Universit´e libre de Bruxelles
Examen de INFO-F-205, Calcul Num´erique le 25 ao ˆut 2016
M. Jansen
N’oubliez surtout pas:
• d’utiliser unefeuille diff´erentepour chaque question
• de soumettre, pour chaque question, exactement une (pas deux, ni z´ero) feuille, avec votre nom et matricule, mˆeme si vous ne r´epondez pas `a la question
• de noter votrenometmatriculesur toutes les feuilles
• d’´ecrire lisiblement
• de justifier de mani`ereclaire et succintetous vos raisonnements et calculs.
R´epartition des notes
Projet Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Total
2 3 4 5 6 20
Question 1: syst`emes surd´etermin´es
Consid´erer les observations suivantes xi 0 1 2 yi 1 2 3
1. Trouvez toutes les valeurs possibles des coefficients c0 etc1 de la fonction f1(x) =c0+c1cos(πx), minimisant la somme des carr´ees des r´esidus.
2. Trouvez toutes les valeurs possibles des coefficientsc0,c1etc2de la fonction f2(x) =c0+c1cos(πx) +c2sin(πx), minimisant la somme des carr´ees des r´esidus.
corrig´e
1. Le syst`eme surd´etermin´e est:
1 1
1 −1
1 1
"
c0 c1
#
=
1 2 3
Equation normale:ATA=
"
3 1 1 3
#
ATb=
"
6 2
#
Solution:~c=
"
2 0
#
2. Le syst`eme surd´etermin´e est:
1 1 0 1 −1 0 1 1 0
c0 c1 c2
=
1 2 3
Equation normale:ATA=
3 1 0 1 3 0 0 0 0
ATb=
6 2 0
Solution:~c=
2 0 r
,o`ur ∈Rquelconque.
1
Question 2: Conditionnement et stabilit´e
Consid´erer la fonction (= le probl`eme)F(d) =d2−a2 pourd∈[−2a,2a].
1. Discuter le conditionnement du probl`eme.
2. Expliquer que la forme ´equivalenteF(d) = (d−a)(d+a)est pr´ef´erable du point de vue de la stabilit´e. (L’explication peut ˆetre formelle ou informelle).
corrig´e
1. κ(d) =FF′(d)·(d)d=(d2d2−·da2)→ ∞pourd→ ±a. Le probl`eme est mal con- ditionn´e pourdautour de±aet bien conditionn´e dans le reste de l’intervalle.
2. Pour l’analyse de la stabilit´e, nous supposons que les donn´ees soient repr´esent´ees en machine de mani`ere exacte.
• Analyse informelle
Dans la forme(d−a)(d+a), la soustraction des deux nombres proches si situe au d´ebut, avec deux nombres pas entˆach´es d’erreurs de g´en´eration.
Dans la formed2−a2, par contre, la soustraction se trouve `a la fin des calculs et les op´erandes sont entˆach´es d’erreurs de g´en´eration (lors des calculs des carr´es).
• Formellement
La forme(d−a)(d+a)g´en`erera trois arrondi: lors de la soustraction, lors de l’addition et enfin, lors de la multiplication. En n´egligeant les termes d’ordre sup´erieur, nous obtenonsF(d) = [(d−a)(1 +ρ1)(d+ a)(1+ρ2)](1+ρ3)≈F(d)(1+ρ1+ρ2+ρ3),un r´esultat qui s’interpr`ete ainsi: l’erreur de g´en´eration n’est qu’une simple somme des erreurs d’arrondi.
NB.:On peut aussi ´ecrire (pour compl´eter) F(d)F−(d)F(d) ≈ ρ1+ρ2+ρ3 L’erreur de g´en´eration de d´epend pas ded.
La formed2 −a2 a pour effet (en premier ordre): F(d) = [d2(1 + ρ1) −a2(1 +ρ2)](1 +ρ3) ≈ F(d) + (ρ1 +ρ3)d2 −(ρ2 +ρ3)a2, et donc F(d)−F(d)F(d) ≈ (ρ1+ρ3)dd22−(ρ2+ρ3)a2
−a2 ce qui pointe vers un souci d’instabilit´e pour des valeurs dedautour deaou−a.
Question 3: Syst`emes lin´eaires, m´ethodes it´eratives
Soit~x∗ =
1 2 3
la solution du syst`emeA~x=~b, o`uA=
5 1 9 1 3 9 1 0 2
et~b=
34 34 7
. 1. Trouver la matrice d’it´eration,BJ de la m´ethode de Jacobi.
2. Sp´ecifier les matrices (D−E)etF dans le produitBGS = (D−E)−1F.
(o`u GS = Gauss-Seidel)
3. Soient BJ et BGSles variables en matlab repr´esentant les matrices BJ et BGS. Voici deux commandes et les r´eponses de Matlab:
>> eig(BGS) ans =
0
0.4833 + 0.2577i 0.4833 - 0.2577i
>> eig(BJ) ans =
-1.1120 0.7543 0.3577
Utiliser ces r´esultats pour associer les graphiques (gauche) et (droite) ci- dessous aux deux it´erations: quel graphique correspond `a Jacobi et quel `a
2
Gauss-Seidel?
