MPSI B 29 juin 2019

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Étant donnés trois points A , B , M respectivement d'axe a , b , m (avec a 6= b ), l'objet de cet exercice est étudier la construction du point M ⁰ d'axe m ⁰ vériant

m ⁰ − a

m ⁰ − b + m − a m − b = 0 On considère le milieu C de [A, B] , son axe est notée c .

1. En introduisant c dans la relation dénissant m ⁰ , former une expression simple pour (m − c)(m ⁰ − c) .

2. En utilisant le théorème de l'arc capable, montrer que M ⁰ est sur le cercle circonscrit à A , B , M . Quelle précision supplémentaire peut-on donner ?

3. Dans le cas particulier où a = 1 et b = −1 , que devient la relation trouvée en 1.

Comment peut-on construire M ⁰ ?

4. Montrer qu'il existe une similitude directe S telle que l'axe de s(A) soit 1 et celle de s(B) soit −1 . En déduire une construction de M ⁰ dans le cas général.

Corrigé

B A

M M

⁰

C

Fig. 1: Construction de M ⁰

1. L'axe de c est â+b ₂ . On introduit alors a = c + â−b ₂ et b = c − â−b ₂ dans la relation de dénition en réduisant au même dénominateur. En posant d = â−b ₂ , il vient :

((m ⁰ − c) − d)((m − c) + d) + ((m − c) − d)((m ⁰ − c) + d) = 0

⇒ (m ⁰ − c)(m − c) = d ² = (a − b) ² 2 2. De ^m _m

⁰0

^−a −b = − ^m−a _m−b , on tire qu'une mesure de l'angle orienté de ( −−−→

M ⁰ B, −−→

M ⁰ A) est égale à π plus une mesure de ( −−→

M B, −−→

M A) . On en déduit que M ⁰ est sur le cercle circoncrit à A , B , M . On peut préciser que M et M ⁰ sont chacun dans un des deux arcs dénis par A et B .

3. Dans le cas particulier où a = 1 et b = −1 , il vient c = 0 et mm ⁰ = 1 . On en déduit que m ⁰ = _|m| ¹

₂

m donc M ⁰ est sur la droite symétrique de (OM ) par rapport à l'axe des x . On construit le point M ⁰ en prenant l'intersection de cette droite avec le cercle qui passe par A , B et M .

4. Une similitude transforme les axes des points selon z → uz + v

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Acomp10

(2)

MPSI B 29 juin 2019

où u et v sont des nombres complexes xés ( u 6= 0 ). Il s'agit donc de montrer qu'il existe u et v tels que ua + v = 1 et ub + v = −1 . On vérie facilement que

u = 2

a − b et v = a + b b − a

conviennent. Notons s(m ⁰ ) , s(a) , s(b) les axes des images par S . Il est immédiat que m ⁰ − a

m ⁰ − b + m − a

m − b = 0 ⇔ s(m ⁰ ) − s(a)

s(m ⁰ ) − s(b) + s(m) − s(a) s(m) − s(b) = 0

On peut donc appliquer la construction dans le cas particulier et la transporter par la similitude. Le point M ⁰ est donc l'intersection de la droite symétrique de (CM ) par rapport à (A, B) avec le cercle qui passe par A , B et M .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Acomp10

MPSI B 29 juin 2019

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Étant donnés trois points A , B , M respectivement d'axe a , b , m (avec a 6= b ), l'objet de cet exercice est étudier la construction du point M 0 d'axe m 0 vériant

m 0 − a

m 0 − b + m − a m − b = 0 On considère le milieu C de [A, B] , son axe est notée c .

1. En introduisant c dans la relation dénissant m 0 , former une expression simple pour (m − c)(m 0 − c) .

2. En utilisant le théorème de l'arc capable, montrer que M 0 est sur le cercle circonscrit à A , B , M . Quelle précision supplémentaire peut-on donner ?

3. Dans le cas particulier où a = 1 et b = −1 , que devient la relation trouvée en 1.

Comment peut-on construire M 0 ?

4. Montrer qu'il existe une similitude directe S telle que l'axe de s(A) soit 1 et celle de s(B) soit −1 . En déduire une construction de M 0 dans le cas général.

