EPFL
Algèbre linéaire 1ère année 2008-2009
Corrigé de la série 14
Exercice 1.
1. Les inversions deσ sont :(1,2)et(1,3). DoncN I(σ) = 2etσ est une permutation paire.
2. Les inversions de σsont :(1,2), (3,4)et(5,6). DoncN I(σ) = 3etσ est une permutation impaire.
Exercice 2.
1. N I(σ) = #{(1,3),(2,3)}= 2, alors σ est paire.
2. N I(σ) = #{(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}= 4, alors σ est paire.
3. N I(σ) = #{(1,2),(1,4),(1,5),(1,7),(2,4),(2,5),(2,7),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(4,5), (4,7),(5,7),(6,7)}= 15, alors σ est impaire.
4. Soit i < j. On va montrer que
NI((ij)◦σ)≡NI(σ) + 1 (mod 2).
On appelle dans la suite un couple(a, b) tel que a < bmais σ(a)> σ(b) (respectivement ρ(a)> ρ(b)) un couple d’inversion (noté CI) de σ (respectivement de ρ).
On poseρ= (ij)◦σ,k =σ−1(i)etl=σ−1(j). On a alorsρ(k) =j =σ(l),ρ(l) =i=σ(k), etρ(a) = σ(a)si a6=k, l. De plus, on a
σ(k) =i < j =σ(l) et
ρ(k) =j > i=ρ(l).
On a deux cas :
(a) k < l: On aσ(k)< σ(l)etρ(k)> ρ(l), le couple(k, l)est donc un couple d’inversion deρ mais pas de σ.
i. Pour a < k < l on a les cas suivants : A. σ(a)< σ(k)< σ(l)
On a donc ρ(a) < ρ(l) < ρ(k) et(a, k) et (a, l) ne sont donc ni des couples d’inversion de σ, ni deρ.
B. σ(k)< σ(a)< σ(l)
On a ρ(l)< ρ(a)< ρ(l), donc (a, k) est un couple d’inversion deσ mais pas de ρ, et (a, l) est un couple d’inversion de ρ, mais pas de σ.
C. σ(k)< σ(l)< σ(a)
On aρ(l)< ρ(k)< ρ(a), donc (a, k) et(a, l) sont des couples d’inversion de ρ et de σ.
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Donc les nombres de couples d’inversion formés des nombres a, k et l sont les mêmes pour ρ et σ.
ii. Pour k < a < l on a les cas suivants : A. σ(a)< σ(k)< σ(l)
On a iciρ(a)< ρ(l)< ρ(k) et(k, a) est un CI pourσ etρ,(a, l)n’est un CI ni pour σ, ni pourρ.
B. σ(k)< σ(a)< σ(l)
On a ρ(l)< ρ(a)< ρ(k). Ici, (k, a) et(a, l) sont tous les deux des CIs pour ρ, mais pas pour σ.
C. σ(k)< σ(l)< σ(a)
On a ρ(l)< ρ(k)< ρ(a), donc(k, a) n’est ni un CI de σ, ni de ρ, mais(a, l) en est un pour σ et ρ.
Ici, les couples d’inversion sont les mêmes, sauf dans le deuxième cas où on en ajoute deux en passant de σ à ρ.
iii. Pour k < l < a on a les cas suivants : A. σ(a)< σ(k)< σ(l),
B. σ(k)< σ(a)< σ(l), et C. σ(k)< σ(l)< σ(a),
qu’on traite de la même manière.
Les images des couples (a, b) avec a, b6∈ {k, l} sont les mêmes par ρ et par σ, donc (a, b) est un CI de σ ssi (a, b) est un CI de ρ. En récapitulant, on remarque que le nombre d’inversion de ρ est égal au nombre d’inversion de σ augmenté de 1 (le couple (k, l)) plus un nombre pair (par les différents cas vus en haut). On a donc bien NI((ij)◦σ)≡NI(σ) + 1 (mod 2).
(b) l < k. On démontre comme dans l’autre cas queNI((ij)◦σ)≡NI(σ) + 1 (mod 2).
Maintenant, on montre par récurrence que(a1· · ·am)est paire simest impaire et impaire si m est paire. Si m = 2, alors (a1a2) est une transposition, qui est impaire. Supposons qu’on sait la parité de (a1· · ·am−1). On remarque que (a1· · ·am) = (a1am)(a1· · ·am−1).
Si m est pair, alors m−1 est impair, donc (a1· · ·am−1) est paire, donc (a1· · ·am) est impaire. Pareillement, sim est impair, alors(a1· · ·am)est paire.
