Universit´e libre de Bruxelles Examen de INFO-F-205, Calcul Num´erique le 6 juin 2017 M. Jansen N’oubliez surtout pas:

Universit´e libre de Bruxelles

Examen de INFO-F-205, Calcul Num´erique le 6 juin 2017

M. Jansen

N’oubliez surtout pas:

• d’utiliser unefeuille diff´erentepour chaque question

• de soumettre, pour chaque question, exactement une (pas deux, ni z´ero) feuille, avec votre nom et matricule, mˆeme si vous ne r´epondez pas `a la question

• de noter votrenometmatriculesur toutes les feuilles

• d’´ecrire lisiblement

• de justifier de mani`ereclaire et succintetous vos raisonnements et calculs.

R´epartition des notes

Projet Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Total

2 3 4 2+3 1+1+1(+1) 2+1 20(+1)

Question 1: Repr´esentation en machine

Consid´erer une machine ´equip´ee d’une repr´esentation `a virgule flottante en base b = 2 et t = 10 chiffres significatifs. Soient dun r´eel born´e dans l’intervalle [17000,18000]etaun nombre en^F(b, t, L, U)∩[15000,16000]. Calculer l’erreur relative maximale du r´esultat dex=d−a? On peut supposer queUest suffisament grand pour que le domaine[realmin,realmax]couvre[15000,18000].

corrig´e

Le conditionnement d’une soustraction est donn´ee par κx(d) = d

d−a,

Le conditionnement est maximal pour l’´ecart d−aminimal et, ensuite, pour d minimal,

κx(d)≤ 17000 1000 = 17,

et donc, puisque le conditionnement, par d´efinition, repr´esente la croissance maxi- male de l’erreur relative,

|δx|

|x| ≤κ^x(d)|δd|

|d| =κ^x(d)εd≤κ^x(d)ǫ

2 =κ^x(d)b^1−t

2 = 17·2⁻⁹/2 = 0,0166

Question 2: Equations diff´erentielles Consid´erer le probl`eme aux valeurs initiales

y^′(t) =−4t³·y(t)avecy(0) = 1.

1

1. V´erifier quey(t) = exp(−t⁴)est une solution du probl`eme.

2. Ecrire la formule de l’it´eration pour la m´ethode d’Euler progressive (ou ex- plicite). Effectuer deux ´etapes avec un pas deh= 0,2.

3. Ecrire la formule de l’it´eration pour la m´ethode d’Euler r´etrograde (ou im- plicite). Effectuer deux ´etapes avec un pas deh= 0,2.

4. Les graphiques ci-dessus repr´esentent en tiret la fonctiony(t). Les solides pointill´es repr´esentent la sorties des m´ethodes d’Euler `a un pas deh= 0,2.

1 2 3

0 1

1 2 3

0 1

(voir au verso...) Comment ce graphique illustre-t-il le b´en´efice d’une m´ethode r´etrograde?

Quelle figure correspond `a la methode r´etrograde (gauche ou droite)? Nom- mer le b´en´efice.

corrig´e

1. y^′(t) = dt^d exp(−t⁴) = exp(−t⁴)·^d(−dtt4) =y(t)·(−4t³) 2. Euler progressif, en g´en´eral:

ybn+1 =y_bn+h·f(tn,y_bn).

Ici:

ybⁿ₊₁ =y_bⁿ+h(−4t³n·ybⁿ)d’o`u vienty_bⁿ₊₁ = (1−4ht³n)y_bⁿ 3. Euler r´etrograde, en g´en´eral:

b

yⁿ+1 =ybⁿ+h·f(tⁿ+1,ybⁿ+1).

Ici:

ybn+1 =y_bn+h(−4t³n+1·ybn+1)d’o`u vienty_bn+1=y_bn/(1 + 4ht³n+1).

4. La m´ethode r´etrograde est absolument stable pourh = 0,2. Il s’agit du graphique `a gauche. Pour un pas deh= 0,2, la m´ethode progressive

Question 3: syst`emes surd´etermin´es 1. Consid´erer la matrice carr´ee

Q=





√1 3

√1 3

√1 3

−^√1₂ 0 √¹ 2

q1 q2 q3





Ecrire les trois ´equations (deux lin´eaires, une non-lin´eaire) enq₁, q₂, q₃, ex- primant l’orthogonalit´e deQ.

2. Une solution des trois ´equations ´etant donn´ee par q₁ = −1/√

6 = q₃, q₂ = 2/√

6, trouver la solution au sens des moindres carr´es du syst`eme surd´etermin´eA~x=~b, o`u

~b=



 1 0 0



 etA=QRo`uR=



 3 4 0 1 0 0





2

corrig´e 1.







