19.1 Base
Exercice 979 Montrer que les vecteurs {
Cal-culer les coordonnées respectives des vecteurs
forment une base de R3. Trouver dans cette base les composantes du vecteur x= (1,1,1). 2. Donner, dans R3, un exemple de famille libre, qui n'est pas génératrice.
3. Donner, dans R3, un exemple de famille génératrice, mais qui n'est pas libre.
Exercice 982 On considère dans R4, F = lin{a, b, c} et G = lin{d, e}, avec a = (1,2,3,4), b = (2,2,2,6), c = (0,2,4,4), d = (1,0,−1,2) et e = (2,3,0,1). Déterminer des bases des sous-espaces F ∩G, F, G,F +G.
Exercice 983 Dans l'espace P5 des polynômes de degré 65, on dénit les sous-ensembles : E1 ={P ∈ P5 |P(0) = 0}
E2 ={P ∈ P5 |P0(1) = 0} E3 ={P ∈ P5 |x2+ 1 divise P}
E4 ={P ∈ P5 |x7→P(x) est une fonction paire}
E5 ={P ∈ P5 | ∀x, P(x) = xP0(x)}.
1. Déterminer des bases des sous-espaces vectoriels E1, E2, E3, E4, E5, E1∩E2, E1∩E3, E1∩E2∩E3, E1∩E2∩E3∩E4.
2. Déterminer dans P5 des sous-espaces supplémentaires de E4 et de E1∩E3.
Exercice 984 Dans R4 on considère l'ensemble E des vecteurs (x1, x2, x3, x4)vériant l'équa-tionx1+x2+x3+x4 = 0. L'ensembleE est-il un sous-espace vectoriel de R4? Si oui, en donner une base.
Exercice 985 Vrai ou faux ? On désigne par E un R-espace vectoriel de dimension nie.
1. Si les vecteurs x, y, z sont deux à deux non colinéaires, alors la famille x, y, z est libre.
2. Soit x1, x2, . . . , xp une famille de vecteurs. Si aucun n'est une combinaison linéaire des autres, la famille est libre.
Exercice 986 Étudier l'indépendance linéaire des listes de vecteurs suivantes, et trouver à chaque fois une base du sous-espace engendré.
1. (1,0,1),(0,2,2), (3,7,1)dans R3. 2. (1,0,0),(0,1,1), (1,1,1)dans R3.
3. (1,2,1,2,1), (2,1,2,1,2),(1,0,1,1,0), (0,1,0,0,1)dans R5. 4. (2,4,3,−1,−2,1), (1,1,2,1,3,1), (0,−1,0,3,6,2)dans R6. 5. (2,1,3,−1,4,−1), (−1,1,−2,2,−3,3),(1,5,0,4,−1,7) dans R6.
Exercice 987 DansR3, les vecteurs suivants forment-ils une base ? Sinon décrire le sous-espace qu'ils engendrent.
1. v1 = (1,1,1), v2 = (3,0,−1), v3 = (−1,1,−1).
2. v1 = (1,2,3), v2 = (3,0,−1), v3 = (1,8,13).
3. v1 = (1,2,−3), v2 = (1,0,−1), v3 = (1,10,−11).
Exercice 988 Dans R3, comparer les sous-espaces F et G suivants : F =lin{(2,3,−1),(1,−1,−2)} et G=lin{(3,7,0),(5,0,−7)}.
Exercice 989 Dans R4, on considère les familles de vecteurs suivantes
v1 = (1,1,1,1),v2 = (0,1,2,−1), v3 = (1,0,−2,3), v4 = (2,1,0,−1), v5 = (4,3,2,1). v1 = (1,2,3,4),v2 = (0,1,2,−1), v3 = (3,4,5,16).
v1 = (1,2,3,4),v2 = (0,1,2,−1), v3 = (2,1,0,11), v4 = (3,4,5,14). Ces vecteurs forment-ils :
1. Une famille libre ? Si oui, la compléter pour obtenir une base de R4. Si non donner des relations de dépendance entre eux et extraire de cette famille au moins une famille libre.
2. Une famille génératrice ? Si oui, en extraire au moins une base de l'espace. Si non, donner la dimension du sous-espace qu'ils engendrent.
Exercice 990 Si E est un espace vectoriel de dimension nie, F et Gdeux sous-espaces de E, montrer que F ∪G est un sous-espace vectoriel si et seulement si F ⊂G ou G⊂F.
Exercice 991 On désigne par E un R-espace vectoriel de dimension nie. Les propriétés sui-vantes sont-elles vraies ou fausses ?
1. SoientD1, D2, D3des droites vectorielles de R3distinctes deux à deux. Alors R3est somme de D1, D2, D3.
2. Soient F et G des hyperplans vectoriels de E. Alors E 6=F ∪G.
3. Soient P1 et P2 des plans vectoriels de E tels que P1∩P2 ={0}. Alors dimE >4. 4. Soient F et G des sous-espaces de dimension 3 de R5. Alors F ∩G6={0}.
