15.1 Théorie
Exercice 778 Déterminer les fonctions f de[a, b]dans Rtelles queRb
af(t)dt= (b−a) sup
[a,b]|f|.
Exercice 779 Soient f ∈C1([a, b],R) et In =Rb
af(t) sin(nt)dt. 1. A l'aide d'une intégration par parties, montrer que In→0.
2. Montrer que ceci est encore vrai si f est en escalier.
3. En déduire que le résultat subsiste pour f continue par morceaux.
Exercice 780 Soient 0< a6b. Montrer que Rb 1. Montrer que g se prolonge par continuité en 0.
2. Montrer que si f est périodique, g admet une limite en +∞.
Exercice 783 Soit f continue de [0,1] dans R, n∈N tels que :
∀k∈ {0, ..., n}, Z 1
0
f(u)ukdu= 0.
Montrer que f admet au moins n+ 1 zéros distincts dans ]0,1[.
Exercice 784 Soit f : [0,1]→R une application continue strictement croissante telle que : f(0) = 0, f(1) = 1.
Exercice 785 Soit f : [0,1]→R une application continue, n'admettant qu'un nombre ni de zéros sur [0,1], et telle que f(0) = 0, f(1) = 1. Montrer que :
Exercice 787 Soit f continue sur [0, π] telle que Rπ
0 f(u) cos(u)du = Rπ
0 f(u) sin(u)du = 0, montrer que f s'annulle au moins deux fois sur ]0, π[.
Exercice 788 Soit f ∈C([0,1],R) telle que :
Exercice 790 Soit f continue sur [0,1] à valeurs dans [a, b]. On suppose a < 0 < b et Exercice 792 Calculer sans utiliser de primitive, pour a < b :
Z b a
etdt.
Exercice 793 Soit f continue de [0,1] dans R telle que R1
0 fn(u)du ne prenne qu'un nombre ni de valeurs quand n décrit N. Montrer que f =−1ou f = 0 ou f = 1.
Exercice 794 Soient f et g de R+ dans Rcroissantes. Montrer que :
∀x∈R+,
Éventuellemment, en donner un DL en n1. Exercice 796 Calculer :
Exercice 797 Soit f : [0,1] → R une application continue par morceaux, continue en 0, trouver une suite (gn)n∈N de fonctions en escaliers telle que :
n→∞lim Z 1
0
f(t)gn(t)dt=f(0).
Exercice 798 Dire (avec justication) si les armations suivantes sont vraies ou fausses.
1. Toute fonction intégrable sur [a, b] est continue.
2. Si f est intégrable sur [a, b], dxd Rx
a f(t)dt=f(x) pour tout x de [a, b].
3. Soit f une fonction sur [a, b]vériant la propriété : pour tout ε >0, il existe gε intégrable sur [a, b]telle que ∀x∈[a, b], |f(x)−gε(x)|6ε; alors f est intégrable.
4. Si f est intégrable sur [a, b], alors |f|est intégrable sur [a, b]. 5. Si |f| est intégrable sur [a, b], alors f est intégrable sur [a, b].
6. Si f et g sont des fonctions intégrables sur [a, b], alors la fonction f g est intégrable sur [a, b].
7. Si f et g sont des fonctions continues sur [a, b], alors la fonction f g est continue sur [a, b], et Rb
a f(t)g(t)dt =Rb
af(t)dt·Rb
ag(t)dt. 8. Soit f la fonction dénie sur [0,1] par
(f ≡λn sur ]21n,2n−11 ] pour tout entier n>1 f(0) =µ
où(λn)est une suite bornée de nombres réels, et µun nombre réel. Alors f est intégrable.
9. Soit f bornée sur [0,1], continue sauf au point 1/3; alors f est intégrable sur [0,1]. 10. Il existe f >0continue sur [0,1], avec f(1/2)>0, et telle que R1
0 f(t)dt= 0. 11. Soit f intégrable sur [a, b]. Si Rb
a f(t)dt >0 alors f >0sur [a, b].
