Chapitre IV Cinétique et Dynamique des Solides

Chapitre IV

Cinétique et Dynamique des Solides

Introduction

La cinétique est l’aspect qui traite les relations qui associent les grandeurs cinématiques tel que déplacements, vitesses, accélérations et la répartition des masses dans l’espace (centre de masse et matrice d’inertie).

Dans ce chapitre, nous allons introduire des nouvelles grandeurs vectoriels et scalaires comme : la quantité de mouvement, quantité d’accélération, moment cinétique, moment dynamique et énergie cinétique.

1 – Moment Cinétique

1-1 – Quantité de mouvement : a – Cas d’un point matériel :

Soit 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) un point matériel de masse 𝑚, muni d’un mouvement de vitesse 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀) par rapport à un référentiel orthonormé fixe 𝑅₀(𝑂; 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ).

On appelle quantité de mouvement du point M, par rapport à 𝑅₀(𝑂; 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ), la grandeur vectorielle : 𝑃⃗ (𝑀/𝑅₀) = 𝑚. 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀)

b – Cas d’un système discret :

Pour un système constitué de n points matériels discrets 𝑴_𝒊 de masse 𝒎_𝒊et de vitesses 𝑉⃗ (𝑀_𝑖/𝑅₀) la quantité de mouvement est définie par :

𝑃⃗ = ∑ 𝑃⃗ (𝑀_𝑖/𝑅₀)

𝑛

𝑖=1

= ∑ 𝑚_𝑖. 𝑉⃗ ( 𝑀_𝑖/𝑅₀)

𝑛

𝑖=1

c – Cas d’un système continu :

Pour un système (S) continue, la masse 𝒎 constitué de point 𝑀 de vitesse 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀) par rapport à un référentiel orthonormé fixe 𝑅₀(𝑂; 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) et de masse élémentaire 𝑑𝑚, la quantité de mouvement est définie par :

𝑃⃗ (𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝑉⃗ (M/𝑅₀) 𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

Remarque :

𝑃⃗ (𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝑉⃗ (M/𝑅₀) 𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

= ∫ 𝑑𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑑𝑡 𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

La masse étant indépendante du temps La forme de l’intégrale devient : 𝑃⃗ (𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝑉⃗ (M/𝑅₀) 𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

= 𝑑

𝑑𝑡(∫ 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

) Or d’après la définition du centre de masse :

𝑚. 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

on aura :

𝑃⃗ (𝑆/𝑅₀) = 𝑑

𝑑𝑡(𝑚. 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑚 𝑑

𝑑𝑡(𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑚𝑉⃗ (𝐺/𝑅₀) ⟹ 𝑃⃗ (𝑆/𝑅₀) = 𝑚𝑉⃗ (𝐺/𝑅₀) 1-2 – Moment cinétique :

a – Cas d’un point matériel :

Soit 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) un point matériel de masse 𝑚, muni d’un mouvement de vitesse 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀) par rapport à un référentiel orthonormé fixe 𝑅₀(𝑂; 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ).

On appelle moment cinétique, par rapport au point A, du point M dans son mouvement par rapport à 𝑅₀(𝑂; 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) le moment de sa quantité de mouvement par rapport au point A :

𝜎 (𝐴, 𝑀/𝑅₀) = 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑚. 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀) = 𝑚 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀) b – Cas d’un système discret :

Pour un système constitué de n points matériels discrets 𝑴_𝒊 de masse 𝒎_𝒊et de vitesses 𝑉⃗ (𝑀_𝑖/𝑅₀) le moment cinétique par rapport au point A est définie par :

𝜎 (𝐴, 𝑅₀) = ∑ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑖 ∧ 𝑚_𝑖. 𝑉⃗ (𝑀_𝑖/𝑅₀)

𝑛

𝑖=1

= ∑ 𝑚_𝑖 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑖∧ 𝑉⃗ (𝑀_𝑖/𝑅₀)

𝑛

𝑖=1

c – Cas d’un système continu :

