EPFL 22 février 2009 Algèbre linéaire
1ère année 2009-2010
Série 14
Dans cette série, le symboleFdésigne soit R, soit C.
L’exercice 3 est à rendre le lundi 1er mars au début de la séance d’exercices.
Exercice 1 (Permutations et déterminant). 1. Simplifier en cycles disjoints : a) σ= (1234)(132)(145)(23)∈S5,
b) τ = (3456)(678)(91)(56)(28)∈S9, c) ρ= (12)(234)(45)(567)(78)∈S8.
2. Calculer le déterminant des matrices élémentairesE(I)ij,E(II)i,λ etE(III)ij,λ ∈Mat(n;F).
(On admet pour cela que le nombre d’inversion d’une transposition est toujours impair.)
3. SoitA=
1 0 0 −1 1 1 3 1 1 2 4 1 1 0 0 1
∈Mat(4;F).Calculerdet(A)à l’aide de l’exercice 1 de la série 13.
Exercice 2 (Produit scalaire). Les formesb:V ×V →F suivantes sont elles des produits scalaires ? Le cas échéant (question 8), trouver (si possible)λpour que les propriétés du produit scalaire soient satisfaites.
1. V =F; (a)b1(x, y) =x+y? (b)b2(x, y) =xy?
2. V =F2; (a)b1((x1, x2),(y1, y2)) =x1y¯1x2y¯2 (b)b2((x1, x2),(y1, y2)) = (x1−x2)(y1+y2)? (c)b3((x1, x2),(y1, y2)) = (x1+y1)(x2+y2)?
3. F=R;V =C∞(R,R); (a)b(f, g) = (f·g)0(3)? (b)b(f, g) = (f ◦g)0(3)? 4. F=R;V =P(R); b(p, q) =p(1)q(0) +p(0)q(1)?
5. F=R;V =C0([a, b])(a, b∈R,a < b) ; b(f, g) =Rb
af(t)g(t)dt? Que se passe-t-il siV =C0(R)etb(f, g) =Rb
af(t)g(t)dt? SiV =P(R)? 6. F=R;V =P3(R); b(p, q) =R1
−1p0(t)q0(t)dt+p(0)q(0)? 7. F=C;V =P2(C); b(p, q) =P2
k=0p(k)q(k)?
8. F=R;V =R2; (a)b((x1, x2),(y1, y2)) =x1y1+λx2y2?
(b)b((x1, x2),(y1, y2)) =x1y1+ 9x2y2+ 6x1y2+λx2y1?
Exercice 3 (Produit scalaire). Soit RN l’ensembles des suites réelles et `2(N) l’ensemble des suites réelles (an)n∈N satisfaisantP∞
n=0a2n<∞.
1. Montrer que2|ab| ≤a2+b2 pour tout a, b∈R.
2. Vérifier queRN est un R-espace vectoriel et`2(N) est un R-sous espace vectoriel deRN. 3. Montrer que pour tout(an)n∈N,(bn)n∈N∈`2(N), la sérieP∞
n=0anbn converge de manière absolue.
4. Montrer que
(an)n∈N,(bn)n∈N
:=P∞
n=0anbn définit un produit scalaire sur `2(N).
Exercice 4. Soit V et W des F-espaces vectoriels et soitT ∈L(V, W). On suppose que la dimension de V est finie et égale à n.
1. Donner la définition du noyau ker(T), et de l’image im(T), de l’applicationT.
2. Montrer queT est injective si et seulement siker(T) ={0}.
3. Montrer queker(T) est un sous-espace vectoriel de V.
Fixons (u1, . . . , um) une base de ker(T), que l’on complète en une base (u1, . . . , um, v1, . . . , vk) de V, avec m+k=n.
4. Montrer que(T(v1), . . . , T(vk)) est une base de im(T) (sans utiliser le théorème du rang).
5. Enoncer le théorème du rang, et le démontrer à l’aide de ce qui précède.
6. Soit R, S ∈ L(V), des applications linéaires satisfaisant R ◦ S = 0. Montrer que dim(ker(R)) + dim(ker(S))≥n.
Exercice 5. Soita∈Run nombre réel. On considère la matrice complexe suivante :
A=
−1 1 +i a 1−i −2 ai
i a+ai 0
∈Mat(3;C).
1. Déterminer le rang deA. Justifier votre réponse.
2. Est-ce que la matriceA est inversible ? Justifier votre réponse.
Exercice 6. SoitT :P4(R)→P3(R) l’application définie par
T(p(X)) = a0+ 2a1+a3+ (2a0+a1+ 2a3+ 3a4)X+ (a1+ 3a2)X2+ (3a2+a4)X3
oùp(X) =a0+a1X+a2X2+a3X3+a4X4 ∈P4(R). Soitλ, µ∈Rdeux nombres réels. Considérons l’ensemble Eλ,µ=
p(X)∈P4(R)|T(p(X)) =λ+µX +λX3 .
1. DéterminerEλ,µ.
2. Est-ce que l’ensembleEλ,µforme un sous-espace vectoriel deP4(R)? Justifier votre réponse.
3. Le polynôme 1 + 5X+X3 appartient-il à l’image de T? Justifier votre réponse.
Exercice 7. Soit A=
−1 2 0 2 2 0 1 2 2
∈Mat(3;R) et soitTA= RealB,B(A) l’application linéaire associée à A, où B est la base canonique deR3.
1. Sans faire de calcul, déterminer un élément u∈R3, non nul, tel queTA(u) = 2u.
2. Déterminer des élémentsv etw∈R3, non nuls, tels queTA(v) =−2v etTA(w) = 3w.
3. Montrer queB0 = (u, v, w) est une base deR3. 4. Déterminer[TA]B0,B0.
Exercice 8. SoitT ∈L(F2). Considérons l’ensemblegraph(T) :=
(x1, x2, y1, y2)∈F4
T(x1, x2) = (y1, y2) . 1. Montrer quegraph(T) est un sous-espace vectoriel du F-espace vectorielF4.
2. Soit V ⊆ F4 le sous-espace vectoriel de F4 défini par V = {(0,0, x3, x4)|x3, x4 ∈ F}. Montrer que graph(T)⊕V =F4.
Exercice 9. Répondre aux questions suivantes, en justifiant toutes vos réponses.
1. Est-ce queS ={A∈Mat(4;R)|det(A) = 0} est un R-sous-espace vectoriel deMat(4;R)?
2. SoitB ∈Mat(3;R) satisfaisant la relationB2−B−2I3 = 0. Est-ce que la matriceB est inversible ? Si oui, quel est son inverse ? Donner un exemple d’une telle matriceB.
3. Considérons l’application linéaire f : Mat(3;F) → Mat(3;F) définie par f(C) = C +Ct pour toute matrice C∈Mat(3;F). La sommeker(f) + im(f) est-elle directe ?
4. Considérons la matriceD∈Mat(n;F) telle que Dij = 1pour tout i, j= 1, . . . , n. A quoi sont égaux le noyau, l’image et le rang de la matrice D?