12. Si f est croissante sur [a, b], elle est intégrable sur [a, b] et de plus F(x) = Rx
a f(t)dt est croissante.
13. Sif 60est continue sur [a, b], alors G(x) = Rb
x f(t)dt est croissante sur [a, b]. 14. Si f est continue sur [0,1], H(x) = Rx2
0 f(t)dt est dérivable sur [0,1], et ∀x ∈ [0,1], H0(x) =f(x2).
Exercice 799 Soit ϕ une fonction bornée sur [a, b]; comparer les assertions suivantes1 : 1. ϕ a une primitive sur [a, b].
2. ϕ est intégrable sur [a, b]. 3. ϕ est continue sur [a, b]. 4. ϕ est dérivable sur [a, b].
Exercice 800 Soit f une fonction continue et strictement croissante de [a, b] sur [α, β]. On note g la fonction réciproque de f. Montrer que
Z b a
f(x)dx+ Z β
α
g(x)dx=bβ −aα
Exercice 801 Soitf etg deux fonctions intégrables sur [a, b]. On suppose que f est monotone sur [a, b] et que g est positive sur [a, b]. Montrer qu'il existe c∈[a, b] tel que
Z b a
f(t)g(t)dt=f(a) Z c
a
g(t)dt+f(b) Z b
c
g(t)dt (considérer ϕ(x) = f(a)Rx
a g(t)dt+f(b)Rb
x g(t)dt).
1L'une des implications à étudier est très dicile ; on pourra admettre après avoir traité toutes les autres que celle qui reste est fausse.
Exercice 802 Soit f une fonction dérivable sur [0,1], vériant : i) 06f0 62;
ii) f0 est décroissante ; iii) f(0) = 0 et f(1) = 1.
Trouver le plus grand nombre m et le plus petit nombre M tels qu'on soit sûr d'avoir m 6 R1
0 f(t)dt6M. Peut-il y avoir égalité ?
Exercice 803 Soit f dénie et continue sur [0,+∞[, vériant limx→+∞f(x) = l. Montrer que limx→+∞x1Rx
0 f(t)dt = l (étant donné ε > 0, choisir A assez grand pour que sur [A,+∞[ on ait l−ε 6f(t)6l+ε; puis encadrer 1xRx
Af(t)dt, pour x > A; estimer l'erreur. . . et faire un dessin !).
Pour x>0, on pose F(x) =Rx 0
q
1 + sin1+t22tdt. Étudier la branche innie du graphe de F quand x→+∞.
Exercice 804 (Méthode des trapèzes) 1. Soit f deux fois dérivable sur [a, b], vériant
|f00|6M sur [a, b]. Soit
ϕ(t) =f(t)−f(a)−(t−a)f(b)−f(a)
b−a −A(b−t)(t−a)
Soit x ∈]a, b[; on choisit A = A(x) pour que ϕ(x) = 0 (dessiner !). Montrer qu'il existe c1, c2 ∈ [a, b] tels que c1 < c2 et ϕ0(c1) = ϕ0(c2) = 0, puis qu'il existe c ∈ [a, b] tel que ϕ00(c) = 0. En déduire une majoration de |A| pour x ∈ [a, b]. On convient de poser A(a) = A(b) = 0.
2. On note El'erreur commise en remplaçant Rb
a f(x)dxpar l'aire du trapèze déni par l'axe des x, les droites x = a et x = b et la corde du graphe joignant les points (a, f(a)) et (b, f(b))(dessiner !). Montrer que E =Rb
a A(x)(b−x)(x−a)dx, et vérier que l'intégrale a un sens. En déduire que |E|6 M(b−a)12 3 (utiliser 1)).
3. Pour n>1on pose In= b−an h
f(a)
2 +f(x1) +f(x2) +· · ·+f(xn−1) +f(b)2 i
oùxp =a+pb−an pour p = 1,2, . . . , n−1. Montrer que In est la somme des aires des trapèzes construits sur les points d'abscisses a, x1, x2, . . . , xn−1, b et les cordes correspondantes du graphe de f (dessiner !). Montrer que
Z b a
f(x)dx−In
6 M(b−a)3 12n2
4. On prend [a, b] = [0,1]et f(x) = e−x2. Calculer M = sup[0,1]|f00|. Déterminer n pour que la méthode des trapèzes avec n intervalles donne un nombre qui approche R1
0 e−x2dx à moins de 10−2 près. En déduire un encadrement de cette intégrale.
