EQUATIONS ET INEQUATIONS DU 2

(1)

TEKPOLO Crédo

Exercice 1 : 1. Résoudre dans ℝ. a) ² − 4 − 50 = 0 ; b) 2² + 2 − 7 = 0 ; c) ² + + 1 = 0; d) 6² − − 5 = 0;

e) √2² + 1 − √2 − 1 = 0. f) ² − √3 − √2 − √6 = 0 2. Factoriser les polynômes : a) = 4² − 4 + 1 ; b) = −² − 4 + 30 ; c) = 5² − 15 − 20.

3. Résoudre dans ℝ, les inéquations suivantes : a) 4² − 5 + 3 ≥ 0 ;

b) ² − 11 + 10 > 0 ;

c) −3 + + 2 ≥ 0; d) 3² − − 1² ≥ 2 + 9 − 4²; e) + − 2 < 0.

4. a/ Développer 1 − √2

b/ Résoudre dans l’équation : ² − 21 + √2 + 4√2 = 0 5. a/ Développer 2 + √2

b/ Résoudre l’équation ² − 2 − √2 − 2√2 = 0 c/ En déduire la résolution de l’équation :

² − 2 − √2 − 2√2 = 0

EQUATIONS ET INEQUATIONS DU 2

^nd

DEGRE

(2)

Analyse - Géométrie

TEKPOLO Crédo

Exercice 2 :

Déterminer deux nombres réels de somme et de produit dans les cas suivants :

a) = 28 ; = 195. b) = 32 ; = 256. c) = 2√5 ; = 3. Exercice 3 :

1. On donne : = ^" − + + 3. a) Vérifier que −1 est une racine de . b) Résoudre dans ℝ, l’équation = 0. c) Résoudre dans ℝ, ≥ 0.

2. On donne : = 2^" + 5 − 14 − 8. a) Vérifier que 2 est une racine de .

b) Résoudre dans ℝ, l’équation = 0 et < 0. 3. Résoudre dans ℝ :

a) 2 − √ + 2 = 0. b) 2 + 5√ − 3 = 0 c) 5 + 4√ − 9 = 0. d) 2² − || − 15 = 0. e) – ² + 6|| − 1 = 0 f) 3² − 8|| + 4 = 0. g) 2|| − 6 − 2 = 0. h) ^% − 13 + 36 = 0. i) ^% + ²− 2 = 0.

j) −^% + 18 − 32 = 0. k) ^% + ² + 1 = 0.

l) ^% − ^" − 7² + + 6 = 0

4. Résoudre dans les inéquations suivantes : a) ^% − ^" − 7² + + 6 < 0

b) ^% − 13 + 36 ≥ 0 c) &"'²(%'(%

)'²&'(% ≥ 0

(3)

TEKPOLO Crédo

d) *

'²

'²(+ ≥ ² − 1

'(%

'&% −^'&%_'(% ≤ _'²&+-^-% . Exercice 4 :

1. Résoudre dans ℝ, les équations et inéquations irrationnelles suivantes :

a) √ + 2 = 4 ; b) √2 + 1 = √ ;

c) √2 + 1 − √2 − 1 = 0 d) /² − 3 + 2 = 2 + 1 e) √2 + 1 + √ − 1 = 2√

f) /² − 10 + 25 + 2 + 3 = 12 g) /² − 7 + 4 = /² + 3 − 4 ; h) 1 + /3² − 2 − 1 = .

2.

a) + √2 − 2 ≤ 4 ;

b) √− + + 1 < − 5 ; c) 2/ − 3 < 2 + 2. d) 0– ² + 1 + < + 5 e) 0– ² + 3 − 2 ≥ − 1 f) /² + 6 + 6 ≥ |2 + 1|

g) √2 + 1 + √ − 1 > √4 + 5

h) 2/² + + 1 ≤ −2 − 1, où 1 est un paramètre réel appartenant à l’intervalle 2−∞;⁺_%5.

(4)

TEKPOLO Crédo

Exercice 5 :

Résoudre les systèmes suivants dans ℝ⁶ : a) 7 + 8 = −1 8 = −1. ;

b) 7 ² + 8² = 5 8 = −2. ; c) 9² + 8² = 20

'

:+^:_' = ⁾ . ; d) 9 ^'²^: +^:²_' = 0

8 = −1. ; e) 7^% + 8^% = 14

8 = 2 . ; f) 7 − 8 = 2 8 = 35..

Exercice 6 :

I- Résoudre dans ℝ, les équations et inéquations suivantes : 1. 2² + 9 + 7 = 0.

2. ^'(+

'(+ +^'("_'&+ < 1 +_'²&+^; . 3. ^% − 13 + 36 ≤ 0. 4. 2 + 5√ − 3 = 0.

5. −9² + 6 − 1² − − 2 ≥ 0. 6. −2² − 5|| + 3 = 0.

7. Résoudre dans ℝ, les équations et inéquations suivantes : a) ⁺

' −_+&' ≤ 1 ;

b) /9 − ² > − 2 ; c) 3² − 2|| − 1 = 0 ; d) 2^% + 11² + 5 = 0.

II- Résoudre dans ℝ × ℝ les systèmes suivants :

1. ₊ : 7² + 8² = 208 8 = 96 . ; : 7² + 8² + 8 = 52 + 8 = 8 . ;

(5)

TEKPOLO Crédo

" : 7 8 = 90 − 8 = 9 ..

2. Résoudre suivant les valeurs du paramètre 1 le système suivant :

7 1 + 1 − 1 − 18 = 2 3 − 58 = −2..

3. Résoudre dans ℝ × ℝ le système suivant : 7 ² + 8² = 5 8 = −2..

Exercice 7 :

Soit >?@A un rectangle tel que >? = 5B1et ?@ = 3B1.

Sur les côtés de ce rectangle, on place les points C, D, et E comme la figure ci – dessous tels que :>C = ?D = @ = AE.

On pose >C = (B1).

1. Quelles sont les valeurs possibles de ?

2. Exprimer ?C, @D, A et >E en fonction de .

3. Calculer la somme des aires des quatre triangles >CE ;

?DC ;@D et AE puis en déduire que l’aire > du quadrilatère CDE est égale à :

> = 2² − 8 + 15. 4.

a) Déterminer la forme canonique de >.

b) Déterminer la position du point C pour laquelle l’aire > est minimale.

A @

D C ?

>

E

(6)

TEKPOLO Crédo

5. Existe – t – il une position du point C pour laquelle l’aire >

est égale à 11B1². Exercice 8 :

Soit F = −^% + 3^" + 3² − 7 − 6. 1. Calculer 3. Conclure.

2. Factoriser le polynôme . 3. On pose G = '²&'&"^H' .

a) Trouver l’ensemble de définition de G. b) Simplifier G suivant les valeurs de .

c) En déduire la résolution dans de l’inéquation : G < 0. Exercice 9 :

Soit le polynôme F = ^" − 3 + 2.

1. Calculer F−2 en déduire une factorisation de F. 2. Résoudre dans , l’équation : +: F = 0

3. En déduire la résolution de :

a) ∶ ∈ , ||^" − 3 + 2 = 0

b) " ∶ ∈ , ^" − 3 + 2 = 0 Exercice 10 :

Soient F et M deux polynômes définis par : F = −^" + 2² − 3 et ℎ = −5 + 3.

