver tous les points à coordonnées entières de la droite de l'espace d'équations
4x−2y−z−5 = 0 x+ 3y−4z−7 = 0 . 2. Même question avec la droite
x+ 3y−5z−5 = 0 4x−2y+z+ 13 = 0 . Exercice 333 Résoudre dans N et dans Zl'équation
1 x +1
y = 1 15
Exercice 334 Un coq coûte 5pièces d'argent, une poule 3pièces, et un lot de quatre poussins 1 pièce. Quelqu'un a acheté 100 volailles pour 100 pièces ; combien en a-t-il acheté de chaque sorte ?
Exercice 335 Soient a et b deux nombres entiers relatifs. On note d leur pgcd. Construisons les suites an et bn n ∈N,à valeurs dans Zde la manière suivante :
a0 = a b0 = b
et pour tout n ∈ N, on pose an+1 = bn et bn+1 = r où r est le reste de la division euclidienne de an par bn.
1. Montrer que si dn est le pgcd de an et bn alors dn est également le pgcd de an+1 et bn+1. 2. Déduire de la questionh précédente que d est le pgcd des nombres an et bn pour tout
n∈N.
3. Montrer que la suite bn est strictement décroissante. Que peut-on en déduire ?
4. Déduire de ce qui précède que pour tout couple d'entiers relatifs (a, b) il existe un couple d'entier relatifs (u, v)tel que :
d=au+bv.