Groupes, sous-groupes

Exercice 1303 Soit ABC un triangle équilatéral du plan.

1. Déterminer l'ensemble des rotations qui laissent invariant {A, B, C}.

2. Montrer que c'est un groupe pour la loi ◦.

3. Faire de même avec un carré.

Exercice 1304 (Entiers modulo n) Étant donné un entier naturel n, on appelle classe d'un entier relatif pmodulo n l'ensemble p={p+kn|k ∈Z}. L'ensemble des classes modulo n est noté Z_n.

1. Écrire la liste des éléments distincts de Z₂, Z₃, Z₄ et Z₅. 2. Montrer que si x∈p et y∈q, alors x+y ∈p+q et xy∈pq.

3. En posant p+q = p+q et p·q = pq, on dénit deux lois de composition, addition et multiplication sur Z_n.

Écrire la table d'addition et de multiplication de Z₄. Même question pour Z₂,Z₃, et Z₅.

Exercice 1305 1. Montrer que les transformations géométriques qui conservent globale-ment un rectangle forglobale-ment un groupe. Faire l'étude de ce groupe.

2. Étudier le groupe Z/4Z.

3. Montrer qu'il n'existe que deux sortes de groupes à quatre éléments.

Exercice 1306 1. Étudier le groupe des isométries du carré.

2. Écrire la liste des éléments du groupe S₄ des permutations de quatre lettres. Trouver des sous-groupes de ce groupe isomorphes aux groupes du rectangle, du triangle équilatéral, du carré.

Exercice 1307 (Permutations d'un ensemble de n éléments) 1. Une permutation de l'ensemble de n éléments {1,2, . . . , n} est une bijection de cet ensemble dans lui-même.

Il est commode de désigner une telle permutation s par le tableau de valeurs suivant : s=

1 2 · · · n s(1) s(2) · · · s(n)

. On noteSnl'ensemble de ces permutations pour ndonné.

2. Écrire les éléments de S₂ et de S₃.

3. Établir les tables de composition de ces deux ensembles.

4. De la table de S₃ on peut extraire des parties stables ne faisant intervenir que certains éléments ; lesquelles ? Peut-on les trouver toutes.

5. Voyez-vous des analogies (totales ou partielles) entre ces tables et des situations rencon-trées plus haut ?

6. On peut obtenir tous les éléments de S3à partir de la composition de certains d'entre-eux ; lesquels ?

7. Combien d'éléments possède Sn? Combien de cases contient la table de composition de S₄, S₅, . . . ? Pourrait-on étudier S₄ et S₅ à partir de ces tables ?

Exercice 1308 Soient les quatre fonctions de R^∗ dans R^∗ f₁(x) =x f₂(x) = 1

x f₃(x) =−x f₄(x) =−1 x Montre que G={f₁, f₂, f₃, f₄} est un groupe pour la loi ◦.

Exercice 1309 Montrer qu'il existe une seule table possible pour un groupe d'ordre 3. Est-ce vrai pour 4?

Exercice 1310 Montrer que siXcontient au moins trois éléments alors σ(X)n'est pas abélien.

Exercice 1311 Les ensembles suivants, pour les lois considérées, sont-ils des groupes ? 1. ]−1,1[ muni de la loi dénie par x ? y = _1+xy^x+y ;

2. {z ∈C:|z|= 2} pour la multiplication usuelle ; 3. R₊ pour la multiplication usuelle ;

4. {x∈R7→ax+b :a∈R\ {0}, b ∈R}pour la loi de composition des applications.

[Exercice corrigé]

Exercice 1312 SoitK ={Id, f₁, f₂, f₃}oùf₁, f₂,etf₃sont les permutations de E ={1,2,3,4} dénies par

f1 = (^{1 2 3 4}_{2 1 4 3}), f2 = (^{1 2 3 4}_{3 4 1 2}), f3 = (^{1 2 3 4}_{4 3 2 1}). Montrer que K est un sous-groupe de S4.

Exercice 1313 Soit l'ensemble J =

x x x x

∈ M2(R) :x∈R\ {0}

.

Montrer que, muni de la multiplication usuelle des matrices, J est un groupe abélien.

Exercice 1314 Pour la multiplication usuelles des matrices carrées, les ensembles suivants sont-ils des groupes :

GL(2,R)∩ M²(Z), {M ∈ M²(Z) : detM = 1} ?

[Exercice corrigé]

Exercice 1315 SoitG un ensemble muni d'une loi de composition interne associative, admet-tant un élément neutre à droite et tel que chaque élément de Gadmette un symétrique à droite.

Montrer que G est un groupe.

Exercice 1316 Soient (G, .) un groupe et a, b∈G. On suppose que (1) :ab² =b³a et (2) :ba² =a³b.

1. Montrer, en utilisant seulement (1), que a²b⁸a⁻² =b¹⁸ puis que a³b⁸a⁻³ =b²⁷. 2. En déduire, en utilisant (2), que a³b⁸a⁻³ =b¹⁸ et enn que a =b = 1.

Exercice 1317 1. L'ensemble R\{−1}muni de la loi?dénie par∀a, b∈R, a?b=a+b+ab est-il un groupe ?

2. L'ensemble E = {−1,1, i,−i} ⊆C muni de la loi usuelle de multiplication dans C est-il un groupe ?

3. L'ensemble E ={(^a_{0 0}⁰) :a∈R\ {0}}muni de la loi de multiplication usuelle des matrices de M²(R)est-il un groupe ?

4. L'ensemble S2(R)des matrices symétriques réelles d'ordre 2 muni de la loi de multiplica-tion usuelle des matrices de M2(R) est-il un groupe ?