1. Calculer F1 puis ℎ1. Que peut – on en déduire ? 2. Soit l’équation : ∶ ℎ = F

a) Montrer que l’équation est équivalente à l’équation : ^O: ∈ , −^" + 2² + 5 − 6 = 0

b) Résoudre l’équation ^O puis en déduire la résolution de . 3. En déduire la résolution de :

a) ₊ : − ||^" + 2² + 5|| − 6 = 0

b) : − ^" + 2² + 5 − 6 = 0 c) _" ∶ −^" + 2² + 5 − 6 ≥ 0

(7)

TEKPOLO Crédo

Exercice 11 :

On considère le polynôme = ^" − 4² − 5 + 8.

admet trois racines distinctes P, Q et B. Sans calculer P, Q, B calculer les réels :P + Q + B ; PQB ; ⁺_R+ ⁺_S +⁺_T.

Exercice 12 :

Soit le polynôme = ^" + U² + V + W. On suppose que les nombres réels P, Q, Bsont les zéros de .

1. Montrer que : P + Q + B = −U, PQ + QB + PB = V et PQB =

−W.

2. Sachant que P = 2 − √2 ; Q = √2 ; B = 2 + √2, déterminer .

3. Résoudre dans , l’inéquation : < 0. Exercice 13 :

Discuter suivant les valeurs du paramètre réel X, l’existence et le nombre des solutions de l’équation Y dans chacun des cas :

a) 1 − 3² + 7 − 41 + 20 = 0. b) 1 + 1² − 21 + 5 = 0.

c) 1² − 21 + 1 + 2 = 0. d) ² − 1 + 1 + 1 = 0. e) 10² − 131 + 31 = 0. Exercice 14 :

Soit Z l’équation dépendante du paramètre 1 définie par : ∈ ℝ, 1 − 1² + 21 − 2 + 2 − 1 = 0.

1. Pour quelles valeurs de 1, _Z est – elle du second degré.

2. Discuter suivant les valeurs de 1 le nombre de solution de l’équation _Z.

3. Déterminer si elles existent :

a) Les valeurs de 1 pour que _Z admettent deux solutions de signes contraires.

b) Les valeurs de 1 pour que _Z admettent deux solutions positives.

c) Les valeurs de 1 pour que : ₊ − 4₊ − = 0 et ₊ + = 2.

(8)

TEKPOLO Crédo

Exercice 15 :

A tout nombre réel 1, on associe l’équation :

_Z ∶ ∈ ℝ, 1 − 1² + 21 − 2 + 2 − 1 = 0.

1. Discuter, suivant les valeurs du paramètre réel 1, le nombre de solutions de l’équation Z.

2. _Z admet deux solutions distinctes P et Q ; trouver les valeurs du réel 1 telles que

a) P et Q sont positives ;

b) P et Q sont de signes contraires ; c P² + Q² = 132.

3. 1 étant choisi tel que _Z ait deux solutions P et Q : a) Trouver une relation entre P et Q indépendante de 1. b) Déterminer 1 pour que : P = 9Q.

c) Former une équation du second degré GZ d’inconnu \ où

\₊ = 2P − 3 et \ = 2Q − 3 sont solutions de G_Z.

d) Situer le réel 3]2 par rapport aux solutions P et Q de _Z. Exercice 16 :

Etant donné l’équation à une inconnue réelle ^,

: ² + 21 + 1 + ⁺_%31 − 121 − 1 = 0.

a) Etudier suivant les valeurs du paramètre réel X l’existence des racines ′ et ′′ de cette équation.

Le nombre ^`₆ peut – il être racine de l’équation ? b) Calculer en fonction de X : > = _'⁺_a_&"+_'_aa⁺_&".

c) Déterminer X pour que : > = −_".

Exercice 17 :

Déterminer b pour que l’équation : ² − 4 + P = 0. a) Ait deux racines égales ;

b) Ait une racine triple de l’autre ;

c) Ait deux racines ′ et ′′ telles que : ^OO + ^O = 9 ;

(9)

TEKPOLO Crédo

d) Ait deux racines telles que : ^OO² + ^O² = 58 ; e) Ait deux racines comprises entre 1et 5.

Exercice 18 :

On considère la fonction polynôme F définie par :

F = 21 − 1² + 21 + 1 + 3 + 1, où X est un paramètre réel.

1. Etudier suivant les valeurs du paramètre réel X le nombre et le signe des zéros de F.

2. Lorsque F admet deux zéros + et calculer ⁺

'_c +_'⁺_d en fonction de 1.

Pour quelle valeur de 1 a – t – on : _'⁺

c +_'⁺

d = 2 ?

3. Pour quelles valeurs de 1 le polynôme F est – il strictement positif sur ℝ ?

Exercice 19 :

Soit l’équation : _Z: 1 − 3² + 21 − 2 − 1 = 0 où 1 est un paramètre réel.

1. Résoudre cette équation pour 1 = 3, 1 = 0, 1 = −2. 2. a/ Déterminer 1 pour que 1 soit solution de _Z.

b/ Déterminer l’autre solution.

3. On suppose que 1 ≠ 3. Déterminer les valeurs de 1 pour lesquelles l’équation _Z :

a) Admet deux solutions distinctes, toutes positives.

b) Admet deux solutions distinctes toutes négatives.

c) Admet deux solutions de signe contraire d) Admet une solution double.

e) Admet deux solutions opposées.

f) N’admet pas de solution.

4. Trouver une relation indépendante entre les solutions ₊ et , dans le cas où elles existent, une relation indépendante de 1.

(10)

TEKPOLO Crédo

Exercice 20 :

A- Soit l’équation : 1 − 1² + 21 + 1 + 41 + 1 = 0 où 1 est un paramètre réel et l’inconnue.

1. Discuter, suivant les valeurs de 1, le nombre et le signe des racines de .

2.

a) Lorsque admet deux racines + et , trouver une relation indépendante de 1 entre ces racines.

b) Utiliser cette relation pour trouver les relations doubles de . c) Pour quelle valeur de 1 a – t – on deux racines ₊ et telles

que

2₊ − 12 − 1 = 8 ?

3. Déduire de 1. le nombre de solutions de l’équation ^O : 1 − 1² + 21 + 1|| + 41 + 1 = 0.

Exercice 21 :

On considère l’équation : 1 − 2² − 21 + 2 + 21 − 2 = 0. 1 est un paramètre réel.

1. Etudier l’existence et le signe des solutions de l’équation suivant les valeurs du paramètre 1.

2. a) Trouver une relation indépendante de 1 entre les solutions ₊ et de l’équation , lorsqu’elle existent.

b) Retrouver à l’aide de la relation précédente, les solutions doubles de l’équation .

3. pour quelles valeurs de 1, les solutions ₊ et de vérifient – elles la relation : _'⁺

c +_'⁺

d = 1 ? Exercice 22 :

Soit _Z un polynôme définit par :

_Z = ² − 21 − 1 − 1 + 3 = 0 et @_Z sa représentation graphique dans un repère orthonormé f; ; g.