5. Soit (e1, e2, e3, e4) la base canonique de R4 et F =lin{e1, e3}. Tout sous-espace vectoriel supplémentaire de F contient e2.
Exercice 992 1. Montrer qu'on peut écrire le polynôme F = 3X−X2+ 8X3 sous la forme F = a+b(1−X) +c(X−X2) +d(X2 −X3) (calculer a, b, c, d réels), et aussi sous la forme F =α+β(1 +X) +γ(1 +X+X2) +δ(1 +X+X2+X3) (calculerα, β, γ, δ réels).
2. Soit P3 l'espace vectoriel des polynômes de degré 63. Vérier que les ensembles suivants sont des bases de P3 : B1 = {1, X, X2, X3}, B2 = {1,1−X, X −X2, X2 −X3}, B3 = {1,1 +X,1 +X+X2,1 +X+X2+X3}.
Exercice 993 Dans l'espace vectoriel P2 des polynômes de degré 6 2, on considère les po-lynômes P1 = X2 +X(1−X) + (1−X)2, P2 = X2 + (1−X)2, P3 = X2 + 1 + (1−X)2, P4 =X(1−X). Peut-on extraire de {P1, P2, P3, P4}des bases de P2? Si oui, les trouver toutes.
Exercice 994 Soit E l'ensemble des fractions rationnelles F qui peuvent s'écrire
F = P
(X−1)3(X2+ 1)2, P polynôme de degré 66.
Les fractions (X−1)1 , (X−1)1 2, (X−1)1 3, X21+1, XX2+1, (X21+1)2, (X2X+1)2 forment-elles une base de E? Que se passe-t-il si on suppose que P décrit l'ensemble des polynômes de degré 69?
Exercice 995 Problème de l'interpolation : soit les cinq points (x1, y1) = (−2,3), (x2, y2) = (0,−2), (x3, y3) = (1,5), (x4, y4) = (5,1), (x5, y5) = (6,7) de R2, et P4 l'espace vectoriel des polynômes de degré 64. On veut trouver un polynôme F dansP4 tel que pour i= 1, . . . ,5on ait F(xi) =yi.
1. Sans eectuer les calculs, indiquer comment on pourrait calculer a, b, c, d, e exprimant F =a+bX +cX2+dX3+eX4 selon la base {1, X, X2, X3, X4} de P4.
2. Montrer que {1, X+ 2,(X+ 2)X,(X+ 2)X(X−1),(X+ 2)X(X−1)(X−5)}est une base deP4. Calculer directement (indépendamment de la question précédente) les coordonnées de F dans cette base.
3. Montrer que l'ensemble des polynômes X(X−1)(X−5)(X−6),(X+2)(X−1)(X−5)(X− 6),(X+ 2)X(X−5)(X−6),(X+ 2)X(X−1)(X−6),(X+ 2)X(X−1)(X−5)forment une base de P4. Calculer directement (indépendamment des questions précédentes) les coordonnées de F dans cette base.
4. Dans laquelle des diverses bases ci-dessus le calcul de F vous paraît-il le plus simple ? Exercice 996 Déterminer pour quelles valeurs de t ∈ R les vecteurs
1 0 t
,
1 1 t
,
t 0 1
forment une base de R3.
Exercice 997 Soit (Σ) le système d'équations linéaires :
x+ 3y+ 2z = 0 x+y+z+t= 0 x−t= 0
Montrer que l'ensemble des solutions de (Σ)forme un sous-espace vectoriel F deR4. Déterminer la dimension et une base de F.
Exercice 998 Soit a∈R. On pose, pour tout p∈N:Ap(X) = (X−a)p et Bp(X) =Xp. 1. Montrer que ε={A0, . . . , An} est une base de Rn[X].
2. Soit P ∈ Rn[X]. Montrer que P(X) =
n
X
k=0
1
k!P(k)(a)Ak(X). (On pourra montrer que l'ensembleEdes élément de Rn[X]qui satisfont à cette égalité est un sous-espace vectoriel de Rn[X]et contient une base.)
Exercice 999 On munitE =R∗+×Rde la loi interne addition + : (a, b)+(a0, b0) = (aa0, b+b0), et de la loi externe . à coecients réels : (∀λ∈R)∀(a, b)∈Eλ.(a, b) = (aλ, λb).
1. Vérier que (E,+, .)est un R-e.v.
2. Les systèmes suivants sont-ils libres ou liés : ((1,0),(1,1)) ? ((2,1),(8,3)) ? ((2,1),(6,3)) ? 3. Vérier que le système b = ((2,0),(2,1))est une base deE et déterminer les composantes
du vecteur v = (x, y)∈E par rapport à la base b.
