TRANSFORMATIONS DU PLAN
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Exercice 1 :
I- Soit >, ? et @ un triangle rectangle en > tel que >? = 2 et
>@ = 4. Soit C(, 8 un point du plan, soit le système
>; 2 − 1; n?; 8 − +o ; @; 3ó.
a) Discuter suivant la position du point C dans le plan l’existence du barycentre de .
b) En déduire que n’admet pas de barycentre si et seulement si C appartient à une parabole @i dont on précisera l’équation.
c) Représenter @i dans le plan muni d’un repère orthonormé f, vk, wk.
II- On considère la parabole R d’équation :
= 1 2] ² + 2P − 2P1 − P ; P ∈ ℝ.
1. Démontrer que pour tout P ∈ ℝ∗, R est l’image de i par une translation d’un vecteur jjjjkR que l’on précisera.
2. Montrer que pour tout P ∈ ℝ la droite A d’équation = −2P est un axe de symétrie de R.
3. Représenter i, + et dans même repère orthonormé.
4. Déterminer la courbe décrite par la symétrie R des paraboles R. 5. Discuter suivant les valeurs du réel 1, le nombre de point
d’intersection de R et AZ d’équation = + 1.
6. En déduire qu’il existe une droite ∆ tangente à toutes les courbes R.
Exercice 2 :
On considère un triangle ABC et son centre de gravité G. soit M le milieu du segment ?@. On désigne par ℎ l’homothétie de centre G qui applique A sur M et par \ la translation de vecteur ?@jjjjjk.
1. Trouver ℎ \?, ℎ \@, \ ℎ? \ \ ℎ@
2. Trouver la nature et les éléments caractéristiques de chacune des transformations ℎ \ et \ ℎ
Analyse - Géométrie
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Exercice 3 : On considère :
- Le cercle (@+) de centre f+ et de rayon - Le cercle (@) de centre f et de rayon
Soit f le centre de l’homothétie ℎ de rapport positif qui applique (@+) sur (@).
1. a/ Construire le point f
b/ Calculer ff+ et ff en fonction de f+f
2. On considère la translation \ de vecteur fjjjjjjjjjjk +f
a) Trouver ℎ \(f+), ℎ \(f), \ ℎ(f+)\ \ ℎ(f)
b) Trouver la nature et préciser les éléments caractéristiques de chacune de ces transformations.
Exercice 4 :
Etant donné un point O et un vecteur non nul jk, on considère l’homothétie ℎ de centre O, de rapport " et la translation \ de vecteur
jk.
1. caractériser la transformation F dans chacun des cas suivants : a) ℎ = F \
b)ℎ = \ F 2. Montrer que :
a) ℎ&+ \ ℎ est une translation dont on déterminer le vecteur.
b) \&+ ℎ \ est une homothétie dont on déterminera le centre et le rapport.
Exercice 5 :
On considère deux points distincts A et B. on désigne par : - ℎ l’homothétie de centre A et de rapport 1 non nul - ℎ’ l’homothétie de centre B et de rapport 3
1. Déterminer 1 pour que ℎO ℎ soit une translation. Exprimer le vecteur de cette translation en fonction de jjjjjk >?
2. Dans le cas où ℎO ℎ est une homothétie, déterminer, suivant les valeurs de 1 le centre et le rapport de cette homothétie.
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Exercice 6 :
On considère trois points A, B et C tels que : ? ∈ >@ et >@ = 3>?. On désigne par ℎ l’homothétie de centre A et de rapport −+ et par ℎ′ l’homothétie de centre B et de rapport ".
1. Caractériser la transformation F telle que ℎOF = ℎ.
2. On désigne par ℎ′′ l’homothétie de centre C et de rapport Á (Á ≠ 0). Déterminer Á pour que ℎOO ℎ soit une homothétie de centre B. quel est la rapport de cette homothétie?
Exercice 7 :
On considère deux points distincts A et B.
1. Soit l’application : F: z → z
C ⟼ C′ telle que C′ soit le barycentre des points pondérés (>, 2), (?, −2) \ (C, 1).
Montrer que F est une translation que l’on caractérisera.
2. On considère l’application M: z → z C ⟼ C′ telle que ′(>, 1), (?, 2) \ (C, −1).
Montrer que M est une homothétie que l’on caractérisera.
