29 Groupes nis
29.3 Groupes de permutations
: (z, w) ∈ C2
l'ensemble des quaternions. H∗ désigne H privé de la matrice nulle. On note 1=
Exercice 1402 1. Déterminer card(S3)et écrire tous les éléments de S3, puis écrire la table de S3 et en déduire tous les sous-groupes de S3.
2. On considère T un triangle équilatéral du plan, de sommets A, B, C.
(a) Montrer que les isométries du plan qui préservent T forment un groupe pour la loi
◦, que l'on note G.
(b) Montrer qu'un élément de G induit une permutation de l'ensemble {A, B, C}. On construit ainsi une application φ de G dans S3.
(c) Montrer que φ est un isomorphisme.
Exercice 1403 On considère le groupe symétrique Sn. 1. Déterminer card(Sn).
est un cycle de longueur k, que l'on note (a1 a2. . . ak).
Siτ ∈Sn, montrer que τ στ−1 = (τ(a1)τ(a2). . . τ(ak)).
4. Rappel : toute permutation se décompose en produit de cycles à supports disjoints, et cette décomposition est unique à l'ordre près.
Décomposer les permutations suivantes en produits de cycles à supports disjoints :
1 2 3 4 5
5. Rappel : il existe un unique morphisme de Sn dans ({−1,1},×) non trivial, appelé si-gnature, et noté ε. Une manière de calculer ε(τ) (où τ ∈Sn) consiste à décomposer τ en produit de p transpositions (ie cycles de longueur 2) : alors ε(τ) = (−1)p.
Montrer que la signature d'un cycle de longueur k vaut (−1)k−1. En déduire comment se calcule la signature d'une permutation à partir de sa décomposition en produit de cycles disjoints.
Exercice 1404 Comment passer de 1234 à 2314 en échangeant seulement deux chires à chaque étape ? Y a-t-il plusieurs façons d'y parvenir ? Même question pour 1234 et 4312.
Peut-on obtenir n'importe quelle permutation des chires 1234 par ce procédé ?
Exercice 1405 Représenter graphiquement les permutations suivantes. Les décomposer en produit de cycles à supports disjoints, puis en produits de transpositions.
σ1 =
1234567 1425376
σ2 =
1234567 2471635
σ3 =
1234567 3261547
σ4 =
1234567 7146253
Calculer la signature des permutations ci-dessus. Calculer le produit σ1σ2σ3 et sa signature.
Comparer ce résultat aux précédents.
Exercice 1406 Soienta, b, ctrois éléments distincts de {1, ..., n}. Calculer le produit (ab)(bc)(ab). En déduire que Sn est engendré par les permutations {(1, i)}26,i6n, c'est à dire que toute permutation s'écrit comme produit de transpositions de cette forme.
Montrer que Sn est engendré par (12) et (123...n).
Exercice 1407 Décrire tous les morphismes de groupe de (Sn,◦) → ({+1,−1},·), c'est les applications φ :Sn→ {+1,−1} satisfaisant :
∀(σ, σ0)∈ Sn2, φ(σσ0) = φ(σ)φ(σ0)
Indication : Commencer par montrer que toutes les transpositions ont même image.
Exercice 1408 Dans Rn, on désigne par (e1, ..., en) la base canonique. A une permutation σ ∈ Sn, on associe l'endomorphisme uσ de Rn suivant :
uσ :
Rn → Rn x1
x...n
7→
xσ(1)
xσ(n)...
!
1. Soit τ = (ij) une transposition. Écrire la matrice de uτ dans la base canonique. Montrer que det(uτ) =−1.
2. Montrer que ∀σ, σ0 ∈ Sn, uσ◦uσ0 =uσ◦σ0.
3. En déduire que ∀σ ∈ Sn, detuσ =ε(σ) où ε désigne la signature.
Exercice 1409 On note Sn le groupe symétrique des permutations sur n éléments.
Soit ρ un morphisme de groupes de (Sn,◦) dans({−1,1},·), c'est à dire une application de Sn
dans {−1,1} satisfaisant
∀(σ, τ)∈ Sn ρ(στ) = ρ(σ)ρ(τ)
1. Calculer ρ(id). Pour tout cycle γ de longueur p, calculer γp. En déduire que lorsque pest impair, ρ(γ) = 1.
2. On suppose que pour toute transposition τ, ρ(τ) = 1. Montrer que ∀σ∈ Sn, ρ(σ) = 1 3. On suppose maintenant qu'il existe une transposition τ0 = (a, b)pour laquelleρ(τ0) =−1.