Exercice 1000 Pour k= 2,3,4 montrer que Vk est un s.e.v. de Ck, et en donner une base : V2 ={(a, b)∈C2/a+ib = 0}, V3 ={(a, b, c)∈C3/a+ 2b+ 3c= 0},
V4 ={(a, b, c, d)∈C4/a+ib=b+ic=c+id}.
Exercice 1001 Soitn ∈Net E =Rn[X], l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels, de degré 6n.
1. Soit β = (P0, P1, ..., Pn) un système de (n + 1) polynômes tels que, ∀k, 0 6 k 6 n, degPk=k. Montrer que β est une base de E.
2. Soit P un polynôme de degré n. Montrer que : γ = (P, P0, . . . , P(n))est une base de E et déterminer les composantes du polynôme Qdéni par : Q(X) =P(X+a), (a réel xé), dans la base γ.
3. Démontrer que le système S = (Xk(1−X)n−k)06k6n est une base de E, et déterminer, pour tout p∈ {0,1, . . . , n}, les composantes du polynôme Xp dans la base S.
Exercice 1002 Soient v1 = (1,0,0,−1),v2 = (2,1,0,1),v3 = (1,−1,1,−1),v4 = (7,2,0,−1) et v5 = (−2,−3,1,0). Donner une base du sous-espace vectoriel F =< v1,v2,v3,v4,v5 >. Déterminer un supplémentaire de G dans F dans R4.
Exercice 1003 Soient le triplet v1 = (1,2,3,0),v2 = (−1,1,2,1),v3 = (1,5,8,1) et le triplet w1 = (0,3,5,1),w2 = (1,−1,1,0),w3 = (0,0,3,1). On considère les sous-espaces vectoriels F =<v1,v2,v3 >etG=<w1,w2,w3 >. Donner une base des sous-espaces suivants F, G, F∩G et F +G.
Exercice 1004 Soit E =
fα,A ∈ F(R,R); (α, A)∈R2, fα,A(x) =Acos(x+α) . Montrer que E est un sous-espace vectoriel de F(R,R) et en donner une base.
Exercice 1005 Soit E =R . On dénit le système
S ={e1 = (1,1,1),e2 = (1,1,2),e3 = (1,2,3)} 1. Montrer que S est une base de E.
2. Calculer les coordonnées de v= (5,7,12) dans cette base.
Exercice 1006
1. Montrer que les vecteurs w1 = (1,−1, i),w2 = (−1, i,1),w3 = (i,1,−1)forment une base de C3.
2. Calculer les composantes de w= (1 +i,1−i, i)dans cette base.
Exercice 1007
1. Montrer que le système s1 = (1,√
2) et s2 = (1,√ 2,√
3) sont libres dans R considéré comme un espace vectoriel sur Q.
2. Soient dans R2, les vecteurs u1 = (3 +√
5,2 + 3√
5)et u2 = (4,7√
5−9). Montrer que le système (u1,u2) est Qlibre et Rlié.
3. Soient dans C2, les vecteurs r1 = (1 +i,1−2i) etr2 = (3i−1,5). Montrer que le système (r1,r2) est Rlibre et Clié.
Exercice 1008 Déterminer pour quelles valeurs de t∈Rles polynômesX2+t/2, X−t , (X+ t+ 1)2 forment une base de R2[X].
Exercice 1009 Etudier la liberté des familles 1. (1,1),(1,2).
2. (2,3),(−6,9).
3. (1,3,1),(1,3,0),(0,3,1). 4. (1,3),(−1,−2),(0,1).
Exercice 1010 Les familles suivantes sont-elles génératrices ? 1. (1,1),(3,1) dans R2.
2. (1,0,2),(1,2,1)dans R3.
Exercice 1011 On considère dans R3, Π =vect{(1,1,1),(1,1,−1)} et D=vect{(0,1,−1)}.
Montrer que R3 = Π⊕D.
Exercice 1012 Déterminer une base de {(x, y, z)∈R3/x+y+z = 0}.
Exercice 1013 Déterminer une base de D={(x, y, z)∈R3/x+y= 0, x−y+z = 0}.
19.2 Dimension
Exercice 1014 Calculer la dimension du sous-espace vectoriel de R4 engendré par les vecteurs V1 = (0,1,2,3), V2 = (1,2,3,4)et V3 = (2,3,4,5).
Exercice 1015 Si E est un espace vectoriel de dimension nie, F et G deux sous-espaces de E, montrer que : dim(F +G) = dim(F) + dim(G)−dim(F ∩G).
Exercice 1016 Montrer que tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel de dimension nie est de dimension nie.
Exercice 1017 Soient P0, P1,P2 et P3 ∈R2[X] dénis par Exercice 1021 Montrer que f :
(
R3 →R3
(x, y, z)7→(z, x−y, y+z) est un automorphisme.
