Examen de INFO-F-205, Calcul Num´erique le 30 mai 2016

Universit´e libre de Bruxelles

Examen de INFO-F-205, Calcul Num´erique le 30 mai 2016

M. Jansen

N’oubliez surtout pas:

• d’utiliser unefeuille diff´erentepour chaque question

• de soumettre, pour chaque question, exactement une (pas deux, ni z´ero) feuille, avec votre nom et matricule, mˆeme si vous ne r´epondez pas `a la question

• de noter votrenometmatriculesur toutes les feuilles

• d’´ecrire lisiblement

• de justifier de mani`ereclaire et succintetous vos raisonnements et calculs.

R´epartition des notes

Projet Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Total

2 3 4 4 7 20

Question 1: Repr´esentation en machine

Consid´erer un instrument de mesure d’une variable r´eelle et positivexqui utilise un syst`eme de repr´esentation

`a virgule flottante en baseb= 2. On impose que l’instrument soit capable d’identifier le nombre10⁻¹⁰comme

´etant non-nul et le nombre 10⁸ comme un nombre fini. L’´ecart relatif entre deux nombres repr´esent´es ne peut pas d´epasser10⁻⁵.

Calculer le nombre minimal de chiffres (bits) pour cet instrument de mesure.

corrig´e

(Comparer avec Q1 de l’examen de juin 2014) On a

1. b^L= 2^L≤10⁻¹⁰⇒L≤log₂10⁻¹⁰=−33,2 2. b^U = 2^U ≥10⁸⇒U ≥log₂10⁸= 26,6 3. ǫ=b^1−t≤10⁻⁵ ⇒t≥1−log₂ 10⁻⁵= 17,6

Le premier bit ´etant toujours ´egal `a 1, il nous faut donc 18-1=17 bits pour la mantisse. Pour l’exposant, il faut couvrir l’intervalle[−34,27], ce qui nous am`ene `a 27+34+1=62 valeurs uniques, `a repr´esenter par 6 bits.

Toutes les valeurs dex ´etant positives, il n’y pas de signe `a encoder. En total, on a donc besoin de 17+6 = 23 bits pour repr´esenter la variablex.

Question 2: ´equations diff´erentielles

Consid´erer le probl`eme aux valeurs initiales y^′ = q

|y|avec y(0) = y0.Quand y0 6= 0, la solution unique autour det= 0est donn´ee par

y(t) = sign(y₀)(t+c)²/4,

o`u sign(x) repr´esente le signe d’un r´eel x et c = 2sign(y₀)^p|y₀|. Quand y₀ = 0, l’´equation admet deux solutions, notammenty(t) =t²/4ety(t) = 0.

1. La fonctionf(t, y)dans la formey^′ =f(t, y), v´erifie-t-elle la condition Lipschitz? Que pouvez-vous en conclure au niveau de l’existance et de l’unicit´e de la solution?

2. Poury₀ = 1et un pas deh= 0,1, effectuer 3 ´etapes de la m´ethode de Euler explicite (ou progressive).

Comparer avec la valeur th´eoriquey(t₃)o`ut₃=t₀+ 3h= 0,3.

1

3. Ecrire (sans effectuer) l’it´eration pour la m´ethode de Euler implicte (ou r´etrograde).

4. Qu’est-ce que la th´eorie pr´edit par rapport `a la convergence de la m´ethode de Euler explicite pour un pas inf´enitisimal pour les valeurs initialesy₀ = 1ety₀= 0?

corrig´e

Remarque: d´emonstration de la solution de l’EDO

y^′(t) =^q|y(t)| ⇔ |y(t)|^−1/2y^′(t) = 1⇔^h|y(t)|^1/2i′ = 1/2⇔ |y(t)|^1/2 = (t+c)/2

⇔ |y(t)|= (t+c)²/4⇔y(t) =±(t+c)²/4

Quand y(0) = y₀ 6= 0, il n’y a une solution qui passe par y(0), notamment celle donn´ee par y(t) = sign(y(0))(t+c)²/4.La constantecsuit de

y(0) = sign(y(0))(0 +c)²/4⇔c²= 4y(0)/sign(y(0)) = 4|y(0)| ⇔c=±2 q

|y₀| Le signe decsuit de la condition quey^′(0) =^p|y₀| ≥0.

1. En ´ecrivant l’´equation diff´erentielle sous la forme g´en´erale_p y^′ = f(t, y), on peut identifier f(t, y) =

|y|. La fonctionf(t, y)ne v´erifie pas la condition Lipschitz eny= 0, donnant ainsi lieu `a la possibilit´e d’une solution multiple.

2. Euler, explicite:y(tb _n+1) =y(tb _n) +hf(t_n,y(tb _n)) Ici:y(t_{b n+1}) =y(t_{b n}) +h^p|y(t_n)|

On a

y(0) = 1

y(0,b 1) = 1 + 0,1·√

1 = 1,1 b

y(0,2) = 1,1 + 0,1·√

1,1 = 1,2049 b

y(0,3) = 1,2032 + 0,1·√

1,2032 = 1,3146

En revanche,y(0,3) = sign(y(0))(0,3 +c)²/4, o`uc= 2sign(y₀)^p|y₀|= 2, doncy(0,3) = 2,3²/4 = 1,3225.

3. Euler, implicite/r´etrograde: y(t_{b n+1}) =y(t_{b n}) +hf(t_n+1,y(t_{b n+1})) Ici:y(tb _n+1) =y(tb _n) +h^p|y(t_n+1)|

4. La m´ethode de Euler explicite converge quand la fonction d’incr´ementΦ(t, y)v´erifie la condition Lips- chitz par rapport `a la variabley. La condition est v´erifie eny = 1, mais pas eny = 0. Ceci veut dire que la convergence n’est pas garantie (ni exclue) quandy₀= 0.

