30.1 Sous-groupes distingués
Exercice 1428 SoitGun groupe, HetKdeux sous-groupes d'ordre ni de Gtels queH∩K = {eG}.
1. Montrer que le cardinal de HK est égal |H||K|.
2. En déduire que si |G| = pq où p est premier et p > q alors G a au plus un sous-groupe d'ordre p. Montrer que si ce sous-groupe existe il est distingué dans G.
[Exercice corrigé]
Exercice 1429 Soit G un groupe, A une partie non vide de G. On note N(A) = {g ∈ G;gAg−1 = A} et C(A) = {g ∈ G;∀a ∈ A;gag−1 = a}. Montrer que N(A) et C(A) sont des sous-groupes de G et que C(A)est un sous-groupe distingué de N(A).
Exercice 1430 Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On note HK ={hk;h ∈ H, k ∈K}.
1. Montrer que HK est un sous-groupe de G si et seulement si HK =KH. En déduire que si H est distingué dans G alors HK est un sous-groupe de G.
2. On suppose désormais que ∀h ∈ H, k ∈ K : hk = kh. Montrer que l'application f : H×K →Gdénie par∀h∈H, k ∈K :f(h, k) =hk est un homomorphisme de groupes.
3. Calculer le noyau et l'image de f. Donner une condition nécéssaire et susante pour que f soit un isomorphisme de groupes.
Exercice 1431
1. Soit G un groupe, H un sous-groupe de G. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) ∀g ∈G:gHg−1 ⊂H.
ii) ∀g ∈G:gHg−1 =H.
iii) ∀g ∈G:gH =Hg.
2. En déduire que tout sous-groupe d'indice 2 est distingué.
Exercice 1432 Soient T ={(a b0 c) :a, c∈R\ {0}, b∈R} et U ={(10 1b) :b∈R}. 1. Montrer que T est un sous-groupe de GL2(R).
2. Montrer que U est un sous-groupe distingué de T.
Exercice 1433 Soit G un groupe.
1. Un sous-groupe H de Gest distingué si : ∀x∈G, xH =Hx, ce qui est équivalent à dire queH est le noyau d'un morphisme de G dans un groupe. Rappeler la démonstration de cette équivalence.
2. Si H est un sous-groupe d'indice 2 de G, montrer que H est distingué.
3. Si G est abélien, montrer que tout sous-groupe de Gest distingué.
4. Le centre de G est l'ensemble Z(G) ={z ∈G:∀x∈G, xz=zx}. Montrer que Z(G)est un sous-groupe distingué.
30.2 Groupes quotients
Exercice 1434 Soit G un groupe non réduit à un élément. Un sous-groupe M de G est dit maximal si le seul sous-groupe de G, distinct de G et contenant M, est M lui-même. Les questions sont indépendantes.
1. (a) Montrer que 6Z n'est pas un sous-groupe maximal de Z. (b) Montrer que 5Z est un sous-groupe maximal de Z.
2. On pose G:=Z/8Z.Soit H1 le sous-groupe de Gengendré par 4et H2 le sous-groupe de G engendré par 2.
(a) Expliciter les éléments de H1 et H2.
(b) Montrer que H1 n'est pas un sous-groupe maximal de G et que H2 est un sous-groupe maximal de G.
Exercice 1435 Déterminer tous les sous-groupes de Z/8Z.
[Exercice corrigé]
Exercice 1436 Montrer que le groupe-quotient C/R est isomorphe à R.
Exercice 1437 Soit G le groupe Q/Z. Si q ∈Q, on note cl(q) la classe de q modulo Z. 1. Montrer que cl(356 ) =cl(56)et déterminer l'ordre de cl(356).
2. Montrer que si x∈G il existe un unique α ∈Q∩[0,1[ tel que x=cl(α).
3. Montrer que tout élément de G est d'ordre ni et qu'il existe des éléments d'ordre arbi-traire.
Exercice 1438 Décrire le groupe-quotient R∗/R∗+ et montrer qu'il est isomorphe à Z/2Z.
[Exercice corrigé]
Exercice 1439 Montrer que tout quotient d'un groupe monogène est monogène.
Exercice 1440 Soient Gle groupe-produit (Z/4Z)×(Z/4Z)et H le sous-groupe de G engen-dré par (3,2). Écrire la décomposition de G suivant les classes à gauche modulo H. Décrire le groupe-quotient G/H.
Exercice 1441 Soit G un groupe Z(G) = {h ∈G;∀g ∈g, gh=hg}. 1. Montrer que Z(G)est un sous-groupe distingué de G.