Exercice 1022 Soit E un Q-espace vectoriel de dimension n. Montrer que n est pair ⇔ ∃f ∈ L(E)/Imf = kerf
Exercice 1023 Montrer qu'il existe une unique forme linéaire f sur R2 telle que f(1,2) = 2 et f(−2,1) = 5. Déterminer le noyau et l'image de f.
Exercice 1024 Déterminer suivant la valeur de x ∈ R le rang de la famille de vecteurs e1 = (1, x,−1), e2 = (x,1, x), e3 = (−1, x,1).
Exercice 1025 Soit E un espace vectoriel de dimension 3 et f ∈ L(E) telle que f2 6= 0 et f3 = 0. Soit x0 ∈E/f2(x0)6= 0.
1. Montrer que (x0, f(x0), f2(x0)) est une base.
2. Montrer que l'ensemble des endomorphismes qui commutent avec f est un sous-espace vectoriel de L(E)de base (id, f, f2).
Exercice 1026 Soit E de dimension nie et f ∈ L(E). Montrer l'équivalence des trois pro-priétés :
(i) kerf = kerf2. (ii) Imf =Imf2.
(iii) E = kerf ⊕Imf.
Exercice 1027 Soient E et F de dimensions nies et u, v ∈ L(E, F). 1. Montrer que rg(u+v)6rg(u) +rg(v).
2. En déduire que |rg(u)−rg(v)|6rg(u+v).
Exercice 1028 Soit (f, g) ∈ (L(E))2 où E est un K-espace vectoriel de dimension nie n, montrer les inégalités :
rg(f) + rg(g)−n6rg(f◦g)6inf(rg(f),rg(g)) (on pourra utiliser g|ker(f◦g) =h dont on déterminera le noyau)
Exercice 1029 Soit (f, g)∈(L(E))2 où E est un K-espace vectoriel de dimension nie n, tel que : (f +g) est inversible et f g= 0. Montrer que :
rg(f) +rg(g) =n.
Exercice 1030 Soit U un sous-espace vectoriel de E espace vectoriel, et A={f ∈L(E)|U ⊂Ker(f)}.
Montrer que A est un sous-espace vectoriel de L(E). Si E est de dimension nie, quelle est la dimension de A?
Exercice 1031 Soient E0, E1, ..., En n+ 1 espaces vectoriels sur un même corps commutatif K, de dimensions respectives α0, α1, ..., αn. On suppose qu'il existe n applications linéaires f0, f1, ..., fn−1 telles que :
∀k ∈ {0, ..., n−1}, fk ∈L(Ek, Ek+1).
et de plus :
f0 est injective ;
∀j ∈ {1, ..., n−1},Imfj−1 =Ker(fj);
fn−1 est surjective.
Montrer que
n
X
j=0
(−1)jαj = 0.
Exercice 1032 SoientH1 et H2 deux hyperplans de E,espace vectoriel de dimension n. Mon-trer que :
dim(H1∩H2)>n−2.
Généraliser.
Exercice 1033 Donner un exemple d'endomorphisme d'un espace vectoriel injectif et non surjectif, puis d'un endomorphisme surjectif et non injectif.
Exercice 1034 Soit E un espace vectoriel de dimension nie et f ∈ L(E), montrer l'équiva-lence :
E = Ker(f)⊕Im(f)⇔Imf = Imf2. Donner un contre-exemple quand dimE = +∞.
Exercice 1035 Soit (f, g)∈L(E, F)2 avec E, F de dimension nie. On suppose rg(f +g) = rg(f) + rg(g).
Montrer que :
E = Ker(f) + Imf;
Imf ∩Img ={0}.
Exercice 1036 Soit E un espace vectoriel de dimension nie, et (f, g) ∈ L(E)2 avec E = Imf + Img = Ker(f) + Ker(g). Montrer que ces sommes sont directes.
Exercice 1037 Soit E un espace vectoriel de dimension nie, et (f1, ..., fk)des projecteurs de E. Montrer l'équivalence :
Exercice 1038 Soit f ∈L(E) où E est un K-espace vectoriel de dimension n, tel que : f2 =−Id.
1. Montrer que f est inversible et que la dimension de E est paire, donc n = 2p.
2. Soit x6= 0,monter que xet f(x)sont linéairement indépendants, et qu'ils engendrent un sous-espace stable de E.
3. Montrer qu'il existe p sous-espaces de dimension deux stables par f, E1...Ep tels que : E =
p
L
i=1
Ei. En déduire une bonne formule de calcul de f.
