6 Arithmétique dans Z
6.1 Divisibilité, division euclidienne
Exercice 249 Combien 15! admet-il de diviseurs ?
[Exercice corrigé]
Exercice 250 Trouver le reste de la division par 13 du nombre 1001000.
[Exercice corrigé]
Exercice 251 Sachant que l'on a 96842 = 256×375 + 842, déterminer, sans faire la division, le reste de la division du nombre 96842par chacun des nombres 256 et 375.
[Exercice corrigé]
Exercice 252 Soient m>1 et n >2des entiers ; montrer que : 1. n−1|nm−1;
2. (n−1)2|nm−1 si et seulement si n−1|m.
Exercice 253 Soit a un entier relatif quelconque, démontrer que le nombre a(a2−1)et, plus généralement, a(a2n−1)est divisible par 6.
Exercice 254 Démontrer que le nombre 7n+ 1 est divisible par 8 sin est impair ; dans le cas n pair, donner le reste de sa division par 8.
[Exercice corrigé]
Exercice 255 Quel est le plus petit entier naturel qui, divisé par 8,15,18et 24, donne respec-tivement pour reste 7,14,17 et 23?
Exercice 256 Montrer que si x et y sont des entiers naturels tels que x2 divise y2, alors x divise y. Application : démontrer, par l'absurde, que √
2 n'est pas rationnel.
Exercice 257 Montrer que ∀n∈N :
n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3) est divisible par 24, n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)(n+ 4) est divisible par 120.
[Exercice corrigé]
Exercice 258 Trouver tous les entiers relatifs n tels que n2+n+ 7 soit divisible par 13. Exercice 259 On considère le nombre m = 2np, dans lequel n désigne un entier naturel quelconque et p un nombre premier. Dresser la liste des diviseurs de m, y compris 1 et m lui-même, et calculer, en fonction de m et p, la somme S de tous ces diviseurs.
Exercice 260 Le diviseur d'une division est égal à 45; le reste est le carré du quotient. Calculer le dividende entier naturel.
Exercice 261 Trouver le plus petit entier naturel n telle que le développement décimal de 1/nadmette une plus petite période de longueur 5, c'est-à-dire 1/n= 0, abcde abcde ab . . . avec a, b, . . . , e∈ {0,1,2, . . . ,9}.
Exercice 262 Les nombres a, b, c, d étant des éléments non nuls de Z, dire si les propriétés suivantes sont vraies ou fausses, en justiant la réponse.
1. Si a divise b et c, alors c2 −2b est multiple de a.
2. S'il existe u et v entiers tels que au+bv=d alors pgcd(a, b) = |d|.
3. Si a est premier avec b, alors a est premier avec b3. 4. Si a divise b+cet b−c, alors a divise b et a divise c. 5. Si 19 divise ab, alors 19divise a ou 19divise b.
6. Si a est multiple de b et si c est multiple de d, alors a+c est multiple de b+d. 7. Si 4 ne divise pas bc, alors b ou cest impair.
8. Si a divise b et b ne divise pas c, alors a ne divise pas c. 9. Si 5 divise b2, alors 25divise b2.
10. Si12 divise b2, alors 4 divise b. 11. Si12 divise b2, alors 36 divise b2.
12. Si91 divise ab, alors 91divise a ou 91divise b. Exercice 263 On dénit les trois ensembles suivants :
E1 = {7n , n∈N}
E2 = {n∈N tel que n est multiple de 4} E3 = {28n , n∈N}
1. Pour 16i, j 63, déterminer si on a l'inclusion Ei ⊂Ej.
2. Ecrire E1∩E2 sous la forme E ={n ∈N, P(n)}. Montrer que E1∩E2 =E3.
Exercice 264 Montrer que si r et ssont deux nombres entiers naturels somme de deux carrés d'entiers alors il en est de même pour le produit rs.
Exercice 265 Soit n un entier relatif. Montrer que soit 8 divise n , soit 8divise n −1, soit 8 divise n2−4.
Exercice 266 Étant donnés deux nombres relatifs n et p montrer que soit np est pair, soit n2 −p2 est divisible par 8.
Exercice 267 Montrer que si n est un entier naturel somme de deux carrés d'entiers alors le reste de la division euclidienne de n par 4n'est jamais égal à 3.
[Exercice corrigé]
Exercice 268 1. Soit n un entier naturel dont le reste de la division euclidienne par 5 vaut 2 ou 3, montrer que n2+ 1 est divisible par 5.
2. Montrer que pour tout entier naturel n, l'entier n5−n est divisible par 5.
Exercice 269 Soit n ∈ N∗. Montrer que parmi les trois entiers n.(n+ 1), n.(n+ 2) et (n+ 1).(n+ 2), il y en a exactement deux qui sont divisibles par 3.