2. Montrer que si G/Z(G) est monogène G est cyclique.
Exercice 1442 Soit G un groupe ; on note D(G) le groupe engendré par les éléments de la forme ghg−1h−1; g, h∈G.
1. Montrer que D(G)est distingué dans G.
2. Montrer que G/D(G)est commutatif ; plus généralement montrer qu'un sous-groupe dis-tingué H de Gcontient D(G) si et seulement si G/H est commutatif.
[Exercice corrigé]
Exercice 1443 Soit Gun groupe ; on note, pour tout g ∈G ϕg l'application x7→gxg−1 de G dans lui-même et Int(G) ={ϕg;g ∈G}.
1. Montrer que Int(G) est un sous-groupe distingué de Aut(G).
2. Soit f : G → Int(G) l'application g 7→ ϕg. Montrer que f est un homomorphisme de groupe. Calculer Ker(f).
3. En déduire que G/Z(G) est isomorphe à Int(G).
Exercice 1444 Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On note HK ={hk;h ∈ H, k ∈K}.On suppose que K est distingué dans G.
1. Montrer que HK =KH et que HK est un sous-groupe de G.
2. Montrer que H et K sont des sous-groupes de KH et que K ∩H est un sous-groupe distingué de H et que K est distingué dans KH.
3. Soit ϕ :H →(HK)/K la restriction à H de l'application quotient. Calculer le noyau et l'image de ϕ. En déduire que les groupes H/(K∩H)et (HK)/K sont isomorphes.
Exercice 1445 Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes distingués de G avec H ⊂K.
1. Montrer que K/H est un sous-groupe distingué de G/H.
2. Montrer que le quotient (G/H)/(K/H) est isomorphe à G/K.
Exercice 1446 SoitGle sous-groupe de Gl(2,R)engendré par les matrices A= 1
√2
−1 1 1 1
et B =
−1 0 0 1
.
1. Soit H le sous-groupe de G engendré par AB. Calculer |H|
2. Montrer que H est distingué dans G. Calculer le quotient G/H; en déduire |G|.
[Exercice corrigé]
Exercice 1447 Les questions sont indépendantes.
1. (a) Montrer que l'application f :Z2 →Z,(x, y)7→3x+6yest un morphisme de groupes.
(b) Déterminer le noyau kerf de f et montrer qu'il n'existe pas (p, q) ∈ Z2 tel que kerf =pZ×qZ.
(c) Montrer que le groupe-quotient Z2/Z(−2,1) est isomorphe au groupe 3Z.
2. Soit Gle sous-groupe de Z2 engendré par (2,0)et (0,2).Montrer que le groupe-quotient Z2/Gest isomorphe à Z/2Z×Z/2Z.
[Exercice corrigé]
Exercice 1448 1. Montrer que les sous-groupes de Z sont de la forme nZ où n∈N. (indi-cation : utiliser la division euclidienne).
2. Rappeler pourquoi ces sous-groupes sont distingués. On peut donc considérer les groupes quotients Z/nZ.
3. Montrer que Z/nZ est isomorphe au groupe des racines nième de l'unité.
4. Montrer que Z/nZ est isomorphe au groupe engendré par un cycle de longueur n dans SN (N >n).
5. Plus généralement, montrer qu'il existe, à isomorphisme près, un seul groupe monogène (ie engendré par un seul élément) d'ordre n, appelé groupe cyclique d'ordre n.
Exercice 1449 Rappel : siAest un anneau (en particulier, si Aest un corps), on note GLn(A) l'ensemble des matrices carrées de dimension nà coecient dans A, qui sont inversibles.GLn(A) forme un groupe pour la loi × de multiplication des matrices, appelé groupe linéaire. Une matrice carrée de dimension nest dansGLn(A)ssi son déterminant est un inversible de l'anneau A (ce qui revient à dire, lorsque A est un corps, que son déterminant est non nul).
Pour simplier, on suppose dans l'exercice que A est un corps, noté K. 1. Montrer que det :GLn(K)→K∗ est un morphisme de groupes.
2. On note SLn(K) = ker(det). Dire pourquoi SLn(K) est un sous-groupe distingué de GLn(K) et montrer que GLn(K)/SLn(K)∼=K∗.
3. Reconnaître GL1(K) et SL1(K).
4. Montrer que les matrices diagonales (resp. triangulaires supérieures) de GLn(K)forment un sous-groupe. Sont-ils distingués ?
5. Montrer que Z(GLn(K)) est le sous-groupe formé par les homothéties.