Exercice 1039 Soit E un K espace vectoriel de dimension nie n >1. Soit f ∈ L(E) nilpo-tente. On note q∈N∗ l'indice de nilpotence de f, i.e. :
Exercice 1040 Eectuer le produit des matrices : 2 1 Exercice 1041 On considère la matrice suivante :
M =
Exercice 1042 On considère les trois matrices suivantes :
1. Calculer AB puis (AB)C. 2. Calculer BC puid A(BC). 3. Que remarque-t-on ?
Exercice 1043 On considère les deux matrices suivantes :
A=
Exercice 1044 Trouver les matrices qui commutent avec A =
Exercice 1045 Soit A=
matrice identité 3×3.En déduire que A est inversible et calculer son inverse.
Exercice 1046 1. Soit A=
(a) Calculer B2,B3 en déduire une formule de récurrence que l'on démontrera pour Bn, pour tout entier n.
(b) Développer (B +I3)n par la formule du binome et simplier.
Exercice 1047 1. On considère la matrice A=
(b) Déterminer toutes les matrices F telles que A×F = O (O étant la matrice dont tous les coecients sont nuls).
2. Soit A=
Montrer que A est inversible et déterminer son inverse (en fonction de B).
Exercice 1048 Calculer le rang des matrices suivantes.
Exercice 1049 Soit A une matrice carrée d'ordre n; on suppose que A2 est une combinaison linéaire de A et In : A2 =αA+βIn.
1. Montrer que An est également une combinaison linéaire de A et In pour tout n ∈N∗. 2. Montrer que si β est non nul, alors A est inversible et que A−1 est encore combinaison
linéaire de A et In.
3. Application 1 : soit A = Jn −In, où Jn est la matrice Attila (envahie par les uns...), avec n >1. Montrer que A2 = (n−2)A+ (n−1)In; en déduire que A est inversible, et déterminer son inverse.
4. Application 2 : montrer que si n = 2, A2 est toujours une combinaison linéaire de A et I2,et retrouver la formule donnant A−1 en utilisant 2.
Exercice 1050 Soit A=
Exercice 1051 Rappeler la structure d'espace vectoriel de Mn(R). Déterminer une base de Mn(R). Donner sa dimension.
Exercice 1052 SoitA =
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M3(R) stable pour la multiplication des matrices. Calculer dim (E).
2. Soit M(a, b, c)un élément de E.Déterminer, suivant les valeurs des paramètres a, b et c∈ R son rang. Calculer (lorsque cela est possible) l'inverse M(a, b, c)−1 de M(a, b, c).
3. Donner une base de E formée de matrices inversibles et une autre formée de matrices de rang 1.
Exercice 1055 Soit A∈M2(R). On nomme commutant de Aet on note C(A)l'ensemble des B ∈M2(R) telles que AB =BA.
Montrer que ce sont des sous espaces vectoriels de M3(R)dont on déterminera des bases.
[Exercice corrigé]
Exercice 1057 Montrer que F = {M ∈ M2(R);tr(M) = 0} est un sous-espace vectoriel de M2(R).Déterminer une base de F et la compléter en une base de M2(R).
[Exercice corrigé]
Exercice 1058 Soient A et B ∈Mn(K) deux matrices triangulaires supérieures.
1. Montrer (en calculant les coecients) que AB est triangulaire supérieure.
2. Soit ϕ un endomorphisme bijectif de Kn et F un sous-espace vectoriel de Kn tel que ϕ(F)⊂F.Montrer que que ϕ−1(F)⊂F.
3. En déduire une nouvelle démonstration de 1. Montrer que si A est inversible, A−1 est triangulaire supérieure.
Exercice 1059 Soit N ∈Mn(C) une matrice nilpotente. Calculer det(I+N). Si A∈ Mn(C) commute avec N,montrer que det(A+N) = det(A).(on pourra commencer par étudier le cas où A est inversible.)
Exercice 1060 SoitG=
. Montrer que Gest un groupe multiplicatif.
Exercice 1061 Soit A(θ) =
cosθ −sinθ sinθ cosθ
pour θ ∈R. Calculer An(θ)pour n∈Z.
Exercice 1062 Soit A=
4. A est-elle inversible ?
Exercice 1063 Soient A et B ∈ Mn(Q) telles que ∀X ∈ Mn(Q) tr(AX) = tr(BX). Montrer que A=B.
Exercice 1064 Que peut-on dire d'une matrice A∈Mn(R) qui vérie tr(AtA) = 0? Exercice 1065 Discuter suivant les valeurs de λ ∈Rle rang de la matrice
1 12 13
1 2
1 3
1 1 4 3
1
4 λ
.
Exercice 1066 Calculer l'inverse de
1 2 1
1 2 −1
−2 −2 −1
.
Exercice 1067 Déterminer l'ensemble des matrices M ∈Mn(R) telles que :
∀H ∈Mn(R), M H =HM.
Exercice 1068 Soit M ∈Mn(R)telle que M −In soit nilpotente (ie ∃k ∈N,(M−In)k = 0).
Montrer que M est inversible.
