EPFL 5 février 2007 Algèbre linéaire
1ère année 2006-2007
Série 14
L’exercice 6 est à rendre le 12 mars au début de la séance d’exercices.
Exercice 1 Sans chercher à résoudre les systèmes suivants, discuter la nature de leurs en- sembles de solution :
x +y −z = 0
x −y = 0
x +y +z = 0
x +3y +2z = 1
2x −2y = 2
x + y + z = 2
x +3y +2z = 1
2x −2y = 2
x + y + z = 1 Exercice 2 Soit A =
cos θ sin θ sin θ −cos θ
où θ ∈ R. On note TA l’opérateur linéaire de R2 associé à la matrice A.
1. Trouver les valeurs propres λ1 et λ2 et les vecteurs propres ~v1 et ~v2 de TA. 2. Dessiner ~v1, ~v2, T(~v1) et T(~v2) dans le plan et décrire géométriquement TA.
Exercice 3 Soient trois vecteurs~e1, ~e2, ~e3 formant une base deR3. On noteT la transformation linéaire définie par T(~e1) =T(~e3) =~e3, T(~e2) =−~e1+~e2+~e3.
1. Déterminer le noyau de cette application. Ecrire la matriceAdeT dans la base(~e1, ~e2, ~e3).
2. On pose f~1 =~e1−~e3, f~2 =~e1−~e2, f~3 =−~e1+~e2+~e3. Calculer ~e1, ~e2, ~e3 en fonction de f~1, ~f2, ~f3. Les vecteurs f~1, ~f2, ~f3 forment-ils une base de R3?
3. Calculer T(f~1), T(f~2), T(f~3) en fonction de f~1, ~f2, ~f3. Ecrire la matrice B de T dans la base (f~1, ~f2, ~f3) et trouver la nature de l’application T.
Exercice 4 Soit f :P(R)→ P(R) l’application linéaire définie par : f(P) = (X3 +X)P0−(3X2 −1)P.
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de f.
Exercice 5 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f, g∈ L(E). Montrer que si λ est valeur propre de g◦f alors λ est valeur propre de f ◦g.
(Indication : On distinguera les cas λ= 0 et λ 6= 0).
Exercice 6 (Suites récurrentes) Soit (E)
un+1 = a.un + b.vn
vn+1 = c.un + d.vn deux suites récurrentes simultanées dans F.
1. En notantXn = (un, vn)montrer que(E)se ramène à Xn+1 =AXn où A∈M at(2,2,F).
En déduire que Xn=AnX0. (La détermination de Xn se ramène donc au calcul de An.) 2. Supposons queA a deux valeurs propres distinctesλ1 et λ2 associées aux vecteurs propres
~e1 et~e2. Justifier le fait qu’on puisse écrireX0 =α~e1+β~e2. Exprimer unetvnen fonction de α, β, λ1, λ2, ~e1 et ~e2.
3. (Application) Déterminer un et vn tels que :
un+1 = −un + 2.vn vn+1 = −3.un + 4.vn . A quelle condition les suites (un) et (vn) convergent-elles ?
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