15.2 Longueurs, aires, volumes
Exercice 805 Construire la courbe paramétrée C
( x= 1+λcoscost t
y= 1+λsincost t où λ est un paramètre ap-partenant à [0,1[.
Calculer l'aire S limitée par C de deux façons : En se ramenant au calcul de R2π
0
dt (1+λcost)2. En reconnaissant la nature géométrique de C.
[Exercice corrigé]
Exercice 806 Représenter la courbe dénie par son équation polaire ρ=asin3 θ3. Calculer sa longueur L et les aires A1 et A2 limitées par les deux boucles qu'elle forme.
[Exercice corrigé]
Exercice 807 On appelle tore la gure obtenue par révolution d'un cercle de rayon r autour d'une droite de son plan passant à distance Rde son centre (on suppose r < R). Calculer l'aire A du tore, et son volume V.
[Exercice corrigé]
Exercice 808 On appelle cycloïde la courbe décrite par un point d'un cercle de rayon R, lié à ce cercle, quand celui-ci roule sans glisser sur une droite en restant dans plan xe. Montrer que dans un repère bien choisi, la cycloïde admet la représentation paramétrique :
x=R(t−sint) y=R(1−cost) Représenter la cycloïde et calculer : la longueur Ld'une arche, l'aire Ade la surface Scomprise entre cette arche et la droite xe (Ox), les volumes V1 et V2 obtenus par révolution de S autour de Ox et Oy respectivement, les aires A1 et A2 obtenues par révolution d'une arche de la cycloïde autour de Oxet Oy respectivement.
[Exercice corrigé]
Exercice 809 On appelle épicycloïde la courbe décrite par un point d'un cercle de rayon r, lié à ce cercle, quand celui-ci roule sans glisser sur un cercle de rayon R en restant tangent extérieurement à ce dernier, et dans son plan. On pose n =R/r. Montrer que dans un repère que l'on précisera, l'épicycloïde admet la représentation paramétrique :
x = r (n+ 1) cost−cos(n+ 1)t y = r (n+ 1) sint−sin(n+ 1)t
Représenter la courbe pour n = 1,2,3. En supposant n entier, calculer la longueur L de la courbe et l'aire A limitée par celle-ci. Dans le cas n = 1 (cardioïde ), calculer de plus l'aire S de la surface de révolution obtenue en faisant tourner la courbe autour de son axe de symétrie, ainsi que le volume V limitée par cette surface.
[Exercice corrigé]
Exercice 810 SoitC un cercle xe de rayon R. Un cercle C0 de même rayon roule sans glisser sur C en restant dans un plan (variable) perpendiculaire à celui de C. Un point M lié au cercle C0 décrit une courbe Γ. Montrer que suivant un repère convenablement choisi, Γ admet la représentation paramétrique :
x = R(cost+ sin2t) y = Rsint(1−cost) z = R(1−cost)
. En déduire la longueur L de Γ. Représenter les projections de Γsur chacun des trois plans de coordonnées.
[Exercice corrigé]
15.3 Intégration à l'aide d'une fonction auxiliaire
Exercice 811 Calculer les primitives suivantes : Z dx
x2+ 5 ;
Z dx
√x2−5 ; Z
exsin(ex)dx ; Z
tan3xdx ; Z 1
tan3xdx ;
Z 2x+ 3
(x2+ 3x+ 7)mdx, m∈N ;
Z lnx x dx ;
Z chx dx sh5x .
15.4 Changement de variables
Exercice 812 Considérons l'intégrale I =
Z ln 2 0
√ex−1dx
Eectuer le changement de variables u=√
ex−1et calculer I. Résultat : I = 2−π/2.
Exercice 813 Soitf : [a, b]→Rune fonction strictement croissante et continûment dérivable.