Exercice 1069 M = (ai,j)(i,j)∈{1,...,n}2 ∈Mn(R) telle que :
∀i∈ {1, ..., n},|ai,i|>X
j6=i
|ai,j|. Montrer que M est inversible.
Exercice 1070 Montrer que si (A, B)∈Mn(R)et AB=A+B alors AB=BA. Exercice 1071 Soit M = (ai,j)(i,j)∈{1,...,n}2 ∈Mn(R), montrer :
minj max
i ai,j >max
i min
j ai,j. Exercice 1072 Soit J ∈Mn(R) une matrice telle que : J2 =I et
E ={A∈Mn(R)|∃(a, b)∈R2;A=aI+bJ}.
1. Montrer que E est un espace vectoriel stable par multiplication (Est-ce une algèbre ?).
En déduire que :
∀A∈E,∀n ∈N,∃(an, bn)∈R2;An=anI+bnJ et calculer les coecients an et bn.
2. Soit Sn =
n
P
k=0 Ak
k!. Calculer (un, vn) tel que Sn = unI +vnJ en fonction de a et de b.
Calculer les limites de (un)n∈N et de (vn)n∈N. On pose eA = uI +vJ où u = lim
n→∞un, v = lim
n→∞vn.Calculer e−A et le produit e−AeA. 3. Application :
J =
0 1 1 0
, A=
a b b a
. Calculer eA.
Exercice 1073 Soit (A, B) ∈(Mn(C))2 tel que ∀X ∈Mn(C), AXB = 0. Montrer que A = 0 ou B = 0.
Exercice 1074 Soit (A, B) ∈ (Mn(C))2 tel que AB = I +A+A2. Montrer que AB = BA (Indication : voir d'abord que A est inversible).
Exercice 1075 Soit A ∈ Mn(R)une matrice triangulaire à éléments diagonaux nuls, montrer que :
An = 0.
Exercice 1076 Calculer les puissances de : a b
la somme étant nie et s'arrêtant par exemple au premier indice itel que Ai = 0. Montrer que si A et B sont nilpotentes et commutent, alors exp(A+B) = exp(A) exp(B). En déduire que exp(A)est toujours inversible et calculer son inverse.
Exercice 1078 Calculer l'inverse de :
Exercice 1079 Calculer l'inverse de :
de récurrence linéaire suivante :
n xn+1 = −9xn −18yn yn+1 = 6xn +12yn
avec x0 =−137 et y0 = 18. On se propose dans ce problème de trouver les termes généraux de ces deux suites.
1. Montrer qu'il existe une matrice A ∈ M2(R) telle que la relation de récurrence linéaire ci-dessus soit équivalente à la relation Un+1 =AUn, où Un =
4. Montrer que l'ensemble des vecteurs X ∈ R2 tels que AX = 3X est un sous-espace vectoriel de R2. Quelle est sa dimension ? En donner une base, qu'on notera B2.
5. Montrer que la réunion B1 ∪B2 forme une base B de R2. Soit P la matrice formée des composantes des vecteurs de B relativement à la base canonique de R2. Montrer que P est inversible, et que le produit P−1AP est une matrice diagonale D qu'on calculera.
6. Montrer que An=P DnP−1. Calculer Dn, et en déduire An, pour tout n ∈N. 7. Donner les termes généraux xn et yn.
[Exercice corrigé]
20.3 Matrice provenant d'un endomorphisme
Exercice 1081 Soit h l'homomorphisme de R3 dans R2 déni par rapport à deux bases (e1, e2, e3) et (f1, f2)par la matrice A =
2 −1 1 3 2 −3
. 1. On prend dans R3 la nouvelle base :
e01 =e2+e3, e02 =e3 +e1, e03 =e1+e2. Quelle est la nouvelle matrice A1 de h?
2. On choisit pour base de R2 les vecteurs : f10 = 1
2(f1+f2), f20 = 1
2(f1−f2)
en conservant la base (e01, e02, e03) de R3. Quelle est la nouvelle matrice A2 de h?
Exercice 1082 Soithune application linéaire de rang r, deE, espace vectoriel de dimension n, dans F, espace vectoriel de dimension m.
1. Préciser comment obtenir une base (ei)ni=1 de E, et une base (fj)mj=1 de F, telles que h(ek) =fk pour k = 1, . . . , r et h(ek) = 0pour k > r. Quelle est la matrice de h dans un tel couple de bases ?
2. Déterminer un tel couple de bases pour l'homomorphisme de R4 dans R3 déni dans les bases canoniques par :
h(x1, x2, x3, x4) = (y1, y2, y3) avec
y1 = 2x1−x2+x3 −x4 y2 = x2+x3−2x4 y3 = x1+ 2x2 +x3+x4 3. Même question pour l'application f de R3 dans lui-même dénie par :
f(x, y, z) = (2x+y+z,−y+z, x+y).