1. Déterminer suivant les valeurs de 1, l’existence et le signe des zéros de _Z.

(11)

TEKPOLO Crédo

2. On suppose dans la suite de l’exercice que Z admet deux racines distinctes ou confondues U et V. Etudier suivant les valeurs de 1 la position de U et V par rapport à 1.

3. Trouver une relation indépendante de 1 entre U et V. 4. Déterminer les valeurs de 1 telles que U = 2V − 3. Exercice 23 :

On désigne par 1 un paramètre réel et on définit la fonction polynôme :

F = 1 + 1^" + −21√2 − 1 − 1² + 1 + 2√21 − 1. 1. Montrer que quelque soit le réel 1, 1 est un zéro de F.

2. En déduire que F = − 1P + Q + B où P, Q, B sont trois réels que l’on déterminera.

3. On pose désormais = P² + Q + B. a) Soit l’équation : ∈ , = 0.

Discuter suivant les valeurs du paramètre 1, l’existence et le signe des solutions de .

b) Montrer que pour 1 ≠ −1, ₊ et sont exactement les zéros du polynôme E = ² −_{√ Z(+}^%Z +_Z(+^Z et que ₊ et vérifient la relation : 2√2₊ − ₊ − = 0.

3. Déterminer 1 pour que : ⁺

'_c +_'⁺

d > 2 et ₊ + ₊ ≥ 2√2. Exercice 24 :

On donne F = 2 − 1² + 71 − 12 + 18 − 101 = 0.

1. Trouver l’ensemble E des valeurs de 1 telles que l’équation F = 0 admet deux solutions distinctes

2. Trouver l’ensemble F des valeurs de 1 telles que F ait un signe constant négatif.

3. Trouver la valeur de 1 telle que : ⁺

%&'_c +_%&'⁺ _d = ⁺_% où + et

sont des solutions de l’équation F = 0.

(12)

TEKPOLO Crédo

4. Soit 1 ∈ et h ∈ C+C avec C++ ; 0 et C ; 0. Soit _i l’abscisse du point K.

Trouver _i pour que hCjjjjjjjjjk ∙ hC₊ jjjjjjjjjk soit indépendant de 1. Exercice 25 :

On considère l’équation :

1 − 31² − 21 − 61 + 9 + 1² − 31 = 0 1. Résoudre pour 1 = −1.

2. Pour quelles valeurs de 1 l’équation est – elle du premier degré ?

3. Pour quelles valeurs de 1 , l’équation admet 1 comme solution ? 4. Etudier suivant les valeurs de 1, l’existence et le nombre des

solutions de l’équation .

5. Etudier suivant les valeurs de 1, le signe des solutions de . 6. Pour quelles valeurs de 1 , l’équation admet deux solutions

′ et ′′ telles que _'O⁺ +_'OO⁺ = 3 ? Exercice 26 :

1. Démontrer que la fonction F définie par :

F = Q²² + Q + B − P + B² Q ≠ 0 est positive ou nulle quelque soit si les réels P, Q, B vérifient la relation :

P + Q + BP + Q − BP − Q + BP − Q − B ≤ 0

2. Soit le trinôme : m = − 1 + √2 + √3 + √3 + √6. a) Vérifier que 1 + √2 est une racine de m.

b) En déduire le second zéro de mpuis factoriser m

c) En déduire les valeurs de 1 pour lesquelles le polynôme : F = ² + 1 + n^+(√(√"_% 1 −^√-(√"_% o est un carré parfait.

d) Factoriser F

e) Pour quelle(s) valeur(s) de 1 F n’est pas factorisable ?

(13)

TEKPOLO Crédo

Exercice 27 :

Soit = ² − 1 + 1 et @ sa représentation graphique. Soit A_Z la droite d’équation 8 = − 1 + 1.

1. Pour quelles valeurs de 1, @ ∩ A_Z = ∅ ?

2. Pour quelles valeurs de 1 @ et A_Z ont un seul point commun ?

3. Pour quelles valeurs de 1, @ et A_Z ont deux points communs distincts ?

4. On suppose que @ et A_Z ont deux points communs C₊ et C d’abscisses respectives + et . Soit le milieu du segment C₊C. Déterminer l’ensemble décrit par le point .

Exercice 28 :

On donne F_Z = 1 − 1² + 21 − 31 + 1. On appelle @_Z sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormé f; ; g, 1 est un paramètre réel.

1. Pour quelle valeur de 1 @_Z est une droite ∆ dont on donnera une équation?

2. Montrer que toutes les courbes @Z passent par deux points fixes A et B dont on donnera les coordonnées.

3. Vérifier que A et B appartiennent à ∆.

4. Soit CP; Q un point du plan. Etudier suivant les valeurs de 1, le nombre de courbes qui passent par C.

Exercice 29 :

1. Soit F_Z = ² + 1 − 3 − 1.

a) Situer −3 par rapport aux zéros éventuels de F_Z b) Résoudre dans , l’inéquation F_Z > 0.

2. Résoudre l’inéquation _Z : 1 − 1² − 21 + 1 + 2 ≤ 0. On discutera suivant les valeurs de 1.

3. Soit le polynôme défini par :

(14)

TEKPOLO Crédo

s = 31 − 5² − 2 + 1 + 1 + 2.

a) Résoudre dans et suivant les valeurs de 1, l’inéquation s > 0.

b) On considère l’équation :

_Z : 31 − 5² − 2 + 1 + 1 + 2 = 0. Déterminer le paramètre 1 pour que _Z :

• Ait deux solutions distinctes de signes contraires.

• Ait deux solutions distinctes ₊ et telles que ₊ < −1 < .

• Ait deux solutions distinctes ₊ et telles que : |₊| = || Exercice 30 :

On considère l’équation :

: ∈ , 1 − 1^% − 21 + 1 + 2 = 0. Déterminer les valeurs de 1 telles que admet :

1. Quatre solutions distinctes 2. Trois solutions distinctes 3. Deux solutions distinctes 4. Une seule solution

5. Aucune solution Exercice 31 :

Discuter suivant les valeurs du paramètre réel 1, le nombre de solutions de l’équation : : ∈ , 1 − 9^% − 21² + 1 = 0. Exercice 32 :

Le plan est rapporté à un repère orthonormé f; ; g Partie A :

On considère la courbe d’équation : 8 = P² + Q + B.

Déterminer les réels P, Q , B tels que la courbe passe par les points : >2; 2 ; ?−1; 5 ; @1; 1.

Partie B :

(15)

TEKPOLO Crédo

Soit la fonction polynôme définie par F = ² − 2 + 2 de représentation graphique @t. Soit AZ la droite passant par le point

−1; 1 et de coefficient directeur – 1.

1. Déterminer une équation de la droite A_Z

2. Représenter sur une même graphique la courbe @_t, les droites A_i, A_& A₊ .

3. Soit E l’ensemble des valeurs de 1 pour lesquelles @_t et A_Z ont deux points d’intersection M et N distincts ou confondus.

a) Vérifier que les abscisses des points M et N sont solutions de l’équation : ² + 1 − 2 + 1 + 1 = 0.

b) Déterminer l’ensemble E.

4. Déterminer 1 pour que le milieu Z du segment CD ait pour abscisse √2.

5. Déterminer en fonction de 1, les coordonnées du point _Z. En déduire lorsque 1 parcourt , _Z décrit une parabole dont on donnera l’équation.