Pour un système (S) continue, la masse 𝒎 constitué de point 𝑀 de vitesse 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀) par rapport à un référentiel orthonormé fixe 𝑅₀(𝑂; 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) et de masse élémentaire 𝑑𝑚, le moment cinétique par rapport au point A est définie par :

𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

Soit un système (S) continue, de masse 𝒎 et Soient A et B deux points de l’espace affine 𝔈, les moments cinétiques de S aux points A et B respectivement sont :

𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

𝑒𝑡 𝜎 (𝐵, 𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

= ∫ (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∧ 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

+ ∫ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ ∫ 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

+ 𝜎 (𝐵, 𝑆/𝑅₀)

𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑃⃗ (𝑆/𝑅₀) + 𝜎 (𝐵, 𝑆/𝑅₀)

C’est la relation d’équiprojectivité, le champ du moment cinétique est un champ équiprojectif, donc c’est le moment d’un torseur cinétique noté 𝜏_𝑐 défini par :

𝜏_𝑐(𝐴, 𝑆/ 𝑅₀) = [𝑃⃗ (𝑆/𝑅₀), 𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀)]

Avec :

- 𝑃⃗ (𝑆/𝑅₀) = 𝑚 𝑉⃗ (𝐺/𝑅₀) : est la résultante cinétique

- 𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) : est le moment cinétique au point A du solide S par rapport à 𝑅₀ ; et pout tout point B de l’espace affine 𝔈, on a :

𝜎 (𝐵, 𝑆/𝑅₀) = 𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) + 𝑃⃗ (𝑆/𝑅₀) ∧ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) + 𝑚 𝑉⃗ (𝐺/𝑅₀) ∧ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

Remarques :

i. 𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) dépend du point 𝐴 où on détermine le torseur cinétique alors que 𝑃⃗ (𝑆/𝑅₀) = 𝑚 𝑉⃗ (𝐺/𝑅₀) ne dépend que du référentiel 𝑅₀.

ii. Souvent on prend 𝐴 ≡ 𝑂 (origine du repère 𝑅₀) ou 𝐴 ≡ 𝐺 (centre d’inertie du solide (𝑆).

1-3 – Propriétés du Moment cinétique :

𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

Soit B un point du solide (𝑆) ; on peut écrire 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀) = 𝑉⃗ (𝐵/𝑅₀) + 𝜔⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) ∧ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et le moment cinétique au point A devient :

𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (𝑉⃗ (𝐵/𝑅₀) + 𝜔⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) ∧ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (𝑉⃗ (𝐵/𝑅₀) + 𝜔⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) ∧ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑉⃗ (𝐵/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

+ ∫ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (𝜔⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) ∧ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

∧ 𝑉⃗ (𝐵/𝑅₀) + ∫ (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∧ (𝜔⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) ∧ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = 𝑚 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑉⃗ (𝐵/𝑅₀) + ∫ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (𝜔⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) ∧ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

+ ∫ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (𝜔⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) ∧ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = 𝑚 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑉⃗ (𝐵/𝑅₀) + 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (𝜔⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) ∧ ∫ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

+ ∫ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (𝜔⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) ∧ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

Or

∫ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (𝜔⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) ∧ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

= ℑ(𝐵, 𝑆) 𝜔⃗⃗ (𝑆/𝑅₀)

𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = 𝑚 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑉⃗ (𝐵/𝑅₀) + 𝑚 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ (𝜔⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) ∧ 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ + ℑ(𝐵, 𝑆) 𝜔⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) Cas où 𝑨 ≡ 𝑩 ∈ (𝑺) :

𝜎 (𝐵, 𝑆/𝑅₀) = 𝑚 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑉⃗ (𝐵/𝑅₀) + ℑ(𝐵, 𝑆) 𝜔⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) i. Si 𝐵 est un point fixe dans 𝑅₀, alors :

𝑉⃗ (𝐵/𝑅₀) = 0⃗ ⟹ 𝜎 (𝐵, 𝑆/𝑅₀) = ℑ(𝐵, 𝑆) 𝜔⃗⃗ (𝑆/𝑅₀)

ii. Si 𝐵 ≡ 𝐺(centre d^′inertie de (𝑆)), alors :

𝜎 (𝐺, 𝑆/𝑅₀) = ℑ(𝐺, 𝑆) 𝜔⃗⃗ (𝑆/𝑅₀)

2 – Torseur Dynamique :

Les éléments de réduction du torseur dynamique 𝜏_𝑑 sont la quantité d’accélération et le moment dynamique.