Exercice 1083 On désigne par P2 l'espace des polynômes sur Rde degré inférieur ou égal à 2. On désigne par (e0, e1, e2) la base canonique de P2 et on pose
p0 =e0, p1 =e1− 1
2e0, p2 =e2−e1+ 1 2e0.
1. Montrer que tout polynôme de P2 peut s'écrire de façon unique sous la forme p=b0p0+ b1p1+b2p2.
2. Écrire sous cette forme les polynômes : p00, p01, p02, p0, Xp0, p00.
3. Montrer que l'application ϕ : P2 → P2 dénie par ϕ(p) = Xp0 − 12p0 + 14p00 est une application linéaire. Préciser le noyau et l'image de cette application. Écrire les matrices de cette application par rapport à la base canonique (ei) et par rapport à la base (pi). Écrire la matrice de passage de la base (ei)à la base(pi); quelle relation lie cette matrice aux deux précédentes ?
Exercice 1084 Soit f : C → C l'application z 7→ eiθz.¯ On considère C comme un R-espace vectoriel et on xe la base ε ={1, i}.
1. Montrer que f est R-linéaire.
2. Calculer A=Mat(f, ε, ε).
3. Existent-ils x et y ∈C− {0} tels que f(x) = x et f(y) = −y? Si c'est le cas déterminer un tel xet un tel y.
4. Décrire géométriquement f.
5. Soit g :C →C l'application z 7→eiρz.¯ Calculer A =Mat(g◦f, ε, ε) et décrire géométri-quement g◦f.
Exercice 1085 Soit f ∈ L(R3)telle que f3 =−f et f 6= 0.
1. Montrer que Ker(f)∩Ker(f2+I) ={0}, Ker(f)6={0}et Ker(f2+I)6={0}.
2. Soit x un élément distinct de 0 de Ker(f2+I). Montrer qu'il n'existe pas α∈R tel que f(x) = αx. En déduire que {x, f(x)} est libre.
3. Calculer dim(Ker(f))et dim(Ker(f2+I)).
4. Déterminer une base ε de R3 telle que : Mat(f, ε) =
0 0 0 0 0 −1 0 1 0
.
Exercice 1086 Soient E un espace vectoriel de dimension n, f une application linéaire de E dans lui-même et xun élément de E tel que la famille f(x), ..., fn(x) soit libre.
1. Montrer que la famille x, f(x), . . . , fn−1(x) est une base de E. Déduiser-en que f est bijective.
2. On suppose maintenant que fn(x) =x. Déterminer la matrice de fdans la basex, f(x), . . . , fn−1(x). Exercice 1087 Déterminer la matrice de la projection de R2 sur R~iparallèlement à R(~i+~j)
dans la base (~i+~j,~j)puis (~i,~j).
Exercice 1088 Soit R[X] l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels.
1. Soit n ∈ N. Montrer que Rn[X], ensemble des polynômes à coecients réels et de de-gré inférieur ou égal à n, est un sous-espace vectoriel de R[X]. Montrer que la famille 1, X, . . . , Xn est une base de Rn[X].
2. Soient f,g et h les applications de R[X] dans lui-même dénies par : f(P(X)) = XP(X),
g(P(X)) =P0(X), h(P(X)) = (P(X))2.
Montrer que les applications f etg sont linéaires, mais que hne l'est pas. f et g sont-elles injectives ? Surjectives ? Déterminer la dimension de leurs noyaux respectifs. Déterminer l'image de f.
3. On désigne par fn et gn les restrictions de f et de g à Rn[X]. Montrer que l'image de gn est incluse dans Rn[X] et celle de fn est incluse dans Rn+1[X]. Déterminer la matrice de gn dans la base 1, X, ..., Xn de Rn[X]. Déterminer la matrice de fn de la base1, X, ..., Xn dans la base 1, X, ..., Xn+1. Calculer les dimensions respectives des images de fn et de gn. Exercice 1089 Soient A=
−1 2 1 0
et f l'application de M2(R) dans lui-même M 7→ AM.
Montrer que f est linéaire. Déterminer sa matrice dans la base canonique de M2(R).
Exercice 1090 Soitϕ une application linéaire de R2 dans lui-même telle que ϕ 6= 0et ϕ2 = 0. 1. Construire des exemples de telles applications.
2. Soit x∈ R2 tel que ϕ(x) 6= 0. Montrer que {x, ϕ(x)} est une base de R2. Déterminer la matrice de ϕ dans cette base.
Exercice 1091 Soit E un espace vectoriel et ϕ∈ L(E).
1. On suppose que Ker(ϕ) =Ker(ϕ2).Soitp>1etx∈Ker(ϕp).Montrer quex∈Ker(ϕp−1).
En déduire que Ker(ϕp) = Ker(ϕ) pour tout p>1.
