Cinétique - Dynamique

(1)

Cin´ etique - Dynamique

1 Notion de masse

1.1 Masse : d´ efinition

Soit E un domaine de l’espace. Soit une d´ecomposition deE : e1+e2+...+en =E avec ei∩ej = ∅ si i6=j

m(E) = Xn

i=1

m(ei)

1.2 Conservation de la masse

t1,t2 2 instants quelconques,E est `a masse conservative⇔ m(E, t1) =m(E, t2)

1.3 Solide mat´ eriel

Solide cin´ematique auquel on attribue une mesure positive de masse. C’est un solide `a masse conservative.

Un ensembleEest un ensemble de solides matériels s’il n’est constitué que de solides matériels, (ni fluide, ni ressorts...), alorsEest à masse conservative.

1.4 Th´ eor` eme

E un ensemble de solides mat´eriels.−→

f(P, t) fonction vectorielle d´efinie surE :

·d dt

Z

P∈E

−

→f(P, t)dm

¸

R

= Z

P∈E

"

d−→ f(P, t)

dt

#

R

dm

2 Centre d’inertie d’un syst` eme

2.1 D´ efinition

Gcentre de masse⇔ Z

P∈E

−−→GP dm=−→ 0 Gest unique.

A partir d’un point quelconque` Q:

−−→QG= 1 m(E)

Z

P∈E

−−→QP dm

2.2 D´ ecomposition

E=e1+e2+...+en, soientmi masse deei,Gi centre d’inertie deei.

−−→QG= P_n

i=1mi−−→

QGi

P_n

i=1mi

2.3 Sym´ etrie mat´ erielle

Si à tout point P ∈ E correspond par symétrie spatiale un point P⁰ ∈ E tel que : dm(P) = dm(P⁰) alors, G appartient à l’élément de symétrie ( plan, axe ou point).

1

(2)

3 Torseurs cin´ etique et dynamique

3.1 Quantit´ e de mouvement

m(E)−→ V_G/R=

Z

P∈E

−

→V_P/Rdm= quantit´e de mouvement

3.2 Quantit´ e d’acc´ el´ eration

m(E)−→ ΓG/R=

Z

P∈E

−

→ΓP/Rdm= quantité d’accélération

3.3 Torseur cin´ etique

3.3.1 Expression

©CE/R,I

ª= ( R

P∈E

−

→VP/Rdm = m(E)−→ VG/R

R

P∈E

−→IP ∧−→

VP/Rdm = −→σI,E/R

)

3.3.2 Loi de composition

−

→σ_B,E/R=−→σ_A,E/R+−−→

BA∧m(E)−→ V_G/R

3.3.3 Cas particuliers

Si le syst`eme est assimilable `a un point unique de masse m:

©CE/R,M

ª= (

m−→ VM/R

−

→0 )

glisseur Si G est fixe dans R :

©CE/R,M

ª=

½ −→

− 0

→σ_G,E/R

¾

torseur couple

3.4 Torseur dynamique

3.4.1 Expression

©DE/R,I

ª= ( R

P∈E

−

→ΓP/Rdm = m(E)−→ ΓG/R

R

P∈E

−→IP ∧−→

ΓP/Rdm = −→ δI,E/R

)

3.4.2 Loi de composition

−

→δB,E/R=−→

δA,E/R+−−→

BA∧m(E)−→ ΓG/R

3.4.3 Cas particuliers

Si le syst`eme est assimilable `a un point unique :

©DE/R,M

ª= (

m−→ Γ_M/R

−

→0 )

glisseur Si Gest fixe dansR :

©D_E/R,Mª

=

( −→

− 0

→δ_G,E/R )

torseur couple

(3)

3.5 Relation entre ©

C

_E/R,M

ª et ©

D

_E/R,M

ª

−

→δ_I,E/R=

·d

dt−→σ_I,E/R

¸

R

+m(E)−→

V_I/R∧−→

V_G/R −→

V_I/R6=−−−−→

V_I,E/R

4 Energie cin´ ´ etique

-E un ensemble mat´eriel en mouvement par rapport `aR:

