Racines, décomposition en facteurs irréductibles

Exercice 396 1. Montrer que le polynôme P(X) = X⁵−X²+ 1 admet une unique racine réelle et que celle-ci est irationnelle.

2. Montrer que le polynôme Q(X) = 2X³ −X² −X −3 a une racine rationnelle (qu'on calculera). En déduire sa décomposition en produit de facteurs irréductibles dans C[X].

Exercice 397 Soit P(X) = a_nX +· · ·+a₀ un polynôme à coecients entiers premiers entre eux (c'est à dire tels que les seuls diviseurs communs à tous les a_i soient −1et 1). Montrer que si r = p

q avec p et q premiers entre eux est une racine rationnelle de P alors p divise a₀ et q divise an.

Exercice 398 Soit P ∈Q[X] un polynôme de degré n.

1. Montrer que si P est irréductible dans Q alors il n'a que des racines simples dans C. 2. Soit λ ∈ C une racine de P, de multiplicité strictement plus grande que n

2.Montrer que λ est rationnel.

Exercice 399 Montrer que le polynôme nXⁿ⁺²−(n+ 2)Xⁿ⁺¹+ (n+ 2)X−nadmet une racine multiple. Application : déterminer les racines du polynôme 3X⁵−5X⁴+ 5X−3.

Exercice 400 Soit P = (X²−X+ 1)²+ 1. 1. Vérier que i est racine de P.

2. En déduire alors la décomposition en produit de facteurs irréductibles de P sur R[X]

3. Factoriser sur C[X] et sur R[X] les polynômes suivants en produit de polynômes irré-ductibles : P = X⁴ +X²+ 1, Q = X²ⁿ+ 1, R = X⁶ −X⁵ +X⁴−X³+X²−X+ 1, S =X⁵−13X⁴+ 67X³−171X²+ 216X−108 (on cherchera les racines doubles de S).

Exercice 401 Décomposer dans R[X], sans déterminer ses racines, le polynôme P =X⁴+ 1, en produit de facteurs irréductibles.

[Exercice corrigé]

Exercice 402 Pour tout a∈Ret tout n∈N^∗, démontrer que X−a divise Xⁿ−aⁿ. Exercice 403 Décomposer X¹²−1 en produit de facteurs irréductibles dans R[X]. Exercice 404 Prouver que B divise A, où :

A=X³ⁿ⁺²+X^3m+1+X^3p et B =X²+X+ 1,

A= (X+ 1)²ⁿ−X²ⁿ−2X−1 et B =X(X+ 1)(2X+ 1), A=nXⁿ⁺¹−(n+ 1)Xⁿ+ 1 et B = (X−1)².

Exercice 405 Soit P ∈Z[X] et n∈Z; notons m =P(n); (deg(P)>1).

1. Montrer que : ∀k∈Z, m divise P(n+km).

2. Montrer qu'il n'existe pas de polynôme P dans Z[X], non constant, tel que pour tout n∈Z, P(n) soit premier.

Exercice 406 Soit P un polynôme de R[X] tel que P(x)>0 pour tout x∈R.

Montrer qu'il existe S, T ∈R[X]tels que P =S²+T² (on utilisera la factorisation dans C[X]).

Indications :

1. Soient a, b∈R, déterminerc, d∈Rtels que :ab=c²−d², vérier que (a²+b²)(c²+d²) = (ac+bd)²+ (bc−ad)².

2. Résoudre le problème pour P de degré 2.

3. Conclure.

Exercice 407 Soit θ ∈ R; on suppose sinnθ 6= 0. Déterminer les racines du polynôme P = Pn

k=1C_n^ksinkθ X^k. Vérier que ces racines sont toutes réelles.

Exercice 408 Soit a ∈ C, P ∈ C[X] et Q ∈ C[X], premiers entre eux. On suppose que a est racine double de P² +Q². Montrer que a est racine de P⁰²+Q⁰².

Exercice 409 Pour n ∈N^∗, quel est l'ordre de multiplicité de 2 comme racine du polynôme nXⁿ⁺²−(4n+ 1)Xⁿ⁺¹+ 4(n+ 1)Xⁿ−4Xⁿ⁻¹

[Exercice corrigé]

Exercice 410 Pour quelles valeurs de a le polynôme (X + 1)⁷−X⁷ −a admet-il une racine multiple réelle ?

[Exercice corrigé]

Exercice 411 Montrer que le polynôme X³+ 2 est irréductible dans Q[X]. Factoriser ce po-lynôme dans R[X] et dans C[X].

Exercice 412 Dans R[X] et dans C[X], décomposer les polynômes suivants en facteurs irré-ductibles.

1. X³−3. 2. X¹²−1.

[Exercice corrigé]

Exercice 413 Quelle est la décomposition de X⁶ + 1 en facteurs irréductibles dans C[X]? Dans R[X]?