Exercice 270 1. Pour tout couple de nombres réels (x, y)montrer, par récurrence, que pour tout n∈N∗ on a la relation
(∗)xn−yn= (x−y).
n−1
X
k=0
xkyn−1−k.
Indication : on pourra écrire de deux manières diérentes la quantité y(xn−yn)+(x−y)xn. 2. Soit (a, b, p)des entiers éléments de N. En utilisant la formule (∗), montrer que s'il existe un entier l ∈N tel que b =a+pl, alors pour tout n ∈ N∗, il existe un entier m ∈ N tel que bn=an+pm.
3. Soient a, b, pdes entiers éléments de N, en utilisant la question 2, montrer que si a−best divisible par p,
p−1
X
k=0
akbp−k−1
est aussi divisible par p.En déduire, à l'aide de la question 2 et de la formule (∗),que si a−b est divisible par pn i.e. il existe un entier l ∈Ntel que a−b=l.pn,alors ap−bp est divisible par pn+1.
[Exercice corrigé]
Exercice 271 Calculer 20002000 modulo 7 et 2500 modulo 3.
Exercice 272 Soit a, b ∈Z2 dont les restes modulo 11 sont 7 et 2 respectivement. Donner le reste modulo 11de a2−b2.
Exercice 273 1. Montrer que 7divise 22225555+ 55552222; 2. montrer que que 11divise
510510
510
+ 105105
105
; 3. trouver un critère de divisibilité par 8 puis par 6. Exercice 274 Montrer que pour tout n >0 :
1. 7 divise 32n+1+ 2n+2 2. 11divise 26n+3+ 32n+1 3. 6 divise 5n3+n
4. 8 divise 5n+ 2.3n−1+ 1 .
Exercice 275 1. Déterminer la somme des chires de la somme des chires de la somme des chires de 3500.
2. On se donne 51 nombres compris entre 1 et 100. Montrer que parmi ces nombres il y en a nécessairement au moins deux tels que l'un divise l'autre. Montrer que l'on peut toujours trouver un ensemble de 50nombres compris entre entre 1et 100 ne vériant pas la propriété de divisibilité ci-dessus.
Exercice 276 Trouver les entiers positifs n tels que n−1divise n2+ 1. Exercice 277 Montrer que pour chaque n∈N, 4ne divise pas n2+ 1.
Exercice 278 Montrer que pour chaque entier positif n, 49divise 23n+3−7n−8. Exercice 279 Trouver tous les entiers positifs a tels que a10+ 1 est divisible par 10. Exercice 280 Quel est le chire des unités de 1997199710?
Exercice 281 Montrer que :
1. Si un entier est de la forme 6k+ 5, alors il est nécessairement de la forme 3k−1, alors que la réciproque est fausse.
2. Le carré d'un entier de la forme 5k+ 1 est aussi de cette forme.
3. Le carré d'un entier est de la forme 3k ou 3k+ 1, mais jamais de la forme 3k+ 2.
4. Le carré d'un entier est de la forme 4k ou 4k+ 1, mais jamais de la forme 4k+ 2 ni de la forme 4k+ 3.
5. Le cube de tout entier est de la forme 9k,9k+ 1 ou 9k+ 8.
6. Si un entier est à la fois un carré et un cube, alors c'est une puissance sixième, et il est de la forme 7k ou 7k+ 1.
Exercice 282 Déterminer les entiers n∈N tels que : 1. n|n+ 8.
2. n−1|n+ 11. 3. n−3|n3−3.
Exercice 283 Soit k ∈Z. Déterminer les entiers n ∈N∗ tels que (n|2k+ 1 et n|9k+ 4). Exercice 284 Montrer que ∀(a, b)∈N×N∗ il existe un unique r(a)∈ {0, . . . , b−1} tel qu'il existe q ∈Navec a=bq+r(a).
1. En utilisant ceci pour b= 13, déterminer les entiers n∈N tels que 13|n2+n+ 7.
2. Si a ∈ N et b = 7, déterminer les valeurs possibles de r(a2) (on rappelle que r(a2) doit appartenir à {0, . . . , b−1}).
Montrer alors que ∀(x, y)∈N2 (7|x2+y2) ssi(7|x et 7|y).
3. Montrer qu'un entier positif de la forme 8k+ 7ne peut pas être la somme de trois carrés d'entiers.
Exercice 285 1. Montrer que le reste de la division euclidienne par 8 du carré de tout nombre impair est 1.
2. Montrer de même que tout nombre pair vérie x2 = 0[8] ou x2 = 4[8].
3. Soient a, b, ctrois entiers impairs. Déterminer le reste modulo 8 de a2+b2+c2 et celui de 2(ab+bc+ca).
4. En déduire que ces deux nombres ne sont pas des carrés puis que ab+bc+ca non plus.
[Exercice corrigé]