Examen Ondes ´electromagn´etiques dans les milieux mat´eriels Licence de physique, Universit´e d’Orl´eans (/20)
13/6/2012. Documents autoris´es : notes de cours et de TD
Excercice 1(Equation d’onde) : 10 points
On consid`ere une onde ´electromagn´etique qui est d´ecrite par une ´equation de la forme
1 c2
∂2ψ
∂t2 −∆ψ+µ2ψ= 0, (1)
o `ucest la vitesse de la lumi`ere,µ >0et∆ = ∂x∂22 +∂y∂22 +∂z∂22 est le Laplacien en coordonn´ees cart´esiennes (x, y, z).
1. Quelle est la dimension physique deµ?
2. Montrer que les ondes planes,ψ∝exp(i[k·r−ωt]), sont des solutions possibles de (1) et d´eriver la relation de dispersion (relation entreωetk). Ici {kx, ky, kz} ∈Retω >0.
3. Quelle est la pulsation de coupure,ωc, en dessous de laquelle il n’y plus de propagation ?
Excercice 2(Milieux anisotrope) : 10 points
On donne un mat´eriau anisotrope, o `u la relation entre les composantes du champ de d´eplacementDet du champ ´electriqueEpar rapport `a une base euclidienne {ex,ey,ez}sont donn´ees par
Dx
Dy Dz
=0
3/2 0 1/2 0 3/2 0 1/2 0 3/2
| {z }
r
·
Ex
Ey Ez
.
Ici0est la constante de permittivit´e du vide. Concernant les propri´et´es
magn´etiques le mat´eriau est isotrope, avecµcomme constante de perm´eabilit´e.
1. Calculer les deux vitesses de phases principalesc1,2, en supposant queEest une onde plane dont le vecteur d’onde pointe en direction deez, i.e.
E=Eexp(i[k·r−ωt]), o `uk∝ezetE0=cst.
2. Calculer les amplitudesE0possibles et pour chaque champ ´electrique r´esultant le champ magn´etique associ´e ainsi que le vecteur de Poynting.1 On rappelle que dans la g´eom´etrie donn´ee ci-dessus
rxx−rxzr
zzrzx rxy−rxzr zzrzy ryx−
r yz
rzzrzx ryy−
r yz
rzzrzy
· E0x E0y
!
=α E0x E0y
! .
1. Utiliser les parties r´eelles des champs impliqu´es.