Exercice 414 Soit P le polynôme X⁴+ 2X²+ 1. Déterminer les multiplicités des racines i et

−i, de deux façons diérentes : soit en décomposant P dansC[X], soit en utilisant le polynôme dérivé de P.

Exercice 415 Soit le polynôme P =X⁸+ 2X⁶+ 3X⁴+ 2X²+ 1.

1. Montrer que j est racine de ce polynôme. Déterminer son ordre de multiplicité.

2. Quelle conséquence peut-on tirer de la parité de P ?

3. Décomposer P en facteurs irréductibles dans C[X] et dans R[X].

Exercice 416 Soit E le polynôme du troisième degré : aX³+bX²+cX+d avec a, b, c, d∈R et a 6= 0, et soit x₁, x₂, x₃ ses trois racines dans C. Trouver un polynôme ayant pour racines x₁x₂, x₂x₃ et x₃x₁.

Exercice 417 Soient x1, x2, x3 les racines de X³−2X²+X+ 3. Calculer x³₁+x³₂+x³₃. Exercice 418 Soit n ∈ N xé. Montrer qu'il y a un nombre ni de polynômes unitaires de degré n à coecients entiers ayant toutes leurs racines de module inférieur ou égal à 1.

Exercice 419 Soit n>2 et P_n(X) =

n

P

k=0 1

k!X^k. P_n a-t-il une racine double ? Exercice 420 Résoudre les équations :

1. P⁰P⁰⁰= 18P où P ∈R[X].

2. P(X²) = (X²+ 1)P(X)où P ∈C[X].

Exercice 421 Soit P ∈R[X] scindé sur R à racines simples.

1. Montrer qu'il en est de même de P⁰.

2. Montrer que le polynôme P²+ 1 n'a que des racines simples dans C. Exercice 422 Soit n∈N^∗ et P(X) = (X+ 1)ⁿ−(X−1)ⁿ.

1. Quel est le degré de P ? 2. Factoriser P dans C[X].

3. Montrer que ∀p∈N^∗ Q

k=1

cotan(

2p+ 1) = √

2p+ 1. Exercice 423 Factoriser dans R[X] :

1. X⁶+ 1.

2. X⁹+X⁶+X³+ 1.

[Exercice corrigé]

7.4 Divers

Exercice 424 Montrer que pour tout n ∈N^∗ il existe un polynôme P_n et un seul tel que

∀θ ∈R, P_n(2 cosθ) = 2 cosnθ.

Montrer que P_n est unitaire et que ses coecients sont entiers. En déduire les r rationnels tels que cosrπ soit rationnel.

Exercice 425 Déterminer, s'il en existe, tous les idéaux J deR[X]tels que : I(P)⊂J ⊂R[X], avec I(P) idéal engendré par P dans les cas suivants :

P =X²+X+ 1, P =X²+ 2X+ 1, P =X³+ 3X−4.

Exercice 426 Trouver un polynôme P de degré 62tel que

P(1) =−2 et P(−2) = 3 et P(0) =−1

[Exercice corrigé]

Exercice 427 Trouver un polynôme P de degré minimum tel que

P(0) = 1 et P(1) = 0 et P(−1) =−2 et P(2) = 4

[Exercice corrigé]

Exercice 428 Trouver les polynômes P de R[X] tels que ∀k ∈ Z Rk+1

k P(t)dt = k + 1 (on pourra utiliser le polynôme Q(x) =Rx

0 P(t)dt).

Exercice 429 Soit(P₀, P₁, . . . , P_n)une famille de polynômes deK[X]telle que∀k ∈ {0, . . . , n} degP_k= k. Montrer à l'aide d'une récurrence soigneuse que cette famille est libre.

Exercice 430 Soit n∈N^∗ xé et ∆ : (

R_n[X]→R_n[X]

P(X)7→P(X+ 1)−P(X) .

1. Montrer que ∆ est linéaire, i.e. que ∀(a, b) ∈ R² et (P, Q) ∈ R_n[X] ∆(aP +bQ) = a∆(P) +b∆(Q).

2. Déterminer ker(∆) = {P ∈R_n[X]/∆(P) = 0}.

3. Soient H₀ = 1 et pour k∈ {1, . . . , n} H_k = 1

k!X(X−1). . .(X−k+ 1). Calculer∆(H_k). 4. Soit Q∈R_n−1[X]. Comment trouver P ∈R_n[X]tel que ∆(P) =Q.

5. Déterminer P pour Q=X² tel que P(1) = 0. 6. En déduire la somme 1²+ 2²+. . .+n².

Exercice 431 Résoudre l'équation d'inconnue P ∈C[X] :P(X+ 1)P(X) = −P(X²).