2-1 – résultante dynamique : a – Cas d’un point matériel :

Soit 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) un point matériel de masse 𝑚, muni d’un mouvement d’accélération 𝑎 (𝑀/𝑅₀) par rapport à un référentiel orthonormé fixe 𝑅₀(𝑂; 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ).

On appelle quantité d’accélération du point M, par rapport à 𝑅₀(𝑂; 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ), la grandeur vectorielle : 𝐷⃗⃗ (𝑀/𝑅₀) = 𝑚. 𝑎 (𝑀/𝑅₀)

b – Cas d’un système discret :

Pour un système constitué de n points matériels discrets 𝑴_𝒊 de masse 𝒎_𝒊et d’accélérations 𝑎 (𝑀_𝑖/𝑅₀) la quantité d’accélération est définie par :

𝐷⃗⃗ = ∑ 𝐷⃗⃗ (𝑀_𝑖/𝑅₀)

𝑛

𝑖=1

= ∑ 𝑚_𝑖. 𝑎 ( 𝑀_𝑖/𝑅₀)

𝑛

𝑖=1

c – Cas d’un système continu :

Pour un système (S) continue, la masse 𝒎 constitué de point 𝑀 d’accélération 𝑎 (𝑀/𝑅₀) par rapport à un référentiel orthonormé fixe 𝑅₀(𝑂; 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) et de masse élémentaire 𝑑𝑚, la quantité d’accélération est définie par :

𝐷⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝑎 (M/𝑅₀) 𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

Remarque :

𝐷⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝑎 (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

= ∫ 𝑑²𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗

𝑑𝑡² 𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

= 𝑑

𝑑𝑡(∫ 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀) 𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

) = 𝑑

𝑑𝑡𝑃⃗ (𝑆/𝑅₀) La masse étant indépendante du temps La forme de l’intégrale devient :

𝐷⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝑎 (M/𝑅₀) 𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

= 𝑑²

𝑑𝑡²(∫ 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

) Or d’après la définition du centre de masse :

𝑚. 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ = ∫ 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

on aura :

𝐷⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) = 𝑑²

𝑑𝑡²(𝑚. 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑚 𝑑²

𝑑𝑡²(𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝑚𝑎 (𝐺/𝑅₀) ⟹ 𝐷⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) = 𝑚𝑎 (𝐺/𝑅₀) 2-2 – Moment Dynamique :

a – Cas d’un point matériel :

Soit 𝑀(𝑥, 𝑦, 𝑧) un point matériel de masse 𝑚, muni d’un mouvement d’accélération 𝑎 (𝑀/𝑅₀) par rapport à un référentiel orthonormé fixe 𝑅₀(𝑂; 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ).

On appelle moment dynamique, par rapport au point A, du point M dans son mouvement par rapport à 𝑅₀(𝑂; 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) le moment de sa quantité d’accélération par rapport au point A :

𝛿 (𝐴, 𝑀/𝑅₀) = 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑚. 𝑎 (𝑀/𝑅₀) = 𝑚 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑎 (𝑀/𝑅₀) b – Cas d’un système discret :

Pour un système constitué de n points matériels discrets 𝑴_𝒊 de masse 𝒎_𝒊et d’accélérations 𝑎 (𝑀_𝑖/𝑅₀) le moment dynamique par rapport au point A est définie par :

𝛿 (𝐴, 𝑅₀) = ∑ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑖∧ 𝑚_𝑖. 𝑎 (𝑀_𝑖/𝑅₀)