Exercice 33 :

Le plan est muni d’un repère orthonormé f; ; g. On désigne par la parabole d’équation 8 = ². A, B et C sont trois points distincts du plan d’abscisses respectives P, Q, B. On se propose d’étudier la question de l’alignement possible des points A, B et C.

1. Démontrer qu’une équation de la droite >? est 8 = P + Q − PQ.

2. Montrer que @ ∈ >? ⇔ B − QB − P = 0. 3. Les points A, B et C peuvent – ils être alignés ?

4. On donne P + Q = 1 + 1 ; PQ = 1. On note AZ la droite d’équation 8 = 1 + 1 − 1. Soit C₊ et C les points d’abscisses respectives ₊ et , intersection de la parabole et de la droite AZ.

a) Montrer que ₊ et sont les zéros du polynôme :

(16)

TEKPOLO Crédo

F_Z = ² − 1 + 1 + 1. @_Z est la représentation graphique de F_Z dans le repère f; ; g.

b) Déterminer 1 pour que @_Z passe par le point >−1; 2. c) Montrer que toutes les courbes @_Z passe par un point fixe

dont on précisera les cordonnées.

d) Soit _Z le milieu du segment C₊C. Montrer que l’ensemble décrit par _Z lorsque 1 varie est une parabole dont on précisera l’équation.

Exercice 34 :

A tout nombre réel P, on associe la fonction F_R définie par :

FR = P² + P + 1 + 1 − 2P et on appelle @R la courbe représentative de la fonction F_R dans le plan rapporté au repère orthonormé f ; vk ; wk.

1. Discuter suivant les valeurs de P le nombre et le signe des zéros de F_R.

2. On suppose que F_R admet deux zéros ₊ et . Déterminer une relation indépendante de P entre les zéros.

3. Montrer que toutes les courbes @_R passent par deux points fixes dont on donnera les coordonnées.

4. Déterminer le nombre de courbes @_R qui passent par les points

>2; 1 et ?1; 1.

5. Soit C_i_i; 8_i un point quelconque du plan. Discuter suivant la position du point C_i le nombre de courbe qui passent par le point Ci.

6. On suppose maintenant que P ≠ 0.

a) Justifier que @_R est une parabole et donner les coordonnées du sommet _R.

b) Déterminer l’ensemble décrit par _R lorsque P décrit ^∗. 7. On considère le cas où P = 1.

Etablir le tableau de variation de F₊ et tracer sa courbe représentative

@₊.

(17)

TEKPOLO Crédo

Exercice 35 :

1. Discuter suivant les valeurs du paramètre 1, le nombre et des solutions du système :

7 + 8 = 4

²8² − 68 + 1 = 0.

2. Déterminer 1 de façon que le polynôme ²− 4 + 1 − 3 soit positif pour tout réel

3. Résoudre dans , l’inéquation : √² − 4 + 1 − 3 > 2 − 3 4. Résoudre dans ^", le système : 9 + 28 + 3y = 14

2 − 38 + y = −1 5 − 118 = −11.

5. Le plan étant rapporté à un repère orthonormé f, , g, dessiner dans le plan, l’ensemble de définition des fonctions suivantes : a) F ∶ z →

C ; 8 ↦ /1 − ²− 8²

| − 8|

b) M ∶ z → C ; 8 ↦ 1

|8| − 1 Exercice 36 :

1. Résoudre dans l’équation d’inconnue , '&"

√'²&) < ^√''&"^²^&)

2. On considère dans ^", le système suivant : 9 −8 + y = 1

−y + = 1 + 1

− + 8 = 1 − 41; 1 ∈ .

aMontrer que le triplet , 8 , y est solution du système si et seulement si 1²− 31 + 2 = 0

bRésoudre alors le système

(18)

TEKPOLO Crédo

Exercice 37 :

Soient deux réels P et Q. On considère le système : 7 + 8 + 8 = P − 8 = Q . 1. Discuter et résoudre dans ² ce système

2. Dans un plan rapporté à un repère orthonormé f ; v jjjk ; w jjjk, on considère le point C de coordonnées P; Q. Déterminer le nombre des solutions du système d’après la position du point C dans le plan.

Déterminer les solutions pour P = 2 et Q = 4 Exercice 38 :

1. Résoudre dans l’équation d’inconnue , '&"

√'²&) < ^√''&"^²^&)

2. On considère dans ^", le système suivant : 9 −8 + y = 1

−y + = 1 + 1

− + 8 = 1 − 41; 1 ∈ .

c Montrer que le triplet , 8 , y est solution du système si et seulement si 1²− 31 + 2 = 0

dRésoudre alors le système

Exercice 39 :

Soient deux réels P et Q. On considère le système : 7 + 8 + 8 = P − 8 = Q . 1. Discuter et résoudre dans ² ce système

2. Dans un plan rapporté à un repère orthonormé f ; v jjjk ; w jjjk, on considère le point C de coordonnées P; Q. Déterminer le nombre des solutions du système d’après la position du point C dans le plan.

3. Déterminer les solutions pour P = 2 et Q = 4

(19)

TEKPOLO Crédo

Exercice 38 :

Le plan est muni d’un repère orthonormé f ; ; g. Soit la fonction F: → , ↦ P² + Q + B où P est un réel non nul et Q, B des nombres réels. La représentation graphique de F passe par le point

>0 ; 2 et admet la droite ∆∶ = 2 pour axe de symétrie.

1. Calculer B. Exprimer Q en fonction de P puis F en fonction de et P

2. Suivant les valeurs de P :

aDéterminer le nombre de points d’intersection de et de la droite f ;

bSituer f par rapport à ces points

3. On désigne par le sommet de et par h le milieu du segment >.

aQuel est l’ensemble décrit par h lorsque P décrit ? Déterminer P pour > = 2√2.

Exercice 39 :

1. Former le trinôme F admettant pour zéros les nombres U et V avec U ≤ V et vérifiant les relations :

∑ *3UV − 2U + V = ^Z("_Z("

+

+⁺ = _%Z(+^)Z , 1 ∈ .

2. Pour quelles valeurs de 1 le trinôme F admet – il des zéros vérifiant le système Σ

3. Etudier le signe des racines U et V de l’équation F = 0 4. Peut – on déterminer 1 pour que le trinôme F soit négatif

quelque soit la valeur de ?

5. a) Etablir entre U \ V une relation indépendante de 1 b) Retrouver à l’aide de cette relation les valeurs des zéros doubles de F

(20)

TEKPOLO Crédo

6. On désigne par A et B deux points d’un axe dont les abscisses respectives sont U et V. Peut – on déterminer 1 pour que l’origine O de l’axe soit le milieu du segment >? ? 7. Peut – on déterminer 1 pour que les points >, ?, f et @

d’abscisse = 1 soient conjugués harmoniques ? c'est-à-dire

=

Exercice 40 :

Soit un demi – cercle de diamètre >? = 4 et un point C quelconque sur >? tel que >C = . On décrit l’intérieur de ce demi – cercle, les demi – circonférence de diamètre >C et C?.

1. Déterminer en fonction de , l’aire de la portion de surface

comprise entre la demi – circonférence de diamètre >? et les demi – circonférences de diamètres >C et C?. Colorier cette surface.