Exercice 3. Considérons les ensembles suivants :
S ={(i, j)∈[n]×[n]|i < j et σ(i)> σ(j)}
S¯={(i, j)∈[n]×[n]|i < j et σ−1(i)> σ−1(j)},
où [n] = {1,2, . . . , n}. Par définition, on a N I(σ) = #S etN I(σ−1) = # ¯S. Pour montrer que ces deux cardinalités coincident, nous construisons une bijection entre S etS.¯
Soit φ: [n]×[n]→[n]×[n]la fonction définie parφ(i, j) = (σ(j), σ(i)). C’est une bijection, d’inverseφ−1(k, l) = (σ−1(l), σ−1(k)). Nous affirmons queφ(S)⊆S. En effet, si¯ (i, j)∈S, alors φ(i, j) = (σ(j), σ(i))∈ S, comme¯ σ(j)< σ(i) et σ−1(σ(j)) =j > i=σ−1(σ(i)). La fonctionφ se restreint donc à une fonctionψ =φ|S: S →S. De manière analogue, on obtient une fonction¯ ψ¯=φ−1|S¯: ¯S →S. Comme ψ¯ est clairement inverse àψ, ψ est une bijection.
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Exercice 4. (1) On calcule : det(At) = X
σ∈Sn
(−1)N I(σ)(At)1,σ(1)(At)2,σ(2). . .(At)n,σ(n)
= X
σ∈Sn
(−1)N I(σ)(A)σ(1),1(A)σ(2),2. . .(A)σ(n),n
(α)= X
σ∈Sn
(−1)N I(σ)(A)1,σ−1(1)(A)2,σ−1(2). . .(A)n,σ−1(n)
(β)= X
σ∈Sn
(−1)N I(σ−1)(A)1,σ−1(1)(A)2,σ−1(2). . .(A)n,σ−1(n)
= X
σ∈Sn
(−1)N I(σ)(A)1,σ(1)(A)2,σ(2). . .(A)n,σ(n)
= det(A).
Pour(α), on change juste l’ordre dans lequel les nombres (A)σ(i),i sont multipliés ; pour(β), on utilise le résultat de l’exercice 3.
(2) Supposons que A est triangulaire supérieure (i.e. Ai,j = 0si i > j). Si σ :{1, . . . , n} → {1, . . . , n} n’est pas l’identité, il existe i tel que σ(i) 6= i. Soit i le plus grand entier tel que σ(i) 6= i, alors σ(i) < i (puisque σ(k) = k pour k > i et σ est une bijection) ; par conséquent (A)i,σ(i) = 0. On en déduit que, pour tout σ 6= id le produit (A)1,σ(1)(A)2,σ(2). . .(A)n,σ(n) est nul. Par conséquent, le seul terme non-nul de la somme est celui obtenu pourσ = id. On trouve alors : det(A) = (A)1,1(A)2,2. . .(A)n,n.
(5)SiAa une ligne de zéros (par exemple la lignei), alors pour toutσ ∈Sn, on a(A)i,σ(i) = 0, et donc le produit (A)1,σ(1)(A)2,σ(2). . .(A)n,σ(n) est nul. Par conséquent, tous les facteurs de la somme définissant le déterminant de A sont nuls et det A = 0.
Si A a une colonne de zéros, par exemple la colonne j, comme σ est une bijection de {1, . . . , n}on a l’existence dek ∈ {1, . . . , n}tel queσ(k) =j. Par conséquent(A)k,σ(k) = 0. On conclut comme précédemment.
(7) Supposons que A0 est obtenue en remplaçant la ligne idea par λ fois cette ligne. Alors (A0)i,j =λ(A)i,j ∀j et (A0)k,j = (A)k,j pourk 6=i. Par conséquent :
det(A0) = X
σ∈Sn
(−1)N I(σ)(A0)1,σ(1)(A0)2,σ(2). . .(A0)i,σ(i). . .(A0)n,σ(n)
= X
σ∈Sn
(−1)N I(σ)(A)1,σ(1)(A)2,σ(2). . . λ(A)i,σ(i). . .(A)n,σ(n)=λ·det(A)
Exercice 5. Pour les matrices élémentaires de M at(2,2,F) on a : det I1,2 = det
0 1 1 0
=−1
det II1,λ= det
λ 0 0 1
=λ et det II2,λ = det
1 0 0 λ
=λ
det III1,2,λ = det
1 λ 0 1
= 1 et det III2,1,λ = det
1 0
λ 1
= 1
Pour les matrices élémentaires de M at(n, n,F) les calculs de det II1,λ et det III1,2,λ faits précédemment se généralisent facilement (on a des matrices triangulaires et on peut utiliser
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l’exercice 3 de la série 13). Pour les matrices élémentaires de permutation Ii,j, on voit que le seul terme de la somme P
σ∈Sn(−1)N I(σ)(A)1,σ(1)(A)2,σ(2). . .(A)i,σ(i). . .(A)n,σ(n) avec tous les facteurs non nuls est celui de la transposition (ij). Par l’exercice 2.4, la transposition (i, j)est impair. Alors, det(Ii,j) = −1.
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