Universit´e libre de Bruxelles

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Examen de INFO-F-205, Calcul Num´erique le 31 ao ˆut 2017

M. Jansen

N’oubliez surtout pas:

• d’utiliser unefeuille diff´erentepour chaque question

• de soumettre, pour chaque question, exactement une (pas deux, ni z´ero) feuille, avec votre nom et matricule, mˆeme si vous ne r´epondez pas `a la question

• de noter votrenometmatriculesur toutes les feuilles

• d’´ecrire lisiblement

• de justifier de mani`ereclaire et succintetous vos raisonnements et calculs.

R´epartition des notes

Projet Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Question 5 Total

2 2+3 2 3 3 5 20

Question 1: Conditionnement et stabilit´e

Consid´erer la fonction (= le probl`eme) F(d) = 1 −cos(d) pour d autour de l’origine.

1. Discuter le conditionnement du probl`eme.

2. Expliquer de mani`eres informelleetformelle que la forme ´equivalenteF(d) = 2 sin²(d/2)est pr´ef´erable du point de vue de la stabilit´e.

corrig´e

1. κ(d) =^F_F^′(d)·d_(d) =_1−cos(d)^sin(d)d Il y a plusieures pistes pour d´emontrer que le probl`eme est bien conditionn´e:

• En utilisant les d´ecompositions Taylorsin(d) ≈detcos(d)≈1−d²/2 on trouve

κ(d)≈d²/(d²/2) = 2.

• En utilisant l’expression alternative de l’´enonc´e et l’expressionsin(d) = 2 sin(d/2) cos(d/2), nous arrivons `a

κ(d) = 2 sin(d/2) cos(d/2)d

2 sin²(d/2) = ^cos(d/2)d_sin(d/2) ≈d/(d/2) = 2.

2. Pour l’analyse de la stabilit´e, nous supposons que les entr´ees soient repr´esent´ees en machine de mani`ere exacte.

• Analyse informelle

La forme2 sin²(d/2)ne comprend aucune op´eration instable, alors que l’expression1−cos(d)comprend une soustraction.

• Formellement

Pour la formeF(d) = 1−cos(d), on a

1

F(d) = [1−cos(d)(1 +ρ₁)] (1 +ρ₂)

= (1−cos(d))(1 +ρ₂)−cos(d)ρ₁(1 +ρ₂)

= F(d)(1 +ρ₂)−cos(d)ρ₁(1 +ρ₂)

≈ F(d)(1 +ρ₂)−cos(d)ρ₁

= F(d)1 +ρ₂−^cos(d)

F(d)ρ₁

= F(d)1 +ρ₂− ^cos(d)

1−cos(d)ρ₁

ce qui pose des probl`emes pour dproche de z´ero. Compte tenu du fait que la division ou la multiplication par deux consiste d’un sim- ple changement de la position de la virgule flottante, la formeF(d) = 2 sin²(d/2)est calcul´ee comme

F(d) = 2 [sin(d/2)(1 +ρ₁)]²(1 +ρ₂) = 2 sin²(d/2)(1 +ρ₁)²(1 +ρ₂)

= F(d)(1 + 2ρ₁+ρ²₁)(1 +ρ₂)

≈ F(d)(1 + 2ρ₁+ρ₂)

Du coup, la propagation des arrondisρ₁ (lors du calcul du sinus) etρ₂ (lors de du calcul du carr´e) est born´ee pour toute valeur ded.

Question 2: Syst`emes lin´eaires

Calculer les matricesLetUde la factorisation LU de la matriceA=

"

1 3 2 4

# en utilisant la m´ethode de Doolittle. La r´eponse doit comprendre une conclusion de la formeL=

"

x x x x

# etU =

"

x x x x

#

corrig´e

u₁₁ = a₁₁= 1 u₁₂ = a₁₂= 3

l₂₁ = a₂₁/u₁₁= 2/1 = 2 l₂₂ = a₂₂/u₁₁= 4/1 = 4

u₂₂ = a₂₂−l₂₁u₁₂= 4−2·3 =−2 On a doncU =

"

1 3 0 −2

#

L=

"

1 0 2 1

#

Question 3: Interpolation

Soitπ2(x) = 2x²−4x+5un polynˆome interpolant etω3(x) =x³−2x²−x+2 = (x−2)(x−1)(x+ 1)le polynˆome nodal associ´e.

1. Identifier les pointsx₀, x₁, x₂.

2. Trouver le polynˆome interpolant (sous formeanxⁿ+. . .+a2x²+a1x+a0) r´esultant de l’ajout du pointx₃ = 0, avecf(x₃) = 3.