2. Pour quelles valeurs de , l’aire de la partie coloriée sera – t – elle la moitié de l’aire du demi – disque de diamètre >??

Exercice 41 :

1. a) Résoudre dans l’équation :

^% + 2P + Q² − P − Q = 0, où P et Q sont deux nombres réels donnés.

b) Résoudre dans : √² + 6 + 6 ≥ |2 + 1|

2. Résoudre dans ² : a7 + 8 + 48 = −13 + 8 − 8 = 0. b7 + 38 = −23²− 78² = 12.

c) * 1√2 − 38√3 = _√⁺

−√3 + 218√2 = _√"⁺ . , 1 ∈

(21)

TEKPOLO Crédo

Exercice 42 : Soit l’équation :

∶ 1 − 2² + 21 − 4 + 1 − 41 + 2 = 0

1. Discuter l’existence et le signe des solutions de suivant les valeurs du paramètre réel 1.

2. Lorsque admet deux solutions + et , déterminer une relation indépendante de 1 entre ₊ et . Retrouver à l’aide de cette relation, les valeurs des solutions doubles.

3. Calculer en fonction de 1, l’expression 8 = _' ⁺

c(++_' ⁺

d(+. Trouver les valeurs de 1 pour lesquelles 8 = 2

Exercice 43 : I/

1. Résoudre les équations suivantes : a) − 5 + 4 = 0 b) − 5 + 4 = 0

2. Résoudre en effectuant un changement de variable approprié : ² − 3 + 6 = 5√² − 3 + 2

II/ On considère l’équation paramétrique

R,S ∶ ∈ , ^% + P^" + Q²+ P + 1 = 0 où P, Q sont des paramètres réels.

1. Vérifier que 0 n’est pas solution de _R,S

2. Montrer que si U est une solution de _R,S alors ⁺ est aussi une solution de _R,S

3. Introduire l’inconnue auxiliaire = + ⁺_' et former une équation du second degré ′_R,S en

4. Soit CP ; Q un point du plan. Déterminer et construire la région du plan à laquelle doit appartenir C pour que ′_R,S ait au moins une solution.

(22)

TEKPOLO Crédo

5. On suppose que C ∈ . Résoudre ′_R,S

6. Quelles conditions doivent vérifier les solutions de ′_R,S pour que _R,S ait au moins une solution ?

7. Résoudre _R,S. On notera ₊ et les solutions obtenues au 5) et on discutera suivant les valeurs de ₊ et .

Exercice 44 :

On considère l’équation _Z définie par : ∈ , ⁺1^% + 1 + 1^" − 1² − 1 + 1 +⁺1 = 0

1. Résoudre l’équation pour 1 = 0 2. On suppose que 1 ∈ ^∗

aMontrer que 0 n’est pas solution de _Z

bEn posant = +_'⁺, montrer que _Z peut se mettre sous la forme F = 0

c Déterminer les réels solution de l’équation F = 0 et en déduire les réels solutions de _Z

(23)

TEKPOLO Crédo

Exercice 1 :

Résoudre dans ℝ, par la méthode de Cramer, les systèmes d’inconnues

^, ∈ ℝ⁶.

a) 72 + 28 = 13 + 48 = 6.. b) 3 + 28 = 1

2 +^%_"8 = _".. c) *

+

" −⁺8 = 1

− + ^"8 = _". . Exercice 2 : Résoudre dans ℝ⁶.

a) , 8 ∈ ℝ,*

"

'&++ 28 − 5 = 5

&

'&++ 78 − 5 = 5.. b) , 8 ∈ ℝ,11√ + 16/8 = 531

13√ + 19/8 = 629.. c) , 8 ∈ ℝ,758 + 3 = 4428 − 5 = −1..

d) , 8 ∈ ℝ,7 3² − 28 = 23−2 + 58 = −8..

e) , 8 ∈ ℝ, 7√1 − 3 − 6/58 = 23 9√1 − 3 − 11/58 = 23. Exercice 34 :

Résoudre suivant les valeurs du paramètre réel X, les systèmes d’équations suivants :

SYSTEME D’EQUATIONS ET

D’INEQUATIONS

(24)

TEKPOLO Crédo

a) , 8 ∈ ℝ, 71 + 8 = 1 − 8 = 3 .. b) , 8 ∈ ℝ, 7 + 8 = 1

− 18 = 1²..

c) , 8 ∈ ℝ, 71 + 1 − 1 − 18 = 23 − 58 = −2. Exercice 4 :

1. Résoudre dans ℝ^` par la méthode du Pivot de GAUSS a) , 8, y ∈ ℝ^", 9 + y = 8

8 + y = 10 + 8 = 5..

b) , 8, y ∈ ℝ^", 9 + 28 + 3y = 2 48 + 3y = −1

3 − 68 − 5y = 4 .. c) , 8, y ∈ ℝ^", 9 + 8 + y = 1

2 + 38 + 6y = 3 2 − 98 + 12y = 0.. 2. On donne : F = 5² + 8 + 9.

Trouver trois nombres réels P, Q et B tels que, ∀ ∈ ℝ, on ait : P + 1 + Q + 1 + B = F.

Exercice 5 : Résoudre dans ℝ^` :

a) , 8, y ∈ ℝ^", 72 + 58 − 6y = 8 + 8 − 6y = 0.. b) , 8, y ∈ ℝ^", + 8 − y = 0 2 − 3y = 0..

(25)

TEKPOLO Crédo

Exercice 6 : Résoudre graphiquement : , 8 ∈ ℝ, 92 + 8 − 2 ≥ 0

2 + 38 ≤ 2 − 8 > 0.. Exercice 7 :

1. Résoudre par la méthode de GAUSS : a) Σ₊: 9 2 − 38 + y = 3

− + 58 − 3y = 1 4 + 8 − 2y = −5.. b) Σ: 94 + 38 − 2y = −4

3 + 8 − 2y = 1

−5 − 28 + 3y = −1. c) Σ_": 92 + 38 − y = −7

− 28 + 2y = 11 5 + 8 + 4y = 15.. 2.

a) 9 − 8 + 2 > 0 2 + 8 − 3 > 0 + 38 + 6 > 0.

b)

≥ 0 8 ≥ 0 6 + 38 ≤ 90 4 + 128 ≤ 144

2 + 28 ≤ 36

.

3.

Soit la fonction F ∶ ² → ; ; 8 ↦ + 8 et le système

∶

> 0 8 > 0 2 + 8 ≤ 4 2 + 58 ≤ 10

.

a. Représenter graphiquement l’ensemble des points vérifiant ce système

(26)

TEKPOLO Crédo

b. Trouver graphiquement le maximum sur cet ensemble de la fonction F. Donner un élément de cet ensemble en lequel ce maximum est atteint.

Exercice 8 :

Les organisateurs d’un concours proposent aux classes lauréates un voyage. Ils s’adressent à un transporteur qui dispose de 10 BP de 40 PB et de 8 BP de 50 PB. Les cars devront transporter 540 (les élèves et leurs accompagnateurs). Le transporteur demande 2500G par autocar de 40 PB et 3000Gpar autocar de 50 PB.

Déterminer le nombre de BP de chaque type qui occasionnera la dépense la plus faible possible pour les organisateurs.