3. Caractériser chacune des transformations M F et F M. Exercice 8 :
On donne un point O du plan z, un vecteur Ñk et un nombre réel non nul Á. On considère l’application Fjk,á : z → z
C ⟼ C′ telle que jjjjjjjjk = Ñk + ÁfCfC′ jjjjjjk 1. a/ Vérifier que Fjk,á est une transformation du plan.
b/ caractériser chacune des applications Fijjk,á ; Fjk,+ ; Fijjk,+
2. on suppose que Ñk ≠ 0jk \ Á ≠ 1
a) Montrer que Fjk,á admet un unique point invariant.
b) Vérifier que Fjk,á est une homothétie que l’on précisera.
Analyse - Géométrie
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Exercice 9 :
Le plan est rapporté au repère orthonormé (f ; vk ; wk) et Á un nombre réel. On considère l’application Fá du plan dans lui – même qui, au point C( ; 8 associe le point COO ; 8O telle que :
* O = Á +√+ + 8 8O = √+ − 8 + Á + 1.
1. Démontrer que Fá est une isométrie
2. Déterminer, suivant les valeurs du nombre réel Á, l’ensemble des points invariants par cette application
3. Donner suivant les valeurs de Á, la nature de Fá et donner ses éléments caractéristiques.
Exercice 10 :
Soit F l’application du plan dans lui-même d’expression analytique dans le repère orthonormé f ; vk ; wk : *O = +&"'(%:
)
8O = (%'(":) . 1. Démontrer que F est bijective et déterminer F&+
2. Trouver l’ensemble des points invariants par F
3. Déterminer l’ensemble des milieux des segments CFC quand C parcourt le plan.
4. Démontrer que le vecteur CFCjjjjjjjjjjjjjjjk appartient, pour tout C du plan, à une droite vectorielle fixe.
5. En déduire la nature de F
Exercice 11 :
Soit F l’application du plan dans lui-même d’expression analytique dans le repère orthonormé f ; vk ; wk : 7O = −2 − 8 + 3
8O = + 1 .
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1. Démontrer que F est bijective et déterminer F&+
2. Trouver l’ensemble des points invariants par F
3. Soit (A):P + Q8 + B = 0. Démontrer que l’image de A est une droite dont on donnera une équation.
4. Une droite du plan peut – elle être : a) Parallèle à son image ?
b) Invariante ?
c) Perpendiculaire à son image ?
5. Soient I et J les points de coordonnées respectives 1 ; 0 ; 0 ; 1
a) Déterminer les images fO ; O ; g′ respectivement des poits f ; ; g par F
b) Démontrer que quelque soit le point C, d’image C′ par F, il existe deux nombres réels P et Q tels que : f′C′jjjjjjjjjk = Pfjjjjjjjk +O′ Qf′g′jjjjjjjk et donner P et Q en fonction des coordonnées de C. c) Quelle est la propriété de F mise ici en évidence ?
Exercice 12 :
Soit @ le cercle de centre O, A et B deux points distincts du cercle. I est le milieu du segment >?. Pour tout M de l’ensemble = @ −
«>; ?¬, on considère le point N barycentre des points pondérés
?, 1; C, 2.
1. a/ Faire une figure et exprimer le vecteur ?Djjjjjjk en fonction du vecteur ?Cjjjjjjk
b/ Déterminer et tracer sur la figure l’ensemble @+ décrit par le point N lorsque M décrit E.
2. soit J le milieu du segment D?. Soient ∆\ ∆Oles droites parallèles à la droite D passant respectivement par les points J et M. Elles coupent respectivement >?en J’ et M’. On désigne par P le point d’intersection des droites >C et D. a) Montrer que J’ est le milieu du segment ?
Analyse - Géométrie
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b) Montrer que M’ est le milieu du segment > et en déduire que M est le milieu de >
c) Déterminer et tracer sur la figure l’ensemble (@) décrit par le point P lorsque M décrit E.
Exercice 13 :
Le plan est rapporté au repère orthonormé (f; vk ; wk). Soit F l’application qui au point C( ; 8 associe le point COO ; 8O défini par : 7O = 8
8O = .
1. Démontrer que quelque soient les points M et N d’images respectives M’ et N’ on a : CODO = CD. Conclure
2. a/ Déterminer l’ensemble A des points invariants par F
b/ Démontrer que pour tout point M du plan, le milieu du segment CC′ est un point de A.
c/ Démontrer que si C n’appartient à A alors les droites CCO et A sont perpendiculaires
3. Reconnaître F et donner ses éléments caractéristiques.
Exercice 14 :
ABC est un triangle rectangle de sens direct tel que >? = 2>@ et 1>?jjjjjk; >@jjjjjk = Í. On désigne par I le milieu du segment >?.
