28.1 Anneaux
Exercice 1355 Soienta, b∈C. L'applicationf :C→C, z 7→iz−zest-elle un (endo)morphisme...
1. ...du groupe C? 2. ...de l'anneau C?
3. ...du R-espace vectoriel C?
Exercice 1356 Soient les ensembles L=
x 0 0 0
∈ M2(R) :x∈R
et M =
x x
−x −x
∈ M2(R) :x∈R
Étudier si, munis des lois usuelles, Let M sont des anneaux, des corps.
Exercice 1357 1. Soit D = {f ∈R[X] :f0(0) = 0}. Montrer que D n'est pas un idéal de l'anneau R[X] et que c'est un sous-anneau de l'anneau R[X].
2. Soit E = {f ∈R[X] :f(0) =f0(0) = 0}. Montrer que D n'est pas un sous-anneau de l'anneau R[X] et que c'est un idéal de l'anneau R[X]dont on donnera un générateur.
Exercice 1358 On dénit sur Rles deux lois ⊕et⊗parx⊕y=x+y−1et x⊗y=x+y−xy. Montrer que (R,⊕,⊗) est un corps.
Exercice 1359 Soit (G,+) un groupe commutatif. On note End(G) l'ensemble des endomor-phismes de G sur lequel on dénit la loi + par f+g :
(G→G
x7→f(x) +g(x) . Montrer que (End(G),+,◦) est un anneau.
Exercice 1360 Soit (A,+,×) un anneau. On dit que x ∈ A est nilpotent ssi il existe n ∈ N tel que xn= 0.
1. Montrer que si x est nilpotent alors 1−xest inversible.
2. Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent, alors xy et x+y sont nilpotents.
3. Un corps admet-il des éléments nilpotents ? Exercice 1361 Soit (A,+,×) un anneau.
On appelle centre de A l'ensemble C ={x∈A/∀y∈A, xy=yx}.
Montrer que C est un sous-anneau de A.
Exercice 1362 Soient A et B deux anneaux. On dénit sur A×B les lois (x, y) + (x0, y0) = (x+x0, y+y0)
(x, y)(x0, y0) = (xx0, yy0) 1. Montrer que A×B est alors un anneau.
2. Si A et B sont des corps, en est-il de même pour A×B?
Exercice 1363 Montrer que si A1, . . . , An sont des sous-anneaux de A alors A1∩. . .∩An est un sous-anneau de A.
Exercice 1364 Soit Z[i] ={a+ib,(a, b)∈Z2}.
1. Montrer que Z[i]est un anneau commutatif pour les lois usuelles de C. 2. Déterminer les inversibles de Z[i].
Exercice 1365 SoitAun anneau commutatif. On dit que a∈Aest nilpotent s'il existen ∈N∗ tel que an = 0. On pose N(A) ={a ∈A:a est nilpotent}.
1. Dans cette question, A=Z/72Z. Montrer que6∈ N(A)puis queN (A) =
λ6 :λ ∈Z . 2. Que peut-on dire de N (A)si A est intègre ?
3. Montrer que N(A) est un idéal de A
Exercice 1366 (Extrait de l'examen de juin 1994) Sur l'ensemble R ,on dénit la loi ? par
(x1, x2)?(y1, y2) = (x1y1, x1y2+x2y1).
1. (a) Montrer que (R2,+, ?)est un anneau commutatif noté A.
(b) Chercher les diviseurs de 0de l'anneau A.
2. On considère l'application
f :R[X]→A, P 7→(P(0), P0(0)).
(a) Montrer que f est un homomorphisme d'anneaux.
(b) f est-il surjectif ?
(c) Déterminer le noyau de f.
Exercice 1367 (Extrait de l'examen de janvier 1994) On dénitA={a+jb:a, b∈Z} où j = exp(2iπ3 ).
1. Montrer que A est un sous-anneau de C. On désigne par U(A) le groupe des éléments inversibles de A et enn, on pose, pour tout z ∈C, N(z) =|z|2.
2. (a) Montrer que si z ∈A alors N(z)∈Z.
(b) Soit z ∈A. Montrer que z ∈ U(A) si et seulement si N(z) = 1.
(c) Soient a et b des entiers. Montrer que si N(a+jb) = 1 alors a, b∈ {−1,0,1}. 3. Décrire le groupe U(A)et en déterminer les éléments d'ordre 3.
4. Soit Φ :Q[X]→C, P 7→P(j).
(a) Montrer que Φ est un homomorphisme d'anneaux.
(b) Déterminer le noyau de Φ (on pourra remarquer que j2+j+ 1 = 0).
(c) Montrer que ImΦ = {a+jb:a, b∈Q} et que c'est un sous-corps de C.
Exercice 1368 1. J ={(α, α) :α∈Z} est-il un idéal de l'anneau Z2? 2. J =
P ∈R[X] :P0(0) = 0 est-il un idéal de R[X]?
Exercice 1369 (D'après examen juin 94) 1. Montrer quekest inversible dans l'anneau Z/nZ si et seulement si les entiers k et n sont premiers entre eux.