´energie cin´etique : T_E/R =1 2

Z

P∈E

−

→V_P/R²dm

- Si on consid`ereR⁰ en translation par rapport `aR: TE/R=TE/R⁰+1

2m(E)−→

VG/R2 R⁰ est le rep`ere barycentrique

5 Op´ erateur d’inertie d’un solide par rapport ` a un axe

5.1 Moment d’inertie d’un solide par rapport ` a un axe

SolideS, axe ∆ d´efini par un point Qet un vecteur −→

i,P ∈S etH le projet´e deP sur ∆ I∆,S =

Z

P∈S

−−→HP²dm

I∆,S=−→ i

Z

P∈S

−−→QP ∧(−→ i ∧−−→

QP)dm

5.2 Op´ erateur d’inertie d’un solide(ou Tenseur d’inertie)

SoitJ au pointQd’un solideS, l’op´erateur qui `a tout vecteurs−→u associe : Z

P∈S

−−→QP∧(−→u ∧−−→

QP)dm

JQ,S(−→u) = Z

P∈S

−−→QP∧(−→u ∧−−→

QP)dm J est une matrice 3x3 dans (O,−→x ,−→y ,−→z)

JQ,S =



 R

P∈S(y²+z²)dm −R

P∈S(xy)dm −R

P∈S(xz)dm

−R

P∈S(yx)dm R

P∈S(x²+z²)dm −R

P∈S(yz)dm R

P∈S(zx)dm −R

P∈S(zy)dm R

P∈S(x²+y²)dm





R

Conventionnellement :

JQ,S=



 A −F −E

−F B −D

−E −D C





R

A= moment d’inertie deS par rapport à l’axe (Q,−→x) B= moment d’inertie deS par rapport à l’axe (Q,−→y) C= moment d’inertie deS par rapport à l’axe (Q,−→z)

D= produit d’inertie deS par rapport aux plans (Q,−→x ,−→y) et (Q,−→x ,−→z) E= produit d’inertie deS par rapport aux plans (Q,−→x ,−→y) et (Q,−→y ,−→z) F = produit d’inertie deS par rapport aux plans (Q,−→x ,−→z) et (Q,−→y ,−→z)

A, B, C, D, E, F sont de mˆeme dimension [A] =M L²

(4)

5.3 Moment d’inertie polaire

IQ,S= Z

P∈S

(x²+y²+z²)dm=1

2T r(J_Q/S) =A+B+C 2

- SiD=E=F = 0⇒ J_Q/S est diagonale, avec la base du rep`ere comme base propre orthonorm´ee.

- Les ´el´ements deJG,S sont dits centraux

- Les ´el´ements deJG,S diagonale sont dits centraux principaux d’inertie.

- Si un plan contenant 2 axes du repère est un plan de symétrie matérielle, l’opérateur d’inertie dans ce repère a 2 produits d’inertie nuls.

- Si 2 plans de symétries sont⊥et le repère est centré sur ces 2 plans, alors les 3 produits d’inertie sont nuls. ⇒le repère est propre pour l’opérateur d’inertie.

5.4 Solide de r´ evolution autour de Oz

JO,S =



 A 0 0

0 A 0

0 0 C





(O,−→x ,→−y ,−→z)

5.5 Th´ eor` eme de Huygens

JQ,S =JG,S+J_Q,G(m(S)) →op´erateur du point G affect´e de m(S)

5.6 Changement de base

SoitP(R/R1) la matrice de passage deR→R1

(J0,S)R1=P_(R/R⁻¹

1)(J0,S)RP(R/R1)

6 Moments cin´ etique et dynamique

6.1 Cas g´ en´ eral

-Gle centre de masse deS

-Qle point o`u l’on connait le torseur cin´ematique -I un point quelconque

−

→σ_I,S/R=m(S)−→

IG∧−→

V_Q,S/R+m(S)−→

IQ∧(−→

Ω_S/R∧−−→

QG) +JQ,S−→ Ω_S/R Attention,JQ,S et−→

ΩS/R doivent être exprimés dans une même base.

6.2 Cas particuliers

-Si Q=G:

−

→σ_I,S/R=m(S)−→

IG∧−→

V_G,S/R+JG,S−→ Ω_S/R -SiQ=I Fixe dansR:

−

→σ_I,S/R=JI,S−→ Ω_S/R -SiQ=I=G:

−

→σ_G,S/R=JG,S−→ Ω_S/R On utilisera généralement les deux dernières formules.

(5)

6.3 Moment dynamique

Si I=G:

−

→δG,S/R=

·d dt

−

→σG,S/R

¸

R

Si Iest fixe dansR :

−

→δI,S/R=

·d dt

−

→σI,S/R

¸

R

7 Energie cin´ etique

7.1 Relation g´ en´ erale

2T_S/R =m(S)−→

V_Q,S/R²+−→

Ω_S/RJQ,S−→

Ω_S/R+ 2m(S)−→

V_Q,S/R(−→

Ω_S/R∧−−→

QG)

7.2 Cas particuliers

Si Q=G:

2TS/R =m(S)−→

VG,S/R2+−→

ΩS/RJG,S

−

→ΩS/R

Si Qest fixe dans R:

2TS/R =−→

ΩS/RJQ,S

−

→ΩS/R

De plus :

2T_S/R=V_S/RC_S/R Comoment des torseurs cin´etique et cin´ematique

8 Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)

8.1 Enonc´ ´ e

T_ext/e,A=D_e/Rg,A Rgun rep`ere galil´een

PFD=PFS si la masse de l’ensemble considéré est nulle, ou si l’ensemble matériel est immobile par rapport au repère galiléen.