Exercice 9 :

La compagnie d’aviation « Speed Air » dispose d’une flotte de 7 PP ? d’une capacité de 120 PPM permettant de transporter 6\ de fret et 5 PP @1P d’une capacité de 200 PPM et 4 \ de fret.

Un ? et un @1P offrent respectivement 105 PB et 150 PB de PPM en classe touriste, le reste des PPM

en classe affaire.

« Speed Air » doit transporter au même moment, pour une même destination :

a) 740 PPM en classe touriste ; b) 150 PPM en classe affaire ; c) 29 \ de fret.

1. Tracer le polygone des affrètements possibles pour réaliser ce transport.

2. Sachant que pour ce voyage, l’affrètement d’un ? coûte 350.000G et que celui d’un @1P coûte 500.000G. Quel est le nombre d’avions de chaque sorte qui minimise la dépense de la compagnie.

(27)

TEKPOLO Crédo

Exercice 1 : On donne :

a) F : ℝ ⟶ ℝ ⟼ ^'&+_'²&+.

b) M : −3; +∞ ⟶ ℝ

⟼ _/+&'²^' . c) ℎ : −4; 4 ⟶ ℝ

⟼ %'&"

¡'. d) : −2; +∞ ⟶ ℝ

⟼ _¡'(+⁺ .

Déterminer le domaine de définition de chacune des fonctions F, M, ℎ et et préciser si la fonction est une application.

Exercice 2 : On donne :

a) F = |2 − 3| − |2 + 3| + . b) F = ⁺² − − 3.

c) F = | + 1| + | − 1| − | − 2|.

1. Pour chacune des fonctions, faire la représentation graphique.

2. Résoudre l’équation : F = 0. 3. Déterminer graphiquement :

• Le nombre de solution de l’équation ′: F = 1 où 1 ∈ ℝ.

• L’ensemble de définition de : M = _t'⁺ et ℎ = /F. Exercice 3 :

1. Construire la courbe de la fonction : F : ℝ ⟶ ℝ

⟼ − 2 − 1.

FONCTIONS ET APPLICATIONS

(28)

TEKPOLO Crédo

2. Trouver par calcul l’ensemble des antécédents de 0 et 1. Vérifier ce résultat sur le graphique.

Exercice 4 :

Soient F et M définies de ℝ ⟶ ℝ par : F = _'(+^' et M = √.

1. Déterminer le domaine de définition de F et M.

2. On considère la fonction ℎ : ℝ⁽ ⟶ ℝ/ ℎ = F ∘ M.

a) Déterminer le domaine de définition de ℎ. ℎ est – elle une application ?

b) Expliciter ℎ.

c) ℎ est – elle injective ? surjective ? peut – on dire que ℎ est bijective ?

3. Soit : 2⁺; +∞5 ⟶ ℝ

⟼ √2 − 1. a) Montrer que est une bijection.

b) Expliciter sa bijection réciproque.

Exercice 5 :

On considère l’application : 2⁺; +∞5 ⟶ ℝ ⟼ F/ Si ∈ 0; 2, F = − + 1.

Si ∈ 2; 3, F = 2. Si ∈ 3; 6, F = − 3.

Trouver graphiquement l’image directe des intervalles suivants : 0; 1 ; 2; 3 et 4; 6.

Exercice 6 :

On donne l’application : F : ℝ ⟶ ℝ

⟼ − 1.

Trouver l’ensemble des antécédents par F de chacun des réels suivants : 3 ; 6 ; £² − 1 ; 0 ; −1 ; −2.

(29)

TEKPOLO Crédo

Exercice 7 :

On donne l’application : F : ℝ ⟶ ℝ ⟼ ^'(+_'&+.

a) Calculer A_t.

b) Trouver l’ensemble des antécédents par F, de :2 ; −1 ; ^"

%; −0,5 ;

−1.

c) Construire la représentation graphique @ de F.

d) Déterminer graphiquement l’image réciproque de 0; 1 par F. e) Retrouver ce résultat par calcul.

Exercice 8 :

On donne l’application F : 0; 6 ⟶ ℝ ⟼ F/ Si ∈ 0; 2, F = 2 − 1.

Si ∈ 2; 3, F = − + 3. Si ∈ 3; 6, F = 2 n^'_"− 1o.

Trouver graphiquement l’image directe des intervalles suivants :

−1; 0 ; −1; 0 ;−1; 1 ; 1; 2 et 1; 3. Exercice 9 :

1. Soit F : −4; 4 ⟶ −3; 1 ⟼ ⁺ − 1.

a) Montrer que F est une application.

b) Montrer que F est une bijection et déterminer sa bijection réciproque notée F^&+.

2. Soit F : ℝ ⟶ ℝ ⟼ ^'(+_'&+.

b) Trouver et g pour que M soit une bijection de vers g. c) Expliciter M^&+.

d) Construire les courbes @_¤ et @_¤^¥c dans le même repère.

(30)

TEKPOLO Crédo

Exercice 10 :

F : ℝ ⟶ ℝ et M : ℝ ⟶ ℝ

⟼ _'⁺ ⟼ √ − 1. a) Trouver At∘¤ et A¤∘t.

b) Expliciter F ∘ M et M ∘ F. Exercice 11 :

1. F : ℝ ⟶ ℝ ; M : ℝ ⟶ ℝ

⟼ |2 + 1| + |2 − 1| ⟼ | − 2|

ℎ : ℝ ⟶ ℝ

⟼ 2^" − .

a) Etudier la parité de F, M et ℎ.

b) En déduire, si ils existent, des éléments de symétrie.

2. F : ℝ ⟶ ℝ et M : ℝ ⟶ ℝ ⟼ − 2 + 1 ⟼ ^'&+_'&.

a) Montrer que la droite d’équation ∆: = 1 est axe de symétrie de

@_t.

b) Calculer la fonction M telle queM = F + 2 − 2.

Etudier la parité de M. En déduire que @_¤ admet un centre de symétrie que l’on précisera.

Exercice 12 :

1. On considère la fonction F : ℝ ⟶ ℝ définie par : F = _'²(+'(¦^'²(-'( .

Démontrer que la représentation graphique de F admet comme axe de symétrie la droite A: = −3.

2. On considère la fonction F : ℝ ⟶ ℝ

⟼ 8^" − 6 + 12 + 9.

Démontrer que la représentation graphique de F admet comme centre de symétrie le point Ω n⁺; 10o.

3. On donne : F = _'&%^" .

(31)

TEKPOLO Crédo

Donner les coordonnées du centre de symétrie de la représentation graphique de F.

4. On donne : F = ^)'("_'&).

Donner les coordonnées du centre de symétrie de la représentation graphique de F.

Exercice 13 : Soit F : ℝ ⟶ ℝ

⟼ ⁺|| − 2. 1.

b) Etudier la parité de F.

2. Soit M la restriction de F à 0; +∞ et @₊ sa représentation graphique.

a) Ecrire M sous forme canonique.

b) Construire la courbe @₊ de M. c) Déduire la courbe @ de F. 3. Soit 1 un paramètre réel.

a) Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation : ∈ ℝF = 1.

b) F est – elle une application :

• Injective ?

• Surjective ?

• Bijective ?