0 10 20 30 40
1 2 3
k, le nombre d’it.
log10(||x(k)−x*||
2)
0 10 20 30 40
−10.0
−8.0
−6.0
−4.0
−2.0
0.0 k, le nombre d’it.
4. Apr`es 40 it´erations, on retrouve, dans le cas de Gauss-Seidel
~x(40)−~x∗= 10a
0,4193 0,6825
−0,2096
Trouver l’exposanta(en utilisant les graphiques; pas de calcul).
5. Avec A =
5 1 9 1 0 9 1 0 2
(c’est-`a-dire, en remplac¸antA2,2 = 3 parA2,2 = 0), l’it´eration de Jacobi crash, parce que la matrice d’it´eration contient des
´el´ements infinis. D’o`u viennent ces infinis et comment rem´edier?
corrig´e
1. BJ =D−1(D−A) =
5 0 0 0 3 0 0 0 2
−1
0 −1 −9
−1 0 −9
−1 0 0
=
0 −1/5 −9/5
−1/3 0 −3
−1/2 0 0
2. BGS = (D−E)−1F =
5 0 0 1 3 0 1 0 2
−1
0 −1 −9 0 0 −9
0 0 0
3. Le graphique `a gauche correspond `a Jacobi, le graphique `a droite corre- spond `a Gauss-Seidel. En effet, l’it´eration `a gauche ne converge pas, car log10(k~x(k) −~x∗k2 tend vers l’infini. La divergence est due `a une valeur propre absolument plus grand que 1.
4. a = −9, car log10(k~x(40) −~x∗k2 est proche de −9 (voir le graphique `a droite).
5. L’origine des probl`emes si situe dans le z´ero sur la diagonale, qui a pour cons´equent que la matriceDest singuli`ere. On peut r´esoudre la situation en pivotant deux lignes.
Question 4: Syst`emes non-lin´eaires
Consid´erer la fonction h(x) = x[5 + cos(2 log(x)) + 2 sin(2 log(x))]/5, pour x∈ R+et sa d´eriv´eeh′(x) = 2 cos2(log(x)) = cos(2 log(x)) + 1(ici,log(u) = ln(u) repr´esente le logarithme naturel/n´ep´erien). La question est de trouver la racinex∗de la fonctionf(x) =h(x)−cpourc∈Rquelconque.
1. Argumenter quex∗est unique.
2. Expliquer que la m´ethode de Newton-Raphson ne peut pas converger glob- alement, suite `a des points d’annulation def′(x) =h′(x).
3
3. Consid´erer la fonction d’it´eration φ(x) = αf(x) +x, dans une it´eration de point fixe. L’it´eration est consistante pour toute valeur d’α(on ne demande pas de montrer la consistance). Montrer queα=−1est la seule valeur pour laquelle l’it´eration converge globalement.
4. Pour c = 1, on peut v´erifier que la racinex∗ se situe autour dex∗ ≈ 0,9.
La convergence des it´erationsφ(x) = x−f(x), sera-t-elle lente ou rapide, sous forme d’une spirale ou d’un escalier?
5. Ecrire la valeur d’α qui correspond `a la m´ethode de la corde sur l’intervalle [a, b].
6. Expliquer que la m´ethode de Newton-Raphson ne peut pas ˆetre ´ecrite sous la formeφ(x) =αf(x) +x.
corrig´e
1. La d´eriv´ee ´etant positive partout, on ne peut pas avoir deux racines
2. La fonction d’it´eration ´etant ´egale `aφ(x) = x−f(x)/f′(x), celle-ci tend vers l’infini quandf′(x)s’annule (sauf si, exceptionellement,f(x)s’annule en mˆeme temps). Une it´eration qui passe par l’infini ne peut pas converger (autrement dit, la d´eriv´eeφ′(x), d´epassera la valeur absolue de 1).
3. Il faut que|φ′(x)|<1, pour toute valeur dex(convergence globale). Cette condition revient `a|1+αf′(x)|<1⇔ |1+αh′(x)|<1. Sachant queh′(x) fluctue entre 0 et 2, la seule valeur d’α qui fait fluctuerφ′(x)entre−1et1 est deα=−1.
4. φ′(x∗) = 1−f′(x∗) = 1−h′(x∗) = 1−2 cos2(log(x∗))≈1−2 cos2(log(0,9)) =
−0,9779Cette valeur ´etant n´egative, la convergence prendra la forme d’une spirale. La valeur ´etant proche de−1, la convergence sera tr`es lente.
5. Remarque
La m´ethode de la corde est `a cheval entre les m´ethodes lin´earis´esx(k+1) = x(k) −q−1k f(x(k)) et les m´ethodes de point fixe, x(k+1) = φ(x(k)). Les m´ethodes `a cheval entre les deux se caract´erisent par une valeur constante de qk. La forme φ(x) = x+αf(x) revient `a une m´ethode lin´earis´ee o`u qk=−1/α.
R´eponse
On a pour la m´ethode de la corde
α=−1/qk=− b−a f(b)−f(a)
6. La m´ethode de Newton-Raphson utilise, outre la fonction f(x), la d´eriv´ee f′(x). Par cons´equent, elle n’est pas une m´ethode de point fixe de la forme φ(x) =αf(x) +x(elle est bien une m´ethode de point fixe).
4