(a) Pour un élément c∈ {1, . . . , n} \ {a, b}, calculer (a, b)(a, c). En déduire que ρ(a, c) =
−1.
(b) Pour deux éléments distincts c et d de {1, . . . , n}, calculer (a, c)(a, d)(a, c). En dé-duire que ρ(c, d) = −1.
(c) En déduire que pour toute transposition τ,ρ(τ) =−1puis montrer que pour toute permutation σ ∈ Sn, ρ(σ) est la signature de σ.
4. Quels sont tous les morphismes de groupes de (Sn,◦) dans ({−1,1},·)? 5. On considère l'application ϕ suivante :
ϕ :
Sn → {−1,1} σ 7→ Qn
i=1
σ(i)−σ(j) i−j
Montrer que ∀(σ, τ)∈ Sn, ϕ(στ) = ϕ(σ)ϕ(τ). En déduire que
∀σ∈ Sn, ε(σ) =
n
Y
i=1
σ(i)−σ(j) i−j , où ε(σ) désigne la signature de σ.
Exercice 1410 Soit Gun groupe d'ordre 2n et H un sous-groupe de Gd'ordre n (H est donc d'indice deux dans G).
1. Montrer que si g ∈G et g 6∈H,on a H∩gH =∅ puis queG=H∪gH.
2. En déduire que pour tout g ∈G, g2 ∈H.
3. On suppose désormais G=A4le groupe des permutations paires de l'ensemble {1,2,3,4}. Soitσ = (a, b, c)un3-cycle. Montrer queσpeut s'écrire comme le carré d'une permutation paire c'est à dire qu'il existe ϕ ∈ A4 telle que ϕ2 =σ.En déduire que A4 ne possède pas de sous-groupe d'ordre 6.
Exercice 1411 Déterminer tous les éléments σ∈Sn tels que σ2 =σ.
Exercice 1412 1. Rappeler |S3|.Montrer que S3 ne contient pas d'élément d'ordre 6.
2. Montrer que S3 contient un unique sous-groupe d'ordre 3. Déterminer tous les sous-groupes d'ordre 2 de S3.
3. Déduire de ce qui précède tous les sous-groupes de S3.
[Exercice corrigé]
Exercice 1413 (examen juin 1999) SoitGL2(R)l'ensemble des matrices inversibles 2×2à c÷cients réels.GL2(R)est naturellement muni d'une structure de groupe par la multiplication usuelle des matrices. Soit
A=
1 0 0 −1
et B =
0 −1 1 0
. 1. Montrer que A et B appartiennent à GL2(R).
2. Quels sont les ordres de A et B?
3. Montrer que AB=−BA et en déduire que : (a) G=
I, A, B, AB,−I,−A,−B,−AB est un groupe (pour la loi multiplicative des matrices ; I esl la matrice identité) ;
(b) Gest le sous-groupe de GL2(R)engendré par {A, B}.
4. On munit R2 de sa structure euclidienne orientée canonique.
(a) Montrer que G est inclus dans O2(R)(le groupe orthogonal).
(b) Déterminer l'intersection de G et de SO2(R) (le groupe spécial orthogonal).
(c) Déterminer la nature géométrique des 8 éléments de G.
Exercice 1414 (examen juin 1999) I
Soit (G,·)un groupe. On dénit le centre Z(G) de G par : Z(G) =
x∈G / ∀a ∈G ax=xa . Montrer que Z(G) est un sous-groupe de G.
Que peut-on dire de Z(G)si G est abélien ?
On désigne par An le groupe alterné d'ordre nII(rappel : c'est le sous-groupe de (Sn,◦) formé des permutations de En ={1,2, . . . , n} de signature +1.)
On se propose de déterminer le centre de An pour n >3. 1. Donner la liste des éléments de A3 et deZ(A3).
2. On suppose désormais n > 4. Dans cette question on xe i, j, k trois éléments distincts de En.
(a) Vérier que le 3-cycle (i, j, k) est dans An.
(b) Soit s∈ Sn, montrer que s◦(i, j, k) = (s(i), s(j), s(k))◦s.
(c) En déduire que si s∈ Z(An) alors l'image de {i, j, k} par s est {i, j, k}.