Justifier chaque réponse.

4. Soit F : ℝ ⟶ ℝ

⟼ ⁺ + 1| + 1| − 2 et Γ sa représentation graphique.

a) Montrer que le point Ω−1; 2 est un centre de symétrie de Γ.

b) Calculer F + 1 puis trouver une relation entre ℎ et F + 1.

c) Comment peut – on obtenir Γ à partir de @. d) Construire Γ et @ dans un même plan.

(32)

TEKPOLO Crédo

Exercice 14 :

I. Voici la courbe @ représentative d’une fonction F affine par intervalle, dans le plan muni d’un repère orthonormé.

1. Quel est son ensemble de définition ? 2. Donner l’expression de F.

3. Démontrer que F est une bijection de A_t sur un intervalle g que l’on précisera.

4. Construire dans le même repère la courbe @^O représentative de la bijection réciproque F^&+.

5. Donner l’expression de F^&+. II. On pose M = F||

a) Déterminer l’ensemble de définition de M noté A_¤. b) Montrer que M est une fonction paire.

c) Déterminer l’intervalle h sur lequel F et M coïncident.

d) Construire la courbe @¤ dans un nouveau repère ′ en vous aidant de la

courbe @.

III. On pose ℎ = F| + 1| − 2. a) Exprimer ℎ à l’aide de M.

−3 0

4

−4

−2 1 5

(33)

TEKPOLO Crédo

c) Par quelle transformation du plan peut – on passer de @_¤ à @_©. d) Construire la courbe @_© dans le même repère ′ que @_¤.

IV. Soit G la fonction périodique, de période 7 et qui coincide avec F sur l’intervalle −3; 4.

1. Calculer G−3 ; G−2007 ; G1995 et G n−^¦+o. 2. Construire la courbe Γ de G sur l’intervalle −10; 11. Exercice 15 :

On considère les fonctions

F : ℝ ⟶ ℝ et M : ℝ ⟶ ℝ ⟼ ^'(/'&'_'&+ ^d ⟼ ||.

On désigne par @ et @^O les courbes représentatives respectives de F et M dans le plan muni d’un repère 0, vk, wk.

1. Déterminer l’ensemble de définition de F.

2. Montrer que le point Ω⁺₊ est un centre de symétrie de la courbe

@.

3. Soit ℎ = F ∘ M.

a) Déterminer l’ensemble de définition de ℎ. b) Etudier la parité de ℎ.

c) Voici la représentation graphique partielle de la courbe @. Reproduire puis compléter cette courbe.

(34)

TEKPOLO Crédo

Exercice 16 : Soit la fonction F : ℝ ⟶ ℝ

⟼ | − 2| et @ sa courbe représentative dans un repère orthonormé 0, vk, wk. 1. Montrer que F est application de ℝ vers ℝ. 2. Construire @.

3.

a) Utiliser @ pour discuter suivant les valeurs de 1 le nombre de solutions de l’équation : ∈ ℝ, F = 1. 1 étant un réel quelconque.

b) L’application F est – elle injective ? surjective ? bijective ? On justifiera chaque réponse à l’aide de 3. a).

4.

a) Déterminer l’image directe de 0; 2 et de 5⁺; 32 par F.

b) Déterminer l’ensemble des antécédents de −1 et de 1]2 par F. c) Déterminer l’image réciproque de 5−1;⁺2 par F.

1

0 1

(35)

TEKPOLO Crédo

5. Soit M la restriction de F à l’intervalle −1; 1.

a) Montrer que M est une bijection de −1; 1 sur un intervalle g qu’on précisera.

b) Donner l’expression de sa bijection réciproque M^&+.

c) Construire dans le même plan que @ la courbe Γ représentative de M^&+.

6. Soit ℎ : ℝ ⟶ ℝ

⟼ | − 2| + 2 et @′ sa courbe représentative.

a) Montrer que @^O est l’image de @ par une translation que l’on précisera.

b) Construire @′ dans le même plan que @. Exercice 17 :

Soit F : ℝ ⟶ ℝ et M : ℝ ⟶ ℝ ⟼ /2 − || ⟼ ^'&+_'(+.

1. Déterminer les ensembles de définition des fonctions F, M, F ∘ M et M ∘ F.

2. Définir explicitement F ∘ M et M ∘ F.

3. Montrer que M réalise une bijection de A_¤ sur un intervalle g que l’on précisera.

4. Définir la bijection réciproque M^&+.

5. Montrer que le point Ω−1; 2 est un centre de symétrie de la courbe @ de M.

6. On pose M : ℝ ⟶ ℝ ⟼ ^'(+_'&+.

Démontrer qu’on peut obtenir la courbe @^O de ℎ à partir de la courbe

@ de M par une transformation que l’on précisera.

Exercice 18 :

Soit h la fonction numérique définie de ℝvers ℝ par h = ^R'(S_'& . Où P et Q sont des réels.

1. Déterminer A_ª de h.

2. Déterminer P et Q sachant que h n⁺o = _" et h n⁺_"o = 1.

(36)

TEKPOLO Crédo

3. SoitF : − «2¬ ⟶ ℝ ⟼ %'&"

'&.

a) Montrer que F est une application injective.

b) Soit U, un réel différent de 4.

4. Montrer que l’équation F = U admet une solution unique pour tout U ≠ 4. En déduire que F est une application bijective de − «2¬ ⟶ − «4¬.

5. Déterminer F^&+ et construire @_t et @_t^¥c. Dans un même repère f, vk, wk.

Exercice 19 :

On donne les fonctions F et M, définies de ℝvers ℝ par : F = _'("^' et M = ⁺ + 1 − 2.

1.

a) Montrer que M est une application de ℝvers ℝ.

b) Soit P un nombre réel. Calculer M−P − 2 et MP et les comparer.

c) Déterminer par calcul M〈ℝ〉.

d) L’application F est – elle injective ? surjective ? bijective ? on justifiera les réponses.

2. On désigne par ℎ la restriction de M à l’intervalle = −1; +∞. a) Montrer que ℎest une bijection de sur g = −2; +∞.

b) Définir la bijection réciproque ℎ^&+.

3. On pose = F ∘ M.

a) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction . b) Donner l’expression de .

c) Montrer que la fonction est bornée.

Exercice 20 :

Soit l’application : F : −2; 5 ⟶ −1; 7 telle que : ∈ −2; 0, F = −1.

∈ 0; 2, F = ²

(37)

TEKPOLO Crédo

∈ 2; 5, F = + 2. A.

1. Etudier F, dresser son tableau de variation et représenter sa courbe @_t.

2. Utiliser cette représentation graphique pour : a) Trouver l’image de : −1 ; √2 ;−1; 0 ; −1; 1.

b) Trouver l’image réciproque de : −1 ;4 ;−1; 0 ;−1; 1.

B. On considère la restriction F_i de F l’intervalle 0; 5 ⟶ −1; 7 1. Montrer algébriquement que Fi est bijective. Vérifier les

résultats graphiquement.

2. Tracer la courbe de la fonction réciproque F_i^&+ de F_i. 3. Déterminer l’expression de la réciproque F_i^&+ de F_i. Exercice 21 :

Soit trois fonctions numériques : F : ℝ ⟶ ℝ ; M : ℝ ⟶ ℝℎ : ℝ ⟶ ℝ ⟼ ^&''&" ⟼ ^("'_+(' ⟼ − − 1².