Exercice 432 Soit (P, Q) ∈ R_n[X]² tels que ∃(a, A) ∈ (R^+∗)²,∀x ∈]−a, a[,|P(x)−Q(x)| 6 A|xⁿ⁺¹|.Que dire de P et Q?

Exercice 433 Soient Wn= (X² −1)ⁿ, Ln = ₂n¹n!Wn⁽ⁿ⁾.

1. Donner le degré de L_n, son coecient dominant, sa parité, calculer L_n(1).DonnerL₀, L₁, L₂. 2. Démontrer : ∀n>1,(X² −1)W_n⁰ = 2nXW_n, en déduire :

∀n ∈N,(X²−1)L⁰⁰_n+ 2XL⁰_n−n(n+ 1)L_n= 0.

3. Montrer ensuite : ∀n >1, L⁰_n =XL⁰_n−1+nL_n−1, puis nL_n =XL⁰_n−L⁰_n−1. 4. Montrer enn que les polynômes L_n peuvent être dénis par la récurrence :

(n+ 1)L_n+1 = (2n+ 1)XL_n−nL_n−1.

Exercice 434 Montrer que si n > 3, l'équation xⁿ+yⁿ =zⁿ n'a pas de solution non triviale (i.e. xyz 6= 0) dans C[X].

Indication : on peut supposer x, y, z, sans facteurs communs. Dériver la relation, la multiplier par z, étudier le degré.

Exercice 435 Soit n∈N^∗, P ∈C[X]de degré n, avec P(0) = 1, P(1) = 0, montrer : sup

|z|=1|P(z)|>1 + 1 n. Indication : w_k=e^2ikπn+1, montrer Pⁿ

k=0

P(w_k) = (n+ 1)a_0.

Exercice 436 1. Lemme : Soit P ∈C[X]non constant, z0 ∈C, montrer que

∀ε >0,∃z ∈D(z₀, ε) = {z ∈C| |z−z₀|6ε},|P(z)|>|P(z₀)|. Indications : Ecrire P(z₀+h) = P(z₀) +PdegP

m=k h^m

m!P^(m)(z₀)où k est le plus petit entier strictement positif tel que P⁽ⁱ⁾(z0)6= 0.

On se propose de démontrer le théorème de d'Alembert-Gauss : tout polynôme non constant à coecients complexes admet une racine complexe.

2. Expliquer pourquoi le minimum de la fonction z→ |P(z)|est atteint sur un disque centré en 0, mettons D(0,R),et expliquer pourquoi :

∃z₀ ∈C,|P(z₀)|= inf

z∈C|P(z)|. 3. Montrer avec le lemme que P(z₀) = 0.

Exercice 437 Soit n ∈ N^∗, et P(X) = (X + 1)ⁿ −(X −1)ⁿ. Quel est le degré de P ? Le factoriser dans C[X].

Exercice 438 Soit P ∈R[X] un polynôme dont tous les zéros sont réels et distincts, montrer que φ= (P⁰)²−P P⁰⁰ n'a pas de zéro réel.

Exercice 439 Soit K ⊆C un corps pour les lois usuelles sur C et P ∈K[X] non constant.

1. Montrer que si α est racine de P de multiplicité m ∈ [1,+∞[ alors α est racine du polynôme P⁰ avec la multiplicité m−1.

2. On suppose K = R et P scindé sur R. Montrer que P est scindé sur R (on utilisera le théorème de Rolle).

Exercice 440 Soient m, n ∈ [1,+∞[, d = pgcd(m, n) et P = X^m − 1, Q = Xⁿ −1, D = X^d−1∈C[X].

1. (a) Montrer que si x ∈ C est racine commune de P et Q alors x est racine de D (on pourra utiliser l'égalité de Bézout dans Z).

(b) Montrer que si y ∈Cest racine de Dalors yest racine commune de P et Q(utiliser la dénition de d).

2. (a) Soient A, B ∈ C[X] tels que toute racine de A est racine de B. Peut-on en déduire queA divise B? Même question si les racines de A sont simples.

(b) Montrer que les racines de D et P sont simples et en déduire que pgcd(P, Q) =D. Exercice 441 Soient les polynômes complexes P₁ =X³−2,P₂ =X⁴+4etP₃ =X⁴+4X³+8.

1. Étudier leur irréductibilité sur C et sur R.

2. Montrer que P₁ est irréductible sur Q (on utilisera que √³

2∈/ Q).

3. Montrer que P2 est réductible sur Z. 4. Montrer que P₃ est irréductible sur Z.

Exercice 442 Soit P = X⁴−5X³ + 9X²−15X+ 18 ∈ C[X]. Déterminer toutes les racines complexes de P sachant que deux d'entre elles ont 6 pour produit.

Dans le document Bibliothèque d'exercices (Page 53-58)