√1

3(q₁+q₂+q₃) = 0

−^√1₂q₁+ √¹

2q₃= 0 q₁²+q₂²+q₃²= 1

2. En utilisant l’orthogonalit´e de Q, on a kA~x−~bk² = kQR~x −~bk² = kQ^T(QR~x−~b)k2 = kR~x−Q^T~bk2 Ici, Q^T~b = ^√1

3



 1 1 1



 La trois`eme

composante deR~xs’annule, quelque soit la composante correspondante au second membreQ^T~b. La minimisation n’a donc aucun effet au niveau de la troisi`eme ligne. Il nous reste de r´esoudre les deux premi`ere lignes du syst`eme, ce qui nous amm`ene `a

~x^∗= 1

√3

"

1

−1/2

#

Question 4: Syst`emes non-lin´eaires

Consid´erer la fonctionf(x) = exp(−x²/2)−1/3, dont la d´eriv´ee est donn´ee par f^′(x) =−xexp(−x²/2). On est `a la recherche d’une racine sur l’intervalle[1,2].

1. Argumenter que la racine existe et qu’elle est unique.

2. On peut d´emontrer (la d´emontstration ne fait pas partie de l’´enonc´e) que pour x ∈ [1,2] la d´eriv´ee est comprise entre −0,61 < f^′(x) < −0,27.

En se basant sur ce r´esultat, qu’est-ce qu’on peut dire sur la convergence de la m´ethode de point fixe avec la fonction d’it´erationφ(x) = x+f(x):

convergence ou divergence, globale ou locale, escalier ou spirale?

3. Expliquer: quand une it´eration converge sous forme d’un escalier sur tout l’intervalle[x₁, x₂], c’est une bonne id´ee de lancer deux it´erations: l’une en x₁, l’autre enx₂.

4. Question bonus (un point `a gagner, rien `a perdre): trouver toutes les valeurs αtelles queφ(x) = x+αf(x)converge globalement sur[1,2]sous forme d’une spirale.

corrig´e

1. L’existance suit des observations f(1)> 0etf(2)< 0, alors quef(x)est continue. L’unicit´e suit du fait quef^′(x)<0sur tout l’intervalle.

Remarque: dans ce cas-ci, une strat´egie possible consiste de chercher une expression explicite pour toutes les racines:

f(x) = 0⇔exp(−x²/2) = 1/3⇔x² =−2 ln(1/3) = 2 ln(3)⇔x=±^q2 ln(3), pour constater alors qu’une seule racine se trouve dans l’intervalle[1,2].

Cette strat´egie, peu r´ealiste dans la pratique (parce qu’une expression ex- plicite n’est pas disponible quand on fait appel `a une m´ethode num´erique), n’´etait pas pr´evue lors de la r´edaction de l’examen, mais ´etant donn´e qu’elle est correcte, elle n’est pas sanctionn´ee.

3

2. φ^′(x) = 1 +f^′(x) ⇒ 1−0,61 < φ^′(x) < 1−0,27 ⇒ 0 < φ^′(x) <1 Convergence globale sous forme d’un escalier.

3. L’application de deux it´erations en mˆeme temps permet de maintenir un borne sup´erieure et une borne inf´erieure pour la racine inconnue. L’´evolution de ces deux bornes nous apporte une id´ee du taux de convergence.

4. −1 < φ^′(x)<0⇔ −1< αf^′(x) + 1<0⇔ −2< αf^′(x)<−1⇔1<

α(−f^′(x))<2

Puisquef^′(x)<0⇒ −f^′(x) =|f^′(x)|, la condition pourαdevient 1/|f^′(x)|< α <2/|f^′(x)|

Sachant que−0,61 < f^′(x) < −0,27, une convergence globale n´ecessite que1/0,27 < αet, en mˆeme temps,α <2/0,61, ce qui aboutit `a3,70< α etα <3,27. L’ensemble de valeursαfavorable est donc le vide.

Question 5: divers

1. SoitAune matrice de taillen×n, qu’est-ce qui est calcul´e par la commande A\eye(n)

Quel est le rˆole et l’importance de la factorisation LU dans cette commande?

2. Quelle est l’importance de la factorisation spectrale, B = EΛE⁻¹, d’une matrice d’it´eration?

corrig´e

1. La ligne de matlab calculeA⁻¹·I =A⁻¹, en r´esolvant les syst`emesA~x=

~eⁱ, o`u les~e<sup>i</sup> repr´esentent les colonnes de la matrice d’identit´e (c’est-`a-dire, les vecteurs canoniques). L’implementation interne de Matlab se base sur la factorisation LU, ce qui permet de r´eutiliser la mˆeme factorisation pour tous les seconds membres.

2. La factorisation spectrale permet d’analyser la convergence d’une matrice d’it´eration consistante, car effectivementBⁿ=EΛE⁻¹·EΛE⁻¹. . . EΛE⁻¹= EΛⁿE⁻¹. La puissance d’une matrice diagonale Λⁿ se fait ´el´ement par

´el´ement. Quand tous les ´el´ements diagonaux sont en dessous de 1, la suite des puissances convergera vers 0.

4