1.

a) Montrer que ℎ est strictement monotone sur l’intervalle =

−10,1.

b) Déduisez – en que ℎ est une bijection de sur un intervalle à préciser.

2.

a) Déterminer l’ensemble de définition deM ∘ F et de F ∘ M. b) Définir F ∘ M et M ∘ F.

c) A – t – on : ∀ ∈ ℝ, F ∘ M = ? Exercice 22 :

Soit F une application de l’ensemble > dans l’ensemble >. On désigne par l’application identique de >. On dit que F est involutive lorsque FF = .

1. Montrons que si F est involutive alors :

(38)

TEKPOLO Crédo

aF est bijective bF = F^&+

2. Application 1. Soit M: − «1¬ → − «1¬ ; ↦ ^'("_'&+

aDéterminer MM. En déduire que M est involutive

bConstruire la courbe de M et la courbe de M^&+ dans un même repère

3. Application 2. Soit l’application ℎ ∶ ² → ² ; ; 8 ↦ n−^"₎ +^%₎8 ; ^%₎ +^"₎8 o.

A l’aide des résultats de la question 1, montrer que ℎ est bijective puis en déduire ℎ^&+.

Exercice 23 :

I/ soit F une bijection de vers G et M une application de G vers . 1. Montrer que : M F = F M = G ⇒ M = F^&+

2. Soit F une bijection de sur G et M une bijection de G sur ±. Démontrer que MF est une bijection de sur ± et que

MF^&+ = F^&+M^&+

II/ soit une application F d’un ensemble vers un ensemble G. 1. Montrer que s’il existe une application M de G dans telle que

M F = alors F est injective.

2. Montrer que, s’il existe une application ℎ de G dans telle que F ℎ = G, alors F est surjective

3. Montrer que s’il existe deux applications M et ℎ de G dans

telles que M F = et F ℎ = G alors F est bijective et l’on a : ℎ = M

(39)

TEKPOLO Crédo

Préparation :

Exercice 1 : A/ Calculer les limites suivantes :

1. _'→ilim ^√+('&+_' et en déduire _'→ilim √+(µ¶·'&+

'

2. _'→ilim n^µ¶·_'_²^²^' −^+&T¸µ'_'_² o 3. _'→ilim ^+&T¸µ'_'¹R·'

B/ On donne : F = ^'(¡'_'_²

a) Montrer en utilisant la définition de la fonction partie entière que pour tout ∈ , − 1 < ≤

b) En déduire _'→&∞lim F et _'→(∞lim F

C/ On donne F = + √² + − 6 et M = 0^&'_'("

Déterminer les ensembles de définition de F et M puis calculer les limites aux bornes des ensembles de définition de chacune des fonctions F et M.

Exercice 2 :

A/ Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes : 1. F: → ; ↦ ^√%&'_√+&'^²

ETUDE DE FONCTIONS NUMERIQUES DE LA VARIABLE

REELLE

(40)

TEKPOLO Crédo

2. M ∶ → ; ↦ _'&¡'⁺

B / Soit l’application ℎ: −∞ ; 1 → ; ↦ ²− 2 − 3 1. Montrer que ℎ est une bijection de = −∞ ; 1 sur un

intervalle g que l’on précisera.

2. Construire la courbe @ de F

3. Construire la courbe @^′ de la bijection réciproque de ℎ dans le même repère

4. Expliciter la bijection réciproque ℎ^&+

PROPOSE 1 :

A. Soit le polynôme M = −5^" − 11² + 4 + 12. 1. Montrer que 1 est racine de M

2. Résoudre dans IR l’équation M = 0

B. On considère la fonction F_R définie par F_R = '²("'(R '²(n^º_dR(+o'("

avec P ∈ .

1. Déterminer suivant les valeurs du paramètre réel Pl’ensemble de définition AR de la fonction FR.

2. Déterminer les limites aux bornes de du domaine de définition AR de FR

3. Déterminer suivant les valeurs du paramètre P l’ensemble

@R ∩ f

4. On prend P = 5 et on pose ℎ = |FR|.

a) Etudier le signe de F₎ suivant les valeurs de .

(41)

TEKPOLO Crédo

PROPOSE 2 :

1. Soit la fonction M définie par 9M = 1 − ≥ −1 M = ^&'_'^d^('("_d_&+ < −1. a) Déterminer l’ensemble de définition A_¤ de M

b) Etudier la continuité de M en −1

2. Le plan est muni d’un repère orthonormé f; ; g. On considère les courbes @Z d’équation F = '²&Z'&+

'²(Z'(+ où 1 est un paramètre réel.

a) Déterminer suivant les valeurs de 1 le domaine de définition de F_Z.

b) On suppose maintenant que 1 ∈ — «−1 ; 0¬. Démontrer que toutes les courbes @Z passent par un seul point fixe A.

PROPOSE 3 :

A. Soit la fonction M définie par :

*M = ² + − 6 < 2 M = 2 − P > 2

M2 = Q

.

Pour quelles valeurs des nombres réels P et Q, la fonction M est – elle continue en 2 ?

B. Soient M et ℎ les fonctions de vers définies par M =

'^¼("'² '(+ et

ℎ = ² + 2 − 2.

On désigne par @_¤ et @_© les courbes représentatives respectives de M et ℎ dans un plan rapporté à un repère orthonormé f ; ; g. 1. Etudier les variations de ℎ

2. a/ Etudier les variations de M

b/ Déterminer les points d’intersection de la courbe @_¤ avec l’axe des abscisses ; donner les équations des tangentes à la courbe en ces points.

3. Soit un nombre réel différent de −1. On désigne :

(42)

TEKPOLO Crédo

- Par M le point de la courbe @_¤ d’abscisse ; - Par N le point de @© d’abscisse ;

b) Calculer lim_'→(½DC et lim_'→&½DC

5. Utiliser la courbe @_¤ pour déterminer : a) L’imagez directe par M de −2; 0

b) L’image réciproque par M de l’intervalle 0 ; +∞.

6. Soit la fonction définie de vers par = M − 1 + 2. On désigne par @_¶ la courbe représentative de dans le repère f ; ; g.

a) Par quelle transformation la courbe @_¶ se déduit – elle de la courbe @_¤ ?

b) Tracer la courbe @_¶. PROPOSE4 : Soit la fonction F: → → "'²(%'&"

'²&+

On désigne par @ sa représentation graphique dans le plan muni d’un repère orthonormé f ; ; g d’unité graphique 2B1.

1. a/ Déterminer l’ensemble de définition D de la fonction F.

b/ Déterminer les réels P, Q, et B tels que pour tout de D, on a : F = P +_'&+^S +_'(+^T .

2. a/ Etudier le sens de variation de la fonction F b/ Calculer les limites de F aux bornes de D

3. Soit I le point de @ d’abscisse = 0. Montrer que I est le centre de symétrie de la courbe @

4. Ecrire une équation de la tangente m à @ au point i et tracer m.

5. a/ Soit M le point de @ d’abscisse et P le point de m de même abscisse. Exprimer C en fonction de et étudier le signe de pour C ∈ −1 ; 1