On considère les deux intégrales I1 =Rb
af(t)dt et I2 =Rf(b)
f(a) f−1(t)dt. 1. Rappeler pourquoi f admet une fonction réciproque f−1.
2. Faire le changement de variable t =f(u)dans l'intégrale I2. 3. Calculer I2 en fonction de I1.
4. Faire un dessin faisant apparaître f et f−1, et interpréter ce résultat géométriquement.
Exercice 814 Calculer les primitives suivantes : Z 1
√2 +x+√3
2 +xdx, (t= √6
2 +x) ; Z 1
((x−1)2−4)2dx, (x−1
2 = thuou cothu) ; Z
(arcsinx)2dx ; Z
x2√
1 +x3dx.
15.5 Intégration par parties
Exercice 815 Calculer les primitives suivantes : Z
excosxdx ;
Z lnx
xn dx n ∈N ; Z
xArctanxdx ; Z
(x2+x+ 1)exdx.
Exercice 816 Soit In=R1
0 (1−t2)ndt.
1. Établir une relation de récurrence entre In et In+1. 2. Calculer In.
3. En déduire Pn
k=0 (−1)k
2k+1Cnk.
Exercice 817 Soit f ∈C2([a, b],R). 1. Montrer que Rb
a f(t)dt= b−a2 (f(a) +f(b)) + 12Rb
af00(x)(a−x)(b−x)dx. 2. En déduire un encadrement de Rb
a f(t)dt si∀x∈[a, b] m 6f00(x)6M. Exercice 818 (Intégrales de Wallis) Soit In=R π2
0 sinntdt. 1. Établir une relation de récurrence entre In et In+2. 2. En déduire I2p et I2p+1.
3. Montrer que (In)n∈N est décroissante et strictement positive.
4. En déduire que In ∼In+1.
5. Calculer nInIn+1.
6. Donner alors un équivalent simple de In. Exercice 819 Soit In=R1
0 xn 1+xdx.
1. En majorant la fonction intégrée, montrer que (In)n∈N→0. 2. Calculer In+In+1.
3. Déterminer lim
n→+∞(
n
P
k=1
(−1)k+1 k ). Exercice 820 Calculer par récurrence :
In = Z π4
0
du cosnu. Exercice 821 Calculer par récurrence :
Jn= Z e
1
log(u)ndu.
15.6 Polynôme en sin, cos, ou en ch, sh
Exercice 822 Calculer les primitives suivantes : Z
(cosxcos 2x+ sinxsin 3x)dx ; Z
cosxsin4xdx ; Z
cos6xdx ; Z
sin3xcosxdx ; Z
sin4xdx ; Z
sin3xcos2xdx ; Z
ch2xsh2xdx ; Z
shxch3xdx ; Z
chxsh3xdx.
Exercice 823 Déterminer les intervalles d'étude et calculer les primitives des fonctions : xcos2x
cos(2x) cos2x
15.7 Fractions rationnelles
Exercice 824 Décomposer les fractions rationnelles suivantes ; en calculer les primitives.
1. 1
a2+x2. 2. (1+x12)2. 3. x3
x2−4.
4. 4x
(x−2)2.
5. 1
x2+x+ 1.
6. 1
(t2+ 2t−1)2.
7. (t2−2t+ 10)2. 8. 3t+ 1
t2−2t+ 10. 9. 1
t3+ 1. 10. x3 + 2
(x+ 1)2. 11. x+ 1
x(x−2)2. 12. (x2 −1)(x3+ 3)
2x+ 2x2 .
13. x2
(x2 + 3)3(x+ 1). 14. x7+x3−4x−1 x(x2+ 1)2 .
15. 3x4 −9x3+ 12x2 −11x+ 7 (x−1)3(x2+ 1) .
[Exercice corrigé]
Exercice 825 Calculer les intégrales de fractions rationnelles suivantes.
