EPFL 25 février 2008 Algèbre linéaire
1ère année 2007-2008
Série 14
L'exercice 7 est à rendre le 3 mars au début de la séance d'exercices.
Le symbole Fdésigne soit R, soit C, et V un F-espace vectoriel.
Exercice 1. Est-ce que les formesb: V ×V →Fsuivantes sont-elles bilinéaires ? Symétriques ? Dénies positives ?
(a) V =F,b(x, y) =x+y; (b) V =F,b(x, y) =xy;
(c) V =F2,b(x, y) = (x1+y1)(x2+y2); (d) V =F2,b(x, y) = (x1+x2)(y1+y2);
(e) F=R, V =P3(R), b(p, q) =R1
−1p(t)q(t)dt;
(f) F=R, V =C(R) = {f: R→R|f continue}, b(f, g) = R1
−1f(t)g(t)dt; (g) F=R, V =P3(R), b(p, q) =R1
−1p0(t)q0(t)dt+p(0)q(0).
Exercice 2. Pour quelles valeurs de λ∈R les formes bilinéaires surR3 ci-dessous dénissent- elles un produit scalaire ?
(a) b(x, y) = x1y1+ 6x2y2 + 3x3y3+ 2x1y2+ 2x2y1+ 3λx1y3+ 3λx3y1; (b) b(x, y) = x1y1+ 10x2y2+ 6x1y2+λx3y3−x2y3−x3y2;
(c) b(x, y) = 2x1y1+ 7x1y2+ 7x2y1+ 8x2y2−3x3y3+λx2y3+λx3y2.
Exercice 3. Soient ϕ: V ×V → F un produit scalaire et k · k: V → F la norme associée.
Supposons que v, w∈V soient tels que kvk= 3, kv+wk= 4 etkv−wk= 6. Trouver kwk. Exercice 4. Soit V l'espace vectoriel réel des fonctions continues et bornées f: [0,∞) → R (où [0,∞) ={x∈R|x≥0}). Démontrer que
ϕ(f, g) = Z ∞
0
f(t)g(t)e−tdt
dénit un produit scalaire sur V. Calculer la norme desin|[0,∞).
Exercice 5. Prouver ou réfuter : Il y a un produit scalaire sur R2 dont la norme associée est donnée par k(x1, x2)k=|x1|+|x2|pour tout (x1, x2)∈R2.
Exercice 6. Soit (x, y, z) ∈ R3 tel que x2 +y2 +z2 = 1. Montrer que (x+ 2y+ 3z)2 6 14. Indication : Appliquer l'inégalité de Cauchy-Schwarz à certains vecteurs deR3 pour un produit scalaire bien choisi.
Exercice 7. Soit p∈P(R). Montrer que Z b
a
p(t)dt 2
6(b−a) Z b
a
p(t)2
dt poura, b∈R tels que a < b.