2. On pose n= 10 et soit G le groupe des éléments inversibles de Z/nZ. (a) Donner la liste des éléments de G.
(b) Quel est l'ordre de 3? Gest-il cyclique ? Exercice 1370 (Bac 1978) Soit l'anneau A=Z/91Z.
1. Déterminer les diviseurs de zéro de l'anneau A. 2. Résoudre dans A l'équation x2+ 2x−3 = 0. Exercice 1371 Soit J ={P ∈Z[X] :P (0)∈2Z}.
1. (a) Montrer que J est un idéal de Z[X].
(b) Montrer que J est engendré par les polynômes 2et X.
2. En remarquant que 2 ∈ J, montrer que l'hypothèse J est un idéal principal de Z[X]
est absurde.
Exercice 1372 Montrer que Z/nZ est un anneau principal.
Exercice 1373 Soit A un anneau ni commutatif intègre (i.e. xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0).
Montrer que c'est un corps, i.e. que tout élément non nul est inversible.
Exercice 1374 Soit A un anneau, on dit que x∈A est nilpotent si ∃n ∈N tel que xn = 0.
1. Montrer que si x est nilpotent alors (1−x) est inversible.
2. Montrer que si x et y sont nilpotents et commutent alors xy et x+y sont nilpotents.
3. Un corps admet-il des éléments nilpotents ?
Exercice 1375 Soit (A,+,×) un anneau commutatif, on dit que I ⊂ A est un idéal de A si et seulement si : I est un sous-groupe de (A,+) et de plus : ∀a∈A,∀x∈I, ax∈I.
1. Quels sont les idéaux de Z?
2. On appelle radical de I, l'ensemble :
√I ={x∈A|∃n ∈N, xn∈I}. Montrer que √
I est un idéal de Acontenant I. Étudier le cas A=Z.
3. Montrer que si I et J sont deux idéaux de A tels que I ⊂J, alors √ I ⊂√
J .En déduire p√
I =√ I.
4. Montrer que si I et Jsont deux idéaux de A, √
I∩J =√ I∩√
J .
Exercice 1376 Soit A un anneau commutatif. Un sous anneau J de A est nommé idéal de A lorsque pour tout x∈J et tout a∈A le produit ax appartient à J.
1. Trouver tous les idéaux d'un corps K.
2. Montrer que tout idéal de Z est de la forme aZ,où a∈Z.
3. On note D l'ensemble des rationnels x tels que il existe k ∈N tel que x10k ∈Z.Montrer que tout idéal de D est de la forme aD où a∈D.
28.2 Algèbre, Corps
Exercice 1377 Déterminer les automorphismes du corps Q. Exercice 1378 Soit σ un automorphisme de R.
1. Montrer que si x>0 alors σ(x)>0. 2. Montrer que σ est croissante.
3. Déterminer σ.
Exercice 1379 Soient A= (1 10 1) et C ={M ∈ M2(R) :M A=AM}.
1. Montrer que C est un sous-espace vectoriel de M2(R) et en déterminer une base.
2. Montrer que, pour les lois usuelles, C est une R-algèbre.
Exercice 1380 Soient E un R-espace vectoriel et u∈ L(E)tel que u2 =u. On dénit R[u] := {P(u) :P ∈R[X]}.
1. Montrer que, muni des lois usuelles sur L(E), c'est une R-algèbre.
2. Montrer que cette algèbre est de dimension nie et discuter de sa dimension en fonction de u.
3. L'anneau R[u] est-il un corps ?
Exercice 1381 Soit M ={aI2+bJ ∈ M2(R) :a, b∈R} où I2 = 1 0
0 1 , J = 0 2 1 0 . 1. Calculer J2 et montrer que si a, b∈Ret aI2+bJ =O alors a=b= 0.
2. Montrer que, muni des lois usuelles sur M2(R), M est un anneau. Cet anneau est-il commutatif, intègre ?
3. M est-il un corps, une R-algèbre ?
Exercice 1382 Montrer que l'ensemble S des suites réelles convergentes est une R-algèbre.
L'application S → R, u 7→ limu est-elle un morphisme de R-algèbres ? L'anneau S est-il in-tègre ?
Exercice 1383 Soient E un R-ev et u∈ L(E)tel que u2 =u. On dénit R[u] ={aIdE +bu:a, b∈R}.
Montrer que, muni des lois usuelles sur L(E), c'est une R-algèbre. L'anneau R[u] est-il un corps ?
Exercice 1384 Un automorphisme d'un corps K est une application bijective ϕ de K dans lui-même telle que ϕ(1) = 1, ϕ(0) = 0 et, pour tout a, b∈K, on ait ϕ(a+b) =ϕ(a) +ϕ(b) et ϕ(ab) =ϕ(a)ϕ(b).
1. Soit ϕ un automorphisme de R. Montrer que l'application x 7→ ϕ(x) est croissante. En déduire que l'identité est le seul automorphisme de R.
2. Soit ψ un automorphisme continu deC. Montrer ψ(x) =x, pour tout x∈R. En déduire tous les automorphismes continus de C.