EPFL 16 février 2009 Algèbre linéaire
1ère année 2008-2009
Série 14
L’exercice 5 est à rendre le 23 février au début de la séance d’exercices.
Exercice 1. Calculer les nombres d’inversion des permutations suivantes.
1.
σ :{1,2,3,4} → {1,2,3,4}:
17→3 27→1 37→2 47→4 2.
σ :{1,2,3,4,5,6} → {1,2,3,4,5,6}:
17→2 27→1 37→4 47→3 57→6 67→5
Exercice 2. Déterminer si les permutations suivantes sont paires ou impaires.
1. σ ∈S3; σ = ( 1 2 3 ).
2. σ ∈S4; σ = ( 1 3 )( 2 4 ).
3. σ ∈S7; σ = ( 2 4 3 7 1 5 ).
4. σ ∈ Sn; σ = (a1a2 · · · am) où m ≤ n et a1, . . . , am sont des éléments distincts de {1, . . . , n}.
Exercice 3. Montrer que N I(σ) = N I(σ−1) pour toute permutation σ∈Sn.
Exercice 4. Démontrer (1), (2), (5), (7) de la Proposition 6.8 du polycopié sur les déterminants.
Exercice 5. Calculer les déterminants de toutes les matrices élémentaires dans Mat(2,2,F).
Généraliser à Mat(n, n,F)pour n >2.