1. a/ Déterminer puis construire l’ensemble Г des points M du plan tels que : C?jjjjjjk ∙ C@jjjjjjk = 0
b/ Montrer que A appartient à Г
2. a/ Justifier l’existence d’une rotation qui transforme > en et
@ en ?
b/ Quelle est la mesure de l’angle orienté de cette rotation c/ Démontrer que le centre Ω de est un point de Г
d/ Placer Ω puis construire l’image M’ de Г par .
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Exercice 15 :
Soit un triangle >?@. On considère un point C du segment >? et un point D du segment >@ et on pose : ?@ = P ; >? = B ; @> = Q ; >C = et >D = 8
1. a) Démontrer que le triangle >CD a même périmètre que le quadrilatère C?@D si et seulement si + 8 = +P + Q + B (1)
b) Démontrer que le triangle >CD a même aire que le quadrilatère C?@D si et seulement si 8 = +QB. (2)
2. En déduire qu’il existe deux points C et D vérifiant à la fois les deux conditions démontrées si et seulement si : P + Q + B² ≥ 8PQB
3. Application numérique : on donne :P = 11 ; Q = 8 et B = 13. Vérifier l’existence des points C et D. Calculer les longueurs >C et >D puis CD.
Exercice 16 :
Soit ABC un triangle du plan. On note A’, B’ et C’ les milieux respectifs de ?@ ; @> ; >? et ± l’isobarycentre de (A, B, C).
soit N un point du plan distinct de A’, B’, C’ et G. on note I, J et K les symétriques de N par rapport à A’, B’ et C’.
1. Placer les points et les segments précédents sur une figure.
Analyse - Géométrie
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2. Démontrer qu’il existe une homothétie ℎ+ transformant A, B, C respectivement en A’, B’, C’. Donner le centre et le rapport de ℎ+.
3. Déterminer l’homothétie ℎ transformant le triplet (A’, B’, C’) en (I, J, K)
4. a/ Préciser la nature de F = ℎℎ+
b/ Prouver que les segments > ; ?g et@h ont même milieu, noté O et que les points N, G et O sont alignés.
Exercice 17 :
>?@A est un carré direct de centre . On appelle (A) la médiatrice du segment ?@, \ la translation de vecteur ?@jjjjjk et la rotation de centre et d’angle Í.
1. Caractériser l’application F = () ( !) () () 2. Prouver l’existence d’une droite (A+) telle que \ = () (c)
et la déterminer
3. Prouver l’existence d’une droite (A) telle que \ = (d) () et la déterminer
4. Déterminer puis caractériser l’application \
5. On construit le triangle A>′?′ de telle sorte qu’il soit direct, isocèle et rectangle en >′. on désigne par h et s les milieux respectifs de ??′ et >>′
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a) Caractériser la similitude de centre A qui transforme > en
>′.
b) Montrer que le triangle Ash est rectanle et isocèle en s Montrer que les droites (As) et (>>′) sont parallèles
Exercice 18 :
On munit le plan z d’un repère orthonormé direct et on considère les points (−1 ; 0) ; G( ; 0) et s(0 ; −) avec ∈ 1 ; +∞. On
désigne par (@) le cercle de centre et de rayon 1 ; (@′) le cercle de centre G et de rayon . (pour la figure prendre = 2)
a) Déterminer en fonction de le centre et la rayon du cercle de centre (@+), image de (@′) par la similitude de centre s, de rapport √ et d’angle de mesure Í%.
b) Dans cette question = 2. Construit l’un des triangles rectangles sCC′ dont le sommet de l’angle droit C appartient à (@′)
Exercice 19 :
Soit ABC un triangle ; A’ , B’ et C’les milieux respectifs des segments
?@, >@ et >?. Soit M un point donné. On note >+ , ?+ et @+ les symétriques du point M par rapport à A’ , B’ et C’. on désigne par C′
le barycentre des points pondérés (>; 1), (?; 1), (@; 1), (C; −1). 1. Montrer que les droites (>>+), (??+) et (@@+) sont
concourantes en C′
2. Soit ± le centre de gravité du triangle >?@. Montrer que
C , C′\ ± sont alignés et préciser la position de C′ sur la droite (C±).
Analyse - Géométrie
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Exercice 20 :
>?@ est un triangle équilatéral de coté 2 (unité en B1. On appelle m la transltion de vecteur >?jjjjjk et ℎ l’homothétie de centre > et de rapport ". 1. C étant un point quelconque du plan, construisez C′ l’image de C
par ℎ ∘ m. 2.
b) Démontrer que >C′jjjjjjjjk = ">Cjjjjjjk +"jjjjjk >?
c) Déduisez – en ℎ ∘ m admet un point invariant Ω tel que >Ωjjjjjjk =
−3>?jjjjjk puis placer Ω.
d) Déduisez – en ℎ ∘ m admet un point invariant Ω tel que ΩM′jjjjjjjjk =
"
ΩCjjjjjjjk puis caractérisez ℎ ∘ m.