8.2 Th´ eor` eme des actions r´ eciproques

T_e₂_/e₁+T_e₁_/e₂ = 0

9 Energie et puissance ´

9.1 Th´ eor` eme de la Puissance pour un solide S

dTS/Rg

dt =Pext,S/Rg Puissance développée par les efforts extérieurs àS dans son mouvement par rapport àRg EtPext,S/RG=Text/SVS/Rg =DS/RgVS/Rg

Généralisation pour un système composé de nsolides : dTE/Rg

dt =Pext,E/Rg+Pi(E) avecPext,E/Rg= Xn

i=1

Text/S_iVS_i/Rg et Pi(E) = Xn

i=1

Xn

j=1

TS_i/S_jVS_i/S_j

Théorème de la puissance : La dérivée de l’énergie cinétique galiléenne d’un ensemble de solides est égale à la puissance galliléenne des actions mécaniques extérieures et intérieures à cet ensemble.

(6)

9.2 Th´ eor` eme de l’´ energie

Si la puissance développée est nulle : dT_E/Rg dt = 0 Si la puissance développée dérive d’une fonctionU :

Alors TE/Rg=U+H H constante d’int´egration C’est le cas lorsque les seules puissances sont les actions de la pesanteur.

9.3 Mouvement particuliers

9.3.1 Rotation autour d’un point fixe O∈Rg

−

→δO,S/Rg=

·d dt

−

→σO,S/Rg

¸

Rg

=−→ MO,ext/S

Si le moment est nul, alors−→σO,S/Rg est constant dansRg

Si la projection du moment sur un vecteur−→u fixe dansRgest nulle, alors la projection de−→σO,S/Rgsur−→u est constante.

9.3.2 Solide en mouvement autour d’un axe fixe ∈Rg

−

→u unitaire, fixe dansRg,O un point de l’axe (O−→u)

Si la résultante des actions mécaniques extérieures est nulle, alors−→

V_G,S/Rg est constant dansRg Si la projection de la r´esultante des actions m´ecaniques sur−→u est nulle, Alors−→

VG/R−→u =C^te dansRg Si la projection du moment des actions m´ecaniques sur−→u est nulle, Alors−→σO,S/Rg−→u =C^te dansRg

10 Equilibrage ´

Un solideSen rotation autour d’un axe fixe dans un repère est dit équilibré si le torseur de liaison est indépendant de la fréquence de rotation (Par exemple, siGest sur l’axe de rotation etD=E= 0).

11 Rendement

11.1 Rendement instantan´ e

L’énergie cinétique instantanée d’un système peut soit augmenter, soit diminuer, soit rester constante. Dans chaque cas on pourra définir le rendement du système.

* SiTE/R=C^te:

Pre¸cue+Pfournie+Pdissip´ee= 0 On d´efinit :

Pmotrice=Pre¸cue

Pr´eceptrice=Pfournie

Le rendement sera :

η(t) = |P_r´_eceptrice|

Pmotrice =−P_fournie

Pre¸cue = 1−|P_dissip´_ee| Pre¸cue

* SiT_E/R augmente :

dT

dt =Pre¸cue+Pfournie+Pdissip´ee>0 On d´efinit :

Pmotrice=Pre¸cue

Pr´eceptrice=Pfournie−^dT_dt >0 Le rendement sera :

η(t) = |Pr´eceptrice|

Pmotrice =−Pfournie+^dT_dt

Pre¸cue = 1− |Pdissip´ee| Pre¸cue+^dT_dt

(7)

* SiT_E/R diminue :

dT

dt =Pre¸cue+Pfournie+Pdissip´ee<0 On d´efinit :

Pmotrice=Pre¸cue−^dT_dt >0 Pr´eceptrice=Pfournie

Le rendement sera :

η(t) =|Pr´eceptrice|

Pmotrice =− Pfournie

Pre¸cue−^dT_dt = 1− |Pdissip´ee| Pre¸cue−^dT_dt

11.2 Rendement moyen

Si le fonctionnement est cyclique, on peut d´efinir le rendement moyen : ηmoy= 1

T Z _T

0

η(t)dt En général, il est déterminé expérimentalement.