3. Pour n = 4, on note E4 = {i, j, k, `}. Si s ∈ Z(A4) montrer que s(`) = `. En déduire Z(A4) ={id}.
4. Pour n>5, soits ∈ Z(An), soit i, j, k, `, mcinq éléments distincts de En. En considérant les ensembles {i, j, k} et {i, `, m} montrer que s=id et déterminer Z(An)
Exercice 1415 Quel est l'ordre maximal d'un élément de S4? De S5? De A5?
Exercice 1416 On désigne par K le sous-ensemble {id,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)} de S4.
1. Montrer que K est un sous-groupe distingué de S4 et de A4.
2. Pour quelle raison K est-il isomorphe à Z/2Z×Z/2Z? Calculer le quotient A4/K.
3. Montrer que le quotient S4/K est isomorphe à S3.
4. Donner un exemple de sous groupe distingué de Ket non deS4.Quelle conclusion peut-on en tirer ?
Exercice 1417 Calculer Z(Sn)suivant les valeurs de n∈N.
Exercice 1418 Trouver la décomposition en produit de cycles à supports disjoints, la signa-ture, l'ordre et une décomposition en produit de transpositions des permutations suivantes de S10:
σ =
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 7 1 4 2 6 9 8 5 10
, ϕ = (10,3,4,1) (8,7) (4,7) (5,6) (2,6) (2,9). Calculer σ1998 et ϕ1998.
[Exercice corrigé]
Exercice 1419 A4 désigne le groupe des permutations paires sur l'ensemble E ={1,2,3,4}. 1. Quels sont les ordres des éléments de A4? En déduire la liste de ces éléments sous forme
décomposée en produit de cycles à supports disjoints.
2. Montrer que les permutations s= (1 2)(3 4) et r = (1 2 3)engendrent A4.
3. Montrer que A4 admet un unique sous-groupe H d'ordre 4 (on examinera d'abord les ordres des éléments d'un tel sous-groupe) et que ce sous-groupe est un sous-groupe dis-tingué de A4.
Exercice 1420 Le groupe G=S3× S3 est-il abélien ? Déterminer tous les sous-groupes de G d'ordre 4.
Exercice 1421 Quel est le nombre de k-cycles dans Sk puis dans Sn où k 6n? Exercice 1422 Soit G un sous-groupe de Sn.
1. Montrer que si G est d'ordre impair alors Gne contient aucune permutation impaire.
2. Montrer que si Gcontient au moins une permutation impaire, alors Gcontient autant de permutations paires que de permutations impaires.
Exercice 1423 Soient a = (1,2)(3,4), b = (1,3)(2,4), c = (1,4)(2,3) ∈ A4, X = {a, b, c}, V ={a, b, c,Id}et Φ :S4 → S(X), g ∈G7→Φg = [x7→gxg−1].
1. (a) Montrer que V est un sous-groupe distingué de A4 (on pourra étudier l'ordre des élements de A4).
(b) Montrer que < a > est un sous-groupe distingué de V et n'est pas un sous-groupe distingué de A4.
2. Montrer que Φest un homomorphisme de groupes.
3. (a) Calculer Φ(g) pour g = (1,2)puis g = (1,2,3).
(b) En déduire que Φ est surjectif.
4. Montrer que S4/V est isomorphe à S3.
5. Ecrire la décomposition de A4 suivant les classes modulo V.
Exercice 1424 1. Déterminer le centre du groupe Sn.
2. (a) Montrer qu'un groupe G1×G2 contient un sous-groupe distingué isomorphe à G1. (b) Montrer que les groupes Sn et Z/2Z× An ne sont pas isomorphes si n >3.
Exercice 1425 1. Montrer que dans Sn on a f ◦(a, b)◦f−1 = (f(a), f(b)).
2. Montrer que les permutations (1, ..., n) et (1,2)engendrent Sn (on rappelle que les trans-positions engendrent Sn).
Exercice 1426 1. Montrer que Sn est isomorphe à un sous-groupe de An+2. 2. Montrer que S4 n'est pas isomorphe à un sous-groupe de A5.
3. Montrer que S5 n'est pas isomorphe à un sous-groupe de A6.
[Exercice corrigé]
Exercice 1427 Montrer que tout groupe ni est isomorphe à un sous-groupe de Sn (groupe symétrique) pour un certain n.