3. Soit Γ l’ensemble des points C du point vérifiant : 2C>jjjjjjk + C?jjjjjjk + C@jjjjjjk = 2C>jjjjjjk − C?jjjjjjk − C@jjjjjjk.
a) Vérifier que les points > et s appartiennent à Γ, s étant le pied de la hauteur issue de >.
b) Déterminez puis construisez Γ.
c) Déterminez puis construisez Γ′ l’ensemble que décrit C′, (C′
étant défini en 1.) lorsque C décrit Γ.
Exercice 21 :
Soit >?@ un triangle de sens direct. >?A et >@±G deux carrés
construit extérieurement à >?@ sur les côtés >? et >@. On désigne
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par s le projeté orthogonal de > sur (?@), h le milieu de AG, le centre du carré >?A et g le centre du carré >@±G.
1. On considère les quarts de tours directs et ′, de centres respectifs et g. Démontrer que : ′ = ′&+ &+ = ª.
2. Déterminer l’image de la droite (>s) par ª. En déduire que les points h, s et > sont alignés.
3. Soit >′ = ª(>)
a) Démontrer que : (@) = >′. En déduire que : (@) ⊥ (>′?) b) Démontrer de même que : (?±) ⊥ (>′@)
4. Déduire des questions précédentes que les droites (@), (?±) et (>s) sont concourantes.
Exercice 22 :
Dans le plan orienté, on considère deux points distincts > et ?. On note et les rotations de centres respectifs > et ? et d4qngles de mesure Í. Pour tout point C du plan, on note C+ et C les images respectives de C par et .
1. On considère la transformation m = &+
a) Construire le point @ image de > par m
b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de m c) En déduire la nature du quadrilatère C+C@>
2. On suppose que le point C décrit le cercle (@) de diamètre
>?.
Analyse - Géométrie
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a) Déterminer et construire (@′) décrit par le point C lorsque C décrit (@)
b) Soit à et à les milieux respectifs des segments >? et
?@. Comparer les vecteurs ààjjjjjjjjk et >@jjjjjk.
Déterminer l’ensemble décrit par le point , milieu de C+C quand C décrit (@)
Exercice 23 :
Le plan est orienté. On considère un triangle >?@ équilatéral direct de côté et de centre f.
1. Démontrer que l’ensemble (∆) des points C du plan tels que f@jjjjjk ∙ fCjjjjjjk = +"² est une droite que l’on déterminera.
2. Déterminer le réel Ápour que l’ensemble (A) des points tels que : f@jjjjjk ∙ fCjjjjjjk = Á passe par le milieu du segment ?@. 3. Démontrer que l’ensemble ($) des points du plan tels que
C>²+ C?²+ C@² = 2² est un cercle que l’on déterminera.
Justifier que (∆) est tangente à ($)
4. A tout point C du plan, on associe le point C′ tel que C′ = () ( )(C)
a) Démontrer que C′ est l’image de C par une rotation que l’on caractérisera.
b) Quelle est l’image par de la droite (?@) ? c) Démontrer que f′ = (f) est un point de ($)
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5. A tout point C de la droite (?@), on associe le point C′′, intersection de la droite (>C′) et de (A).
a) Démontrer que C′′ est l’image de C par une similitude à caractériser
b) Construire ($) et déterminer l’ensemble () des points C′′
lorsque C décrit (?@).
Exercice 24 :
Le plan (P) est muni d’un repère (f ; ; g), P étant un nombre réel.
Soit FR l’application de (P) dans (P) qui à tout point 1(; 8 associe COO; 8O vérifiant O = P + 1 − 8 ; 8O = P + 2 − 28.
1. a/ Déterminer les valeurs de P pour lesquelles FR est bijective.
b/ Déterminer P pour que l’on ait : FRFR = H
2. Discuter suivant les valeurs de P l’ensemble des points invariants par FR.
3. Quelle est la nature et les éléments caractéristiques de F+ ?
4. a/ Déterminer l’ensemble ∆ des points C′qui soit image par Fi d’au moins un point C de . Fi
b/ Un point C′ de ∆ étant donné, déterminer l’ensemble des points C de tels que FiC = C′
c/ Montrer que Fi est la composée d’une projection et d’une homothétie dont on précisera les caractéristiques.
Exercice 25 :
Soit dans le plan orienté, un triangle ABC équilatéral direct de centre O. on pose >? = .