1. Z 1 0
dx x2+ 2. 2. Z 1/2
−1/2
dx 1−x2. 3. Z 3
2
2x+ 1 x2+x−3dx. 4. Z 2
0
x dx x4+ 16. 5. Z 3
0
x4+ 6x3−5x2+ 3x−7 (x−4)3 dx. 6. Z 0
−2
dx x3−7x+ 6. 7. Z 1
−1
2x4+ 3x3+ 5x2+ 17x+ 30 x3 + 8 dx. 8. Z 3
2
4x2 x4−1dx. 9. Z 0
−1
x3+ 2x+ 1 x3−3x+ 2 dx. 10. Z 2
1
2x8 + 5x6−12x5+ 30x4+ 36x2+ 24 x4(x2+ 2)3 dx. 11. Z a
0
−2x2+ 6x+ 7
x4+ 5x2+ 4 dx pour a∈R. Y a-t-il une limite quand a→+∞?
12. Z 2 0
dx x4+ 1.
[Exercice corrigé]
Exercice 826 Calculer les primitives suivantes : Z x4+ 1
x(x−1)3dx ;
Z dx (x4+ 1)2 ;
Z xdx
x4+x2+ 1 ;
Z dx
(x−1)(x2−2x−2)2. Exercice 827 Déterminer les intervalles d'étude et calculer les primitives des fonctions :
1
(x+ 2)(x2 + 2x+ 5) 2x
(1−x+x2)2 x2
(x−1)2(x2+ 4) 1
(1 +x3)3
15.8 Fractions rationnelles en sin, cos ou en sh, ch
Exercice 828 Calculer les primitives suivantes : Z cos3x
sin5xdx ;
Z sin3x
1 + cosxdx ;
Z dx
cos4x+ sin4x ;
Z cosx
1 + sin 2xdx ; Z tanx−tana
tanx+ tanadx ;
Z shxchx sh4x+ ch4xdx.
Exercice 829 Déterminer les intervalles d'étude et calculer les primitives des fonctions : cos3x
sinx 1 1 + tanx
1 th2x
15.9 Intégrales abéliennes
Exercice 830 Calculer les primitives suivantes : Z dx
x+√
x−1 ;
Z dx x√
x2+x+ 1 ;
Z x
√9 + 4x4dx ; Z √3
x+ 1−√ x+ 1 x+ 2 dx ;
Z x+ 1
√−4x2+ 4x+ 1dx.
Exercice 831 Déterminer les intervalles d'étude et calculer les primitives des fonctions : 8x−3
√12x−4x2−5
√x2−1 x√
x x2−5x+ 4
15.10 Primitives diverses
Exercice 832 Calculer les primitives suivantes.
1.
Z
esin2xsin 2x dx. 2. Z
cos5t dt; Z
cosh3t dt; Z
cos4t dt; Z
sinh4t dt. 3. Z
x3exdx. 4. Z
lnx dx; Z
xlnx dx;Z
arcsinx dx. 5. Z
coshtsint dt. 6. Z dx
sinx. 7. Z √
a2−x2dx. 8. Z
e2x
√ex+ 1dx. 9. Z
eaxcosbx dx;Z
eaxsinbx dx. 10. Z r x
(1−x)3 dx pour 0< x < 1. 11. Z x2
√1−x2 dx. 12. Z
dx
cosx+ 2 sinx+ 3. 13. Z √
√ x dx
a3−x3 avec 0< x < a. 14. Z coshx
coshx+ sinhxdx.
[Exercice corrigé]
Exercice 833 Calculer les primitives suivantes : Z dx
chx√
ch 2x ;
Z x
cos2xdx ;
Z 1 + cos 2x 1−tan2xdx ; Z sinax+ cosbx
ex dx ;
Z x(2 + cosx) sin2x dx.
Exercice 834 Déterminer les intervalles d'étude et calculer les primitives des fonctions : chxsin(2x)
√ 1
2 + tan2x (x2+ 2x+ 2) cos(2x)
x2cosxet x2sinxen utilisant les complexes Exercice 835 Calculer R1
0 ln(1 +x2).
Exercice 842 Soient f et g continues de [0,1]dans R. Calculer :
n→∞lim
Exercice 844 Calculer les limites suivantes : 1. lim
n→∞