Question 3: syst`emes surd´etermin´es Soit la matrice

R=





 1 2 0 3 0 0 0 0







1. Argumenter que la pseudo-inverse deRest donn´ee par R^†=

"

1 −2/3 0 0 0 1/3 0 0

#

Vous pouvez vous baser surRR^†=







1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0





etR^†R=

"

1 0 0 1

#

2. Etant donn´e le vecteur~b= [1 2 3 4]^T, trouver le vecteur~xavec la norme minimale parmi les vecteurs qui minimisent la norme du r´esidukR~x−~bk².

2

3. Est-ce qu’il existe d’autres vecteurs ~x^′ qui minimisent ´egalement la norme du r´esidu, sans avoir, lui- mˆeme, la norme minimale.

4. Soit donn´ee la matrice orthogonale

Q=







√2/2 0 1/2 1/2

−√

2/2 0 1/2 1/2

0 √

2/2 −1/2 1/2 0 −√

2/2 −1/2 1/2





,

etA=QR.

Alors, trouver le vecteur~uavec la norme minimale parmi les vecteurs qui minimisent la norme du r´esidu kA~u−~bk2.

corrig´e

1. Une strat´egie possible est de v´erifier les 4 propri´et´es d´efinissantes. On a RR^†R = R, R^†RR^† = R^†, RR^†etR^†Rsont sym´etriques.

2. ~x=R^†~b=

"

−1/3 2/3

#

3. Il n’y a pas d’autres vecteurs qui minimisent la norme du r´esidu, car la matriceRa le rang maximal.

4. La norme

kA~u−~bk2 =kQR~u−~bk2 =kQ^T(QR~u−~b)k2 =kR~u−Q^T~bk2

est minimis´ee par

~u=R^†Q^T~b=

"

1 −2/3 0 1/3

# "

−√ 2/2

−√ 2/2

#

=

"

−√ 2/6

−√ 2/6

#

=

"

−0,2357

−0,2357

#

Question 4: Syst`emes non-lin´eaires

φ(x) y=2x*−x

x y=x f(x)

Consid´erer l’´equation non-lin´eairex= 2 cos(x²)sur l’intervalle[−2,2]. L’objectif est de trouver la racine x^∗∈[−2,2]. Le graphique illustre la m´ethode de la corde sur[−2,2], trac¸ant la fonction d’it´erationφ(x).

1. Donner les expressions def(x)et deφ(x).

2. En se basant sur le graphique, comment peut-on conclure que la m´ethode de la corde ne convergera pas pour ce probl`eme?

3. Donner la formule qui exprime la phrase suivante: “la m´ethode de la corde ne convergera pas quand la pente locale autour de la racine est relativement raide”.

4. Expliquer la phrase suivante: “Trouver la racine d’une fonction `a pente raide est un probl`eme facile du point de vue num´erique (l’´echec de la m´ethode de la corde pour cette classe de probl`emes est donc un point faible)”.

5. Montrer que toute fonction d’it´erationφ_c(x) =cx+ (1−c)φ(x)(pourc6= 1) donne lieu `a une it´eration consistante.

6. Effectuer quatre fois l’it´erationφ_c(x)pourc= 0,8`a partir dex₀= 1.

7. Evaluer la d´eriv´eeφ^′_c(x) et en tirer la conclusion par rapport `a la convergence locale: convergence ou divergence? Spirale ou escalier?

3

corrig´e

1. La fonction dont il faut trouver la racine est f(x) = x −2 cos(x²). φ(x) = x − _f(b)−f(a)^b−a f(x) = x− ⁴4(x−2 cos(x²)) = 2 cos(x²)

2. L’it´eration ne convergera pas parce que la d´eriv´e de φ(x) dans le point fixe est plus grande que 1 (La fonctionφ(x)croise la fonction identique avec une pente plus raide que 1)

3. L’it´eration de la corde convergera quand

0< b−a

f(b)−f(a)f^′(x^∗)<2

Icif^′(x^∗)repr´esente la pente locale, alors que ^f(b)−f(a)_b−a est la pente moyenne sur l’intervalle.

NB: Comparer avec la m´ethode de Newton-Raphson:

φ^′(x) = f(x)f^′′(x) [f^′(x)]² ,

qui convergera quand[f^′(x)]²est grande (en proporion des valeurs def(x)etf^′′(x)).

4. Trouver une racine dans laquelle la pente de la fonction est forte, est un probl`eme bien conditionn´e.

5. φ_c(x) =x⇔cx+ (1−c)φ(x) =x⇔(c−1) [x−φ(x)] = 0⇔x=φ(x) 6. On a

x0 = 1

x₁ = 0,8·1 + 0,2·2 cos(1) = 1,0161

x₂ = 0,8·1,0161 + 0,2·2 cos(1,0161²) = 1,0180 x₃ = 0,8·1,0180 + 0,2·2 cos(1,0180²) = 1,0182 x₄ = 0,8·1,0182 + 0,2·2 cos(1,0182²) = 1,0182

7. φ^′_c(x) = c+ (1−c)φ^′(x) = c−4(1−c)xsin(x²) = 0,0989 La d´eriv´ee est positive mais inf´erieure

`a 1, l’it´eration converge sous forme d’un escalier, ce qui est confirm´e par les r´esultats num´eriques de la question pr´ec´edente.

4