1. a/ démontrer que l’ensemble ∆ des points M du plan tels que f@jjjjjk ∙ fCjjjjjjk = +"² est une droite que l’on déterminera.
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b/ Déterminer le réel Á afin que l’ensemble (%) des points du plan tels que f@jjjjjk ∙ fCjjjjjjk = Á passe par le milieu du segment ?@
c/ Démontrer que l’ensemble ($) des points C du plan tes que : C>² + C?² + C@² = 2² est un cercle que l’on déterminera
d/ Justifier que (∆) est tangente à ($)
2. A tout point C du plan on associe le point C′ défini par : CO = () (i)(C) où () et (i) désignent respectivement les symétries orthogonales d’axes respectives (>@) et (>f)
a/ Démontrer que C′ est l’image de C par une rotation dont on donnera les éléments caractéristiques
b/ Quelle est l’image par de la droite (?@) ? c/ Démontrer que fO = (f) est un point de ($)
3. A tout point C de la droite (?@) on associe le point C′′
intersection de la droite (>CO) et de (%). C′ est le point défini en 2.
a. Démontrer que C′′ est l’mage de C par une similitude dont on précisera les éléments caractéristiques
b. Construire l’image ($O) de ($) par
4. Soit D un point de ($) distinct de > et f’. La droite (DfO) coupe ($O′) en E
a. Démontrer que (>D), (>E)ç = (f>), (>f′)ç b. Déterminer (D)
Exercice 26 :
>?@ est un triangle rectangle en >. Soit s le pied de la hauteur issue de >. et g sont les projetés orthogonaux de s respectivement sur (>?) et (>@). On pose >@ = Q et >? = B.
1. Démontrer que les triangles >?@ et >g sont semblables 2. Calculer en fonction de Qet B, le rapport de la similitude é&
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3. Déterminer une homothétie ℎ de centre > et une symétrie orthogonale telles que l’image du triangle >?@ par ℎ soit le triangle >g.
Exercice 27 :
Dans le plan orienté, on considère un triangle >?@, non rectangle de sens direct. A l’extérieur du triangle on trace les carrés >E?, >@
et ?Ùm@, de centres respectifs f+ ; f ; f". On appelle (@+) et (@) les cercles circonscrits aux carrés >E? et >@ . Enfin est le milieu de ?@.
1. (@+) et (@) se coupent en > et en un point >′. Montrer que >′ est sur le cercle de diamètre ?@
2. Soient + et les rotations de centres respectifs f+ et f et de même angle Í.
a) Quelle est la nature de + ? b) Quelle est l’image de ? par + ?
c) En déduire les éléments caractéristiques de +
d) Démontrer que le triangle f+f est rectangle et isocèle
3. a) Quelle est l’image du triangle >?f" par la similitude de centre
?, de rapport √2 et d’angle Í% ?
b) Déterminer une similitude par laquelle le triangle >f+f est le triangle >E@
c) Prouver que les segments >f" et f+f ont même longueur et sont orthogonaux.
Exercice 28 :
Le plan est orienté. (@) est le cercle de centre f, > est un point du cercle (@) et C un point variable de ce cercle, distinct de >. Soit D le
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point du plan tel que >CD soit un triangle équilatéral et tel que 1>Cjjjjjjk ; >Djjjjjjk = Í".
1. Soit la rotation de centre > et d’angle de mesure Í". a) Quelles est l’image du point C par ?
b) Placer l’image f+ du point f par . Montrer que f+ appartient au cercle (@)
2. Déterminer et tracer l’ensemble () décrit par le point D lorsque C décrit l’ensemble (@) privé de >
3. Soit le milieu du segment CD et soit la similitude directe de centre > telle que (C) =
a) Déterminer le rapport et l’angle de la similitude b) Placer l’image f du point f par .
4. Déterminer et tracer l’ensemble (G) décrit par le point lorsque C décrit le cercle (@) privé de >
Exercice 29 :
On considère dans le plan orienté deux cercles (@) et (@O) de même rayon , de centres respectifs f et f′ tangentes extérieurement en >. On appelle F la transformation obtenue en effectuant d’abord la translation \ de vecteur ff′jjjjjjjk puis la rotation de centre f′ et d’angle Í
. On donne F = \.
a) Soit C+ un point quelconque de (@). Montrer que C = F(C+) est un point de (@O)
b) Déterminer l’image de f par F
c) On pose >O = F(>) et l’on appelle ? le symétrique de > par rapport à f′ Que peut – on dire du triangle f′>′? ?
d) Montrer que F est une rotation dont on précisera l’angle U et le centre
e) Exprimer > en fonction de .
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