2. Montrer de même que si Ker(ϕ2) = Ker(ϕ3) alors Ker(ϕp) =Ker(ϕ2) pour tout p>2.
3. On suppose désormais que ϕ est une application linéaire de R3 dans lui-même telle que ϕ2 6= 0. Soit x∈R3 tel que ϕ2(x)6= 0. Montrer que {x, ϕ(x), ϕ2(x)} est une base de R3. Déterminer la matrice de ϕ dans cette base.
Exercice 1092 Soient E un espace vectoriel de dimension 3 et ϕ une application linéaire de E dans E telle que ϕ2 = 0 et ϕ6= 0. Posons r=rg(ϕ).
1. Montrer que Im (ϕ)⊂Ker (ϕ). Déduiser-en que r63−r. Calculer r.
2. Soit e1 ∈ E tel que ϕ(e1) 6= 0. Posons e2 = ϕ(e1). Montrer qu'il existe e3 ∈ Ker (ϕ) tel que la famille {e2, e3} soit libre. Montrer que {e1, e2, e3} est une base de E.
3. Déterminer la matrice de ϕ dans la base {e1, e2, e3}.
Exercice 1093 SoientE un espace vectoriel et ϕ une application linéaire de E dans lui-même telle que ϕ2 =ϕ.
1. Montrer que E =Ker (ϕ)⊕Im (ϕ).
2. Supposons que E est de dimension nien. Posonsq =dim (Ker (ϕ)). Montrer qu'il existe une base B ={e1, . . . , en} de E telle que : ϕ(e1) = . . .=ϕ(eq) = 0 et, pour tout r > q, ϕ(er) = er. Déterminer la matrice de ϕ dans la base B.
Exercice 1094 Soitf l'application de Rn[X]dans R[X], dénie en posant, pour tout P(X)∈ Rn[X] : f(P(X)) =P(X+ 1) +P(X−1)−2P(X).
1. Montrer que f est linéaire et que son image est incluse dans Rn[X].
2. Dans le cas où n = 3, donner la matrice de f dans la base 1, X, X2, X3. Déterminer ensuite, pour une valeur de n quelconque, la matrice de f dans la base 1, X, . . . , Xn. 3. Déterminer le noyau et l'image de f. Calculer leurs dimensions respectives.
4. Soit Q un élément de l'image de f. Montrer (en utilisant en particulier les résultats de la deuxième question) qu'il existe un unique P ∈ Rn[X] tel que : f(P) = Q et P(0) =P0(0) = 0.
20.4 Endomorphisme provenant d'une matrice
Exercice 1095 Soit (e1, e2, e3) une base de l'espace E à trois dimensions sur un corps K. IE
désigne l'application identique de E. On considère l'application linéaire f de E dans E telle que :
f(e1) = 2e2+ 3e3, f(e2) = 2e1−5e2−8e3, f(e3) = −e1+ 4e2+ 6e3. 1. Étudier le sous-espace ker(f −IE) : dimension, base.
2. Étudier le sous-espace ker(f2+IE) : dimension, base.
3. Montrer que la réunion des bases précédentes constitue une base de E. Quelle est la matrice de f dans cette nouvelle base ? et celle de f2?
Exercice 1096 Soit E un espace à n dimensions et f un endomorphisme de E.
1. Montrer que la condition f2 = 0 est équivalente à Imf ⊂ kerf. Quelle condition vérie alors le rang de f? On suppose dans le reste de l'exercice que f2 = 0.
2. Soit E1 un supplémentaire de kerf dans E et soit (e1, e2, . . . , er) une base de E1. Mon-trer que la famille des vecteurs (e1, e2, . . . , er, f(e1), f(e2), . . . , f(er)) est libre. Montrer comment on peut la compléter, si nécessaire, par des vecteurs de kerf de façon à obtenir une base de E. Quelle est la matrice de f dans cette base ?
3. Sous quelle condition nécessaire et susante a-t-on Imf = kerf?
4. Exemple : Soit f l'endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est M(f) =
. Montrer que f2 = 0. Déterminer une nouvelle base dans laquelle la matrice de f a la forme indiquée dans la question 2).
Exercice 1097 Soit trois vecteurs e1, e2, e3 formant une base de R3. On note T la quelles valeurs de α et de β l'application linéaire qui lui est associée est surjective.
[Exercice corrigé] base des noyaux et une base des images respectifs de fA et de fB.
Exercice 1100 Soit E un espace vectoriel de dimension n et ϕ une application linéaire de E dans E. Montrer qu'il existe un polynôme P ∈R[X] tel que P(f) = 0. (On pourra utiliser le
Exercice 1100 Soit E un espace vectoriel de dimension n et ϕ une application linéaire de E dans E. Montrer qu'il existe un polynôme P ∈R[X] tel que P(f) = 0. (On pourra utiliser le