3. Expliquer pourquoi les cas f(x₃) = 5etf(x₃) = 0 ne n´ecessitent aucun calcul.

corrig´e

1. x₀ = 2, x₁= 1, x₂ =−1(ou une permutation quelconque de ce triple) 2. π₃(x) =π₂(x)+^f(x3_ω^)−π2(x3)

3(x3) ω₃(x) = 2x²−4x+5+³⁻⁵₂ (x³−2x²−x+2) =

−x³+ 4x²−3x+ 3

3. Dans le cas o`uf(x<sub>3</sub>) = 5, on aπ<sub>2</sub>(x<sub>3</sub>) =f(x<sub>3</sub>), et doncπ<sub>3</sub>(x) =π<sub>2</sub>(x). Le cas o`uf(x₃) = 0est r´esolu en posantπ₃(x) =π₂(x)(x−x₃)

2

Question 4: Syst`emes non-lin´eaires

Soitf(x)une fonction dont la d´eriv´ee est trac´ee dans le graphique ci-dessous:

a c d b

0 1 2

f’(x)

On sait que la pente moyenne est ´egale `a 1, c’est-`a-dire, R_b

af^′(x)dx

b−a = f(b)−f(a) b−a = 1.

Sachant quef(a)<0etf(b)>0, on voudrait connaˆıtre la racineα∈[a, b]

1. Argumenter que dans ce cas-ci, il n’y a qu’une racine.

2. Expliquer qu’avec la m´ethode de la corde sur[a, b]on n’est pas sˆur de trouver la racine (en particulier que le succ`es d´ependera de la position de la racine dans l’intervalle).

3. Expliquer que l’´evaluation de deux points avant l’application de la m´ethode de la corde pourrait rem´edier `a cette incertitude.

corrig´e

1. La d´eriv´ee ´etant positive partout, on ne peut pas avoir deux racines

2. La condition de convergence locale de la m´ethode de la corde s’exprime ainsi

0< f^′(x^∗)<2f(b)−f(a) b−a

La pente moyenne ´etant de 1, il n’y aura pas de convergence sif^′(x^∗) est plus grande que 2, une situation qui pourrait se produire.

3. En ´evaluant f(c) et f(d), on pourrait identifier l’un des sous-intervalles [a, c],[c, d], ou [d, b]dans lequel la racine se trouve. En plus, sur tous ces sous-intervalles, la pente maximale s’´ecarte de la moyenne d’une valeur inf´erieure `a 2.

Question 5: Equations diff´erentielles Consid´erer le probl`eme d’int´egration

z(t) = Z _t

t⁰

g(u)du, avecg(u)une fonction quelconque.

En posanty(t) = exp [z(t)], l’´enonc´e se r´eduit `a un probl`eme aux valeurs initiales, avec l’´equation diff´erentiale

y^′(t) =g(t)y(t) 1. Formuler la condition initiale.

3

2. D´emontrer que la m´ethode d’Euler implicite aboutit `a la r´ecursion yb_n+1 =y_bn/[1−hg(t_n+1)],

o`uhest le pas.

3. Trouver_bz(0,4)en utilisant la m´ethode d’Euler implicite avech= 0,1.

4. Trouver la r´ecursion sortant de la m´ethode d’Euler explicite.

5. Trouver la r´ecursion sortant de la m´ethode du trap`eze (la m´ethode d’Euler modifi´ee)

corrig´e

1. y(t₀) = exp [z(t₀)] = exp(0) = 1.

2. Euler r´etrograde, en g´en´eral:

b

yn+1 =ybn+h·f(tn+1,ybn+1).

Ici:

yb_n+1 =y_bn+hg(t_n+1)·y_bn+1 d’o`u vienty_bn+1 =y_bn/[1−hg(t_n+1)]. 3. yb0= 1,yb1 = 1/[1−hg(0,1)];ybn= 1/^Qn_i=1[1−hg(0,1·i)];zb4 = ln(yb4) 4. Euler progressif, en g´en´eral:

yb_n+1 =y_bn+h·f(t_n,y_bn).

Ici:

b

y_n+1 =yb_n+hg(t_n)·y_bnd’o`u vientyb<sub>n+1</sub>= [1 +hg(t<sub>n</sub>)]yb<sub>n</sub> 5. Euler modifi´e (trap`eze), en g´en´eral:

b

y_n+1 =yb_n+ ^h₂·

hf(t_n,yb_n) +f(t_n+1,yb_n+1)ⁱ.

Ici:

yb_n+1 =y_bn+ ^h₂·

hg(t_n)·y_bn+g(t_n+1)·y_bn+1ⁱ. d’o`u vientybn+1 =ybn·

"

1 + ^h₂g(tn) 1−^h

2g(t_n+1)

# .

4