Exercice 1318 Soient (G, ?) et (H,4) deux groupes. On dénit sur G× H la loi ♥ par (x, y)♥(x⁰, y⁰) = (x ? x⁰, y4y⁰).

1. Montrer que (G×H,♥) est un groupe.

2. Si Gest de cardinal 2, dresser la table de G×G et la reconnaître parmi les exemples des exercices précédents.

Exercice 1319 Montrer que si H et K sont des sous-groupes de G alors H∩K est un sous-groupe de G. Est-ce vrai pour H∪K?

Exercice 1320 Si G est un groupe, on appelle centre de G et on note Z(G) l'ensemble {x∈G/∀y ∈G, xy=yx}.

1. Montrer que Z(G)est un sous-groupe de G. 2. Montrer que G est commutatif ssi Z(G) = G. 3. Calculer Z(σ₃).

Exercice 1321 On nommeM_n(Z)l'ensemble des matrices de taille n×nà coecients entiers relatifs.

- Soit M ∈ M_n(Z). Montrer que pour que M admette un inverse élément de M_n(Z) il faut et il sut que det(M)∈ {−1,1}.

- Démontrer que Gl_n(Z) ={M ∈M_n(Z) ; det(M)∈ {−1,1}} est un sous-groupe de Gl_n(R). Exercice 1322 1. L'ensemble des matrices

a c b d

avec a, b, c, d∈ R tels que ad−bc6= 0 et a²−b²−c²−d² 61est il un sous-groupe de Gl₂(R)?

2. L'ensemble des matrices

a b 0 a⁻¹

avec a∈R^∗ et b∈Rest-il un sous groupe de Gl₂(R)? 3. Existe-t-il une valeur M ∈R telle que l'ensemble des matrices

a c b d

avec a, b, c, d∈R tels que ad−bc6= 0 et a6M forme un sous-groupe de Gl₂(R)?

[Exercice corrigé]

Exercice 1323 Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. Montrer que H∪K est un sous-groupe de G si et seulement si H ⊂K ou K ⊂H.

[Exercice corrigé]

Exercice 1324 Déterminer le sous-groupe de Z engendré par les entiers 24, 36 et −54.

Exercice 1325 Les questions sont indépendantes. Soit j le nombre complexe e^2iπ3 . 1. Déterminer le sous-goupe du groupe additif C engendré par i et j.

2. Déterminer le sous-goupe du groupe multiplicatif C^∗ engendré par i et j.

Exercice 1326 Soit Gun groupe engendré par aet b. Montrer que < a >∩< b >⊆Z(G)où Z(G) désigne le centre de G.

[Exercice corrigé]

Exercice 1327 Soit G un sous-groupe de (R,+).

1. Montrer l'existence de α= inf(G∩R^+∗).

2. Si α >0 montrer que G=αZ.

3. Si α = 0 montrer que G est dense dans R.

Exercice 1328 Soit G un groupe. Montrer que l'ensemble Aut(G) des automorphismes de G est un groupe pour la loi de composition. Soit H un sous-groupe de Aut(G), et π :G→℘(G) dénie par : π(x) ={f(x)|f ∈H}. Montrer que π(G) est une partition de G.

Exercice 1329 Soit E un ensemble muni d'une loi interne ?. On appelle translation à droite (resp. à gauche) par a ∈ E, l'application d_a (resp. g_a) de E dans E dénie par d_a(x) = a ? x (resp. ga(x) =x ? a).

1. Montrer que dans un groupe les translations à droite et à gauche sont des bijections.

2. Réciproquement, si la loi ?deEest associative, et que les translations à droite et à gauche sont des bijections, on va montrer que (E, ?)est un groupe.

(a) Montrer que pour tout x∈E, il existe un unique élément e_x ∈E (resp. f_x ∈E) tel quee_x? x=x(resp. x ? f_x =x).

(b) Si x, y ∈E, montrer que e_x =e_y (noté edorénavant) et f_x =f_y (notéf dorénavant).

(c) Montrer que e =f (noté e dorénavant).

(d) Montrer que pour tout x ∈ E, il existe un unique élément x¯ ∈ E (resp. x¯¯ ∈ E) tel quex ? x¯ =e (resp. x ?x¯¯=e).

(e) Montrer que x¯= ¯x¯. (f) Conclure.

Exercice 1330 Si K est un sous-groupe de H et H un sous-groupe de G, montrer que K est un sous-groupe de G.

Exercice 1331 1. Soit (G, .) un groupe. Montrer l'équivalence de : i)G est abélien.

ii) Pour tout a, b∈G, on a : (ab)² =a²b². iii) Pour tout a, b∈G, on a : (ab)⁻¹ =a⁻¹b⁻¹.

iv) L'application f de G dans Gdénie par f(x) =x⁻¹ est un automorphisme.

2. En déduire que si pour tout x∈G, x² =e, alors Gest abélien.

Exercice 1332 1. Les ensembles N,Z,R,R₊,R^∗₊,C,C^∗ munis des lois + ou × sont-ils des groupes ? Quand c'est le cas, chercher des sous-groupes non triviaux.

2. {x∈R7→ax+b :a∈R\ {0}, b ∈R}muni de la loi de composition des applications est-il un groupe ?

Exercice 1333 Quel est le plus petit sous-groupe de (R,+) (resp. de (R^∗,×)) contenant 1 ? Contenant 2 ?

Exercice 1334 Soit λ ∈ C xé. Montrer que S_λ = {exp(iλt) : t ∈ R} est un sous-groupe de (C,×). Pour quelles valeurs de λ retrouve-t-on des sous-groupes bien connus ? A quoi res-semblent les courbes S_λ? Que peut-on dire, en terme de morphisme, de l'application t 7→

exp(iλt)?