𝑛

𝑖=1

= ∑ 𝑚_𝑖 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ _𝑖∧ 𝑎 (𝑀_𝑖/𝑅₀)

𝑛

𝑖=1

c – Cas d’un système continu :

Pour un système (S) continue, la masse 𝒎 constitué de point 𝑀 d’accélération 𝑎 (𝑀/𝑅₀) par rapport à un référentiel orthonormé fixe 𝑅₀(𝑂; 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) et de masse élémentaire 𝑑𝑚, le moment dynamique par rapport au point A est définie par :

𝛿 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑎 (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

Soit un système (S) continue, de masse 𝒎 et Soient A et B deux points de l’espace affine 𝔈, les moments cinétiques de S aux points A et B respectivement sont :

𝛿 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑎 (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

𝑒𝑡 𝛿 (𝐵, 𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑎 (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

𝛿 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑎 (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

= ∫ (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∧ 𝑎 (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

𝛿 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = ∫ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑎 (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

+ ∫ 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑎 (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

𝛿 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ ∫ 𝑎 (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

+ 𝛿 (𝐵, 𝑆/𝑅₀)

𝛿 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝐷⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) + 𝛿 (𝐵, 𝑆/𝑅₀)

C’est la relation d’équiprojectivité, le champ du moment dynamique est un champ équiprojectif, donc c’est le moment d’un torseur dynamique noté 𝜏_𝑑 défini par :

𝜏_𝑑(𝐴, 𝑆/ 𝑅₀) = [𝐷⃗⃗ (𝑆/𝑅₀), 𝛿 (𝐴, 𝑆/𝑅₀)]

Avec :

- 𝐷⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) = 𝑚 𝑎 (𝐺/𝑅₀) : est la résultante dynamique

- 𝛿 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) : est le moment dynamique au point A du solide S par rapport à 𝑅₀ ; et pout tout point B de l’espace affine 𝔈, on a :

𝛿 (𝐵, 𝑆/𝑅₀) = 𝛿 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) + 𝐷⃗⃗ (𝑆/𝑅₀) ∧ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛿 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) + 𝑚 𝑎 (𝐺/𝑅₀) ∧ 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

2-3 – Relation entre le Moment Cinétique et le Moment Dynamique : 𝑑(𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀))

𝑑𝑡 = 𝑑

𝑑𝑡(∫ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

)

𝑑(𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀))

𝑑𝑡 = ∫ 𝑑

𝑑𝑡𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

+ ∫ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑑

𝑑𝑡𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

Or

𝑑

𝑑𝑡𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀) − 𝑉⃗ (𝐴/𝑅₀) D’où

𝑑(𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀))

𝑑𝑡 = −𝑉⃗ (𝐴/𝑅₀) ∧ ∫ 𝑉⃗ (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

+ ∫ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑎 (𝑀/𝑅₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

𝑑(𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀))

𝑑𝑡 = −𝑚 𝑉⃗ (𝐴/𝑅₀) ∧ 𝑉⃗ (𝐺/𝑅₀) + 𝛿 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) Ainsi

𝛿 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) =𝑑(𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀))

𝑑𝑡 + 𝑚 𝑉⃗ (𝐴/𝑅₀) ∧ 𝑉⃗ (𝐺/𝑅₀) Remarques :

i. Si 𝐴 est un point fixe alors :

𝑉⃗ (𝐴/𝑅₀) = 0 ⟹ 𝛿 (𝐴, 𝑆/𝑅₀) =𝑑(𝜎 (𝐴, 𝑆/𝑅₀)) ii. Si 𝐴 ≡ 𝐺(centre d^′inertie de (𝑆)) alors : 𝑑𝑡

𝛿 (𝐺, 𝑆/𝑅₀) =𝑑(𝜎 (𝐺, 𝑆/𝑅₀)) 𝑑𝑡 3 – Energie Cinétique :

3-1 – définition :

