Universit´e Libre de Bruxelles Examen de INFO-F-205 Calcul Num´erique
le 19 ao ˆut 2015
M. Jansen
N’oubliez surtout pas:
• d’utiliser unefeuille diff´erentepour chaque question
• de soumettre, pour chaque question, exactement une (pas deux, ni z´ero) feuille, avec votre nom, mˆeme si vous ne r´epondez pas `a la question
• de noter votre nom sur toutes les feuilles
• d’´ecrire lisiblement
• de justifier de mani`ereclaire et succintetous vos raisonnements et calculs.
R´epartition des notes
Projet Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Total
2 4 4 4 3 1+2 20
Question 1: Conditionnement et stabilit´e
Est-ce que l’´evaluationF(d)est bien conditionn´ee pour les pointsdet les fonctions F(d)dans les quatre graphiques suivants? Choisir l’une des possibilit´es suivantes
1. le conditionnement (relatif) est bon 2. le conditionnement (relatif) est mauvais
3. le graphique ne permet pas de tirer une conclusion
Si possible, donner la valeur num´erique du conditionnement relatif. Les tirets repr´esentent la tangente au graphe deF(d)end(le point concern´e)
d F(d)
d=0 d=0
F(d)
d
corrig´e
• κ(d) = 1; le conditionnement est bon.
• κ(d) = 1; le conditionnement est bon.
• κ(d) = 0; le conditionnement est bon.
• κ(d) =∞; le conditionnement est mauvais.
1
Question 2: Syst`emes non-lin´eaires
Consid´erer la fonctionf(x) = xe−x2/2−c, o`uc = 0,2 = 1/5, sur l’intervalle [0,∞[. L’objectif est de trouver toutes les racinesx∗ ∈[0,1].
1. Sachant que la d´eriv´eef′(x) = (1−x2)e−x2/2 n’a qu’une seule racine sur [0,∞[, montrer que le nombre de racines est ´egale `a deux.
2. Montrer que l’it´erationx(i+1) =φ(x(i))avecφ(x) =cex2/2est consistante.
3. En utilisant
• la continuit´e deφ(x)
• la positivit´e deφ′(x), ainsi que son allure monotonement croissante argumenter que l’it´eration converge autour de la racine la plus petite et di- verge autour de la racine plus grande.
4. Trouver une fonction d’it´eration qui converge vers la racine la plus grande.
(Plusieures pistes ´etant possibles, une piste pourrait se baser sur le fait que pourx≥1,|f′(x)| ≤ |f′(√
3)|.) corrig´e
1. f′(x) = 0 ⇔ x = 1 et f(1) = e−1/2 −c > 0. De l’autre cˆot´e, on a f(0) =−c < 0ainsi quelimx→∞f(x) = −c < 0. La continuit´e def(x) permet de conclure l’existence de deux racines, dont l’une se trouve dans l’intervalle[0,1], alors que l’autre se situe au del`a de la valeur1.
2. φ(x) =x⇔cex2/2=x⇔xe−x2/2=c⇔f(x) = 0
3. L’it´eration converge localement si |φ′(x)| <1dans voisinage du point fixe deφ(x). La d´eriv´ee, ´etant positive, est une fonction croissante, donc, siφ′(x)
´etait inf´erieure `a 1 dans le second point fixe, elle le serait n´ecessairement aussi dans le premier point. Puisqu’il est impossible qu’une courble con- tinue croise la droite d’identit´e (doncφ(x) = x) sous une pente inf´erieure
`a une (φ′(x) <1) deux fois successives, il s’ensuit que|φ′(x)| >1dans le second point fixe. De l’autre cˆot´e, il est ´egalement impossible qu’une fonc- tion montanteφ(x)a deux intersections successives avec la droite d’identit´e sous une pente plus forte que 1.
4. On est `a la recherche d’une fonctionφ(x)telle que|φ′(x)|soit inf´erieure `a 1. Par exemple, on peur proposer uneφ(x)sous la formeφ(x) =x+Af(x) (voir slides). Alors φ′(x) = 1 +Af′(x). Puisque f′(x) ≥ f′(√
3) = (1−3)e−3/2 =−2e−3/2 =−0.446, on peut prendreA= 1.
Question 3: Interpolation
Donner deux r´esultats qui confirment l’importance de la r´epartition des noeuds dans une interpolation polynomiale. Identifier dans les deux r´esulats les facteurs qui d´ependent de la r´epartition? Quelle sont les propri´et´es num´eriques expliqu´ees par chacun des r´esultats?
2
corrig´e
1. L’erreur de l’interpolation(erreur d’approximation - convergence)
En(x) = f(n+1)(ξ)
(n+ 1)! ωn+1(x)
L’erreur de l’interpolation d´epend de la r´epartition des noeuds `a travers le polynˆome nodalωn+1(x).
2. L’erreur de propagation, le conditionnement kπn−πˆnk∞
kπnk∞ ≤Λnkδk∞
kfk∞ o`uΛn=k
n
X
i=0
|li(x)|k∞
Le conditionnement d´epend de la r´epartition des noeuds par les polynˆomes de Lagrangeli(x).
Question 4: Syst`emes lin´eaires
Soit donn´ee la matriceA=
1 2 3 0 4 5 0 0 6
.
1. Est-ce que la m´ethode de Jacobi converge pour cette matrice?
2. R´ep´eter l’exercice pour la m´ethode de Gauss-Seidel.
3. Est-ce que c’est une bonne id´ee d’utiliser une m´ethode it´erative pour la r´esolution du syst`eme Ax = b o`u A est une matrice avec la structure de l’exemple ci-dessus etbest un vecteur quelconque?
corrig´e 1. BJ =
0 −2 −3 0 0 −5/4
0 0 0
dont le spectre estdet(BJ−λI) = 0⇔λ3 = 0.
Le spectre a une racine tripleλ= 0. Les it´erations convergeront.
2. Pour Gauss-Seidel, on trouveBGS= (D−E)−1Fc-`a-d.:BGS =
0 −2 −3 0 0 −5/4
0 0 0
= BJ Les it´erations convergeront.
3. Non, la matriceAest une matrice triangulaire: sa r´esolution par une m´ethode directe ne comprend queO(n)op´erations `a virgule flottante pour les substi- tutions.
4. Remarque(r´eponse alternative) On peut v´erifier que les m´ethodes de Gauss- Seidel et Jacobi convergeront toujours pour une matrice triangulaire sup´erieure:
en effet, apr`es une it´eration, le dernier ´el´ement de x(1) est correct. Apr`es deux ´etapes, le dernier et l’avant-dernier composant de x(2) sont corrects, etc. Evidemment, une grande partie des calculs interm´ediares sont assez inu- tiles, puisqu’il suffit de parcourir les lignes de la matrice au sens r´etrograde dans un algorithme de substitution.
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Question 5: g´en´eralit´es
1. Quel est l’avantage principal des splines, en comparaison `a l’usage des polynˆomes, dans une interpolation?
2. Donner deux exemples de fonctions qui se manifestent comme des vecteurs dans une base vectorielle.
corrig´e
1. L’interpolation par splines permet d’ajouter des noeuds sans devoir aug- menter le degr´e du polynˆome. Ceci ´evite les fluctuations/oscillations.
2. Les polynˆomes de Lagrange et les fonctionsφi(x)utilis´ees dans une r´egression lin´eaire.
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