Série 14

L.S.Marsa Elriadh

Série 14 ^{M : Zribi}

4

Sc

09/10 Exercice:

Pour tout nombre complexe z, on pose f(z)=z³-(5+6i)z²+(18i-5)z+13.

1/ a) montrer que l'équation f(z)=0 possède une racine imaginaire pur que l'on déterminera.

b) déterminer les nombres complexes a et b tels que pour tout z ; f(z)= (z-i)(z+az+b).

c) résoudre dans l'équation f(z)=0.

2/ dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O ,i , j ) . On considère les points A, B et C d'affixes respective z0=i, z1=2+3i et z2=3+2i.

a) montrer que ^{2 1}

0 1

1 i 2

z z

z z

 

 .

b) En déduire la nature du triangle ABC.

3/ a) résoudre dans l'équation z³=1.

b) calculer (2+i)³; en déduire les solutions dans de l'équation z³=2+11i.

Exercice :

Soit p(z)=z³-(4+2i)z²+(3+6i)z+2-4i.

1/ montrer que l'équation p(z)=0 admet une solution réel z0.

2/ a) déterminer les nombres complexes a et b tel que p(z)=(z-z₀)(z²+az+b).

b) résoudre dans p(z)=0.

3/ dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé( O ,i , j ), on désigne par A(i), B(2) et C(2+i).

a) montrer que le triangle ABC est rectangle.

b) Montrer que le quadrilatère OABC est un rectangle.

A tout point M du plan d'affixe z2 on associe le point M' d'affixe z' défini par z'=^{1 iz}

2 z



 . 4/ a) montrer que |z'|=^AM

BM .

b) déterminer l'ensemble des point M lorsque M' décrit le cercle  de centre O et de rayon 1.

Exercice 14:

Pour tout zC on pose P(z)=z³+2(2-1)z²+4(1-2)z-8 1/a) calculer P(2)

b) en déduire une factorisation de P(z) 2/a) résoudre dans C l’équation P(z)=0

b) on appelle z₁ et z₂ les solutions non réel de P(z)=0 ; Im(z₁)>0 Déterminer la forme exponentielle de z₁ et z₂

3/ a) placer dans le plan complexe munie d’un repère orthonormé (O,

i , j )

b) montrer que le triangle OAB est isocèle c) en déduire une mesure de l’angle

( i , OC )

d) écrire l’affixe du point C sous forme trigonométrique

e) déduire des résultats précédentes les valeurs exactes de cos(3/8) et sin (3/8).