L’énergie cinétique à l’instant t d’un solide (S) dans son mouvement par rapport à un référentiel orthonormé fixe ℜ₀(𝑂; 𝑥 , 𝑦 , 𝑧 ) est la quantité scalaire, exprimée en Joule, définie par :

𝐸_𝑐(𝑆/ℜ₀) =1

2∫ 𝑉⃗ ²(𝑀/ℜ₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

3-2 – Propriétés :

i. Si 𝑆 = ⋃^𝑛_𝑖=1𝑆_𝑖 alors 𝐸_𝑐(𝑆/ℜ₀) = ∑^𝑛_𝑖=1𝐸_𝑐(𝑆_𝑖/ℜ₀) ii. 2𝐸_𝑐(𝑆/ℜ₀) = ∫_𝑀∈𝑆𝑉⃗ ²(𝑀/ℜ₀)𝑑𝑚

2𝐸_𝑐(𝑆/ℜ₀) = ∫ 𝑉⃗ ²(𝑀/ℜ₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

= ∫ 𝑉⃗ (𝑀/ℜ₀)(𝑉⃗ (𝐴/ℜ₀) + 𝜔⃗⃗ (𝑆/ℜ₀) ∧ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

2𝐸_𝑐(𝑆/ℜ₀) = ∫ 𝑉⃗ (𝑀/ℜ₀)𝑉⃗ (𝐴/ℜ₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

+ ∫ 𝑉⃗ (𝑀/ℜ₀). (𝜔⃗⃗ (𝑆/ℜ₀) ∧ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

2𝐸_𝑐(𝑆/ℜ₀) = 𝑉⃗ (𝐴/ℜ₀). ∫ 𝑉⃗ (𝑀/ℜ₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

+ ∫ 𝜔⃗⃗ (𝑆/ℜ₀). (𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑉⃗ (𝑀/ℜ₀))𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

2𝐸_𝑐(𝑆/ℜ₀) = 𝑉⃗ (𝐴/ℜ₀). 𝑚𝑉⃗ (𝐺/ℜ₀) + 𝜔⃗⃗ (𝑆/ℜ₀). ∫ 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ 𝑉⃗ (𝑀/ℜ₀)𝑑𝑚

𝑀∈𝑆

2𝐸_𝑐(𝑆/ℜ₀) = 𝑉⃗ (𝐴/ℜ₀). 𝑃⃗ (𝐺/ℜ₀) + 𝜔⃗⃗ (𝑆/ℜ₀). 𝜎 (𝐴, 𝑆/ℜ₀) 2𝐸_𝑐(𝑆/ℜ₀) = [𝜔⃗⃗ (𝑆/ℜ₀), 𝑉⃗ (𝐴/ℜ₀)] ⊗ [𝑃⃗ (𝐺/ℜ₀), 𝜎 (𝐴, 𝑆/ℜ₀)]

2𝐸_𝑐(𝑆/ℜ₀) = 𝜏_𝑣(𝐴, 𝑆/ℜ₀) ⊗ 𝜏_𝑐(𝐴, 𝑆/ℜ₀) C’est le comoment du torseur cinématique et le torseur cinétique.

3-2 – Conséquences :

Comme l’énergie cinétique est le comoment du torseur cinématique et le torseur cinétique donc indépendante du point où on la calcule.

Si A est fixe dans ℜ₀, alors :

2𝐸_𝑐(𝑆/ℜ₀) = 𝜔⃗⃗ (𝑆/ℜ₀). 𝜎 (𝐴, 𝑆/ℜ₀) = 𝜔⃗⃗ (𝑆/ℜ₀). ℑ(𝐴, 𝑆) 𝜔⃗⃗ (𝑆/ℜ₀) Si 𝐴 ≡ 𝐺 centre de masse de S, alors :

2𝐸_𝑐(𝑆/ℜ₀) = 𝑚𝑉⃗ ²(𝐺/ℜ₀) + 𝜔⃗⃗ (𝑆/ℜ₀). ℑ(𝐺, 𝑆) 𝜔⃗⃗ (𝑆/ℜ₀)