Corrigé

B A

M M

C

Fig. 1: Construction de M 0

1. L'axe de c est a+b 2 . On introduit alors a = c + a−b 2 et b = c − a−b 2 dans la relation de dénition en réduisant au même dénominateur. En posant d = a−b 2 , il vient :

((m 0 − c) − d)((m − c) + d) + ((m − c) − d)((m 0 − c) + d) = 0

⇒ (m 0 − c)(m − c) = d 2 = (a − b) 2 2 2. De m m

−a −b = − m−a m−b , on tire qu'une mesure de l'angle orienté de ( −−−→

M 0 B, −−→

M 0 A) est égale à π plus une mesure de ( −−→

M B, −−→

M A) . On en déduit que M 0 est sur le cercle circoncrit à A , B , M . On peut préciser que M et M 0 sont chacun dans un des deux arcs dénis par A et B .

3. Dans le cas particulier où a = 1 et b = −1 , il vient c = 0 et mm 0 = 1 . On en déduit que m 0 = |m| 1

m donc M 0 est sur la droite symétrique de (OM ) par rapport à l'axe des x . On construit le point M 0 en prenant l'intersection de cette droite avec le cercle qui passe par A , B et M .

4. Une similitude transforme les axes des points selon z → uz + v

1

MPSI B 29 juin 2019

où u et v sont des nombres complexes xés ( u 6= 0 ). Il s'agit donc de montrer qu'il existe u et v tels que ua + v = 1 et ub + v = −1 . On vérie facilement que

u = 2

a − b et v = a + b b − a

conviennent. Notons s(m 0 ) , s(a) , s(b) les axes des images par S . Il est immédiat que m 0 − a

m 0 − b + m − a

m − b = 0 ⇔ s(m 0 ) − s(a)

s(m 0 ) − s(b) + s(m) − s(a) s(m) − s(b) = 0

On peut donc appliquer la construction dans le cas particulier et la transporter par la similitude. Le point M 0 est donc l'intersection de la droite symétrique de (CM ) par rapport à (A, B) avec le cercle qui passe par A , B et M .

2

Étant donnés trois points A , B , M respectivement d'axe a , b , m (avec a 6= b ), l'objet de cet exercice est étudier la construction du point M ⁰ d'axe m ⁰ vériant

m ⁰ − a

m ⁰ − b + m − a m − b = 0 On considère le milieu C de [A, B] , son axe est notée c .

1. En introduisant c dans la relation dénissant m ⁰ , former une expression simple pour (m − c)(m ⁰ − c) .

2. En utilisant le théorème de l'arc capable, montrer que M ⁰ est sur le cercle circonscrit à A , B , M . Quelle précision supplémentaire peut-on donner ?

Comment peut-on construire M ⁰ ?

4. Montrer qu'il existe une similitude directe S telle que l'axe de s(A) soit 1 et celle de s(B) soit −1 . En déduire une construction de M ⁰ dans le cas général.

Fig. 1: Construction de M ⁰

1. L'axe de c est â+b ₂ . On introduit alors a = c + â−b ₂ et b = c − â−b ₂ dans la relation de dénition en réduisant au même dénominateur. En posant d = â−b ₂ , il vient :

((m ⁰ − c) − d)((m − c) + d) + ((m − c) − d)((m ⁰ − c) + d) = 0

⇒ (m ⁰ − c)(m − c) = d ² = (a − b) ² 2 2. De ^m _m

^−a −b = − ^m−a _m−b , on tire qu'une mesure de l'angle orienté de ( −−−→

M ⁰ B, −−→

M ⁰ A) est égale à π plus une mesure de ( −−→

M A) . On en déduit que M ⁰ est sur le cercle circoncrit à A , B , M . On peut préciser que M et M ⁰ sont chacun dans un des deux arcs dénis par A et B .

3. Dans le cas particulier où a = 1 et b = −1 , il vient c = 0 et mm ⁰ = 1 . On en déduit que m ⁰ = _|m| ¹

m donc M ⁰ est sur la droite symétrique de (OM ) par rapport à l'axe des x . On construit le point M ⁰ en prenant l'intersection de cette droite avec le cercle qui passe par A , B et M .

conviennent. Notons s(m ⁰ ) , s(a) , s(b) les axes des images par S . Il est immédiat que m ⁰ − a

m ⁰ − b + m − a

m − b = 0 ⇔ s(m ⁰ ) − s(a)

s(m ⁰ ) − s(b) + s(m) − s(a) s(m) − s(b) = 0

On peut donc appliquer la construction dans le cas particulier et la transporter par la similitude. Le point M ⁰ est donc l'intersection de la droite symétrique de (CM ) par rapport à (A, B) avec le cercle qui passe par A , B et M .