Ùi
∀ ∈ ℕ∗, Ù·(+ = Þß + 1
\ Ü· = Ù· − 2
..
1. Pour quelle valeur U de Ùi de la suite Ù est-elle constante ? 2. On suppose Ùi ≠ U.
a) Montrer que Ü est une suite géométrique et préciser sa raison.
b) Exprimer Ù· en fonction de et Ùi. 3.
a) Etudier suivant les valeurs de Ùi les variations de la suite Ù. b) Déterminer la limite de la suite Ù·.
c) Déterminer la somme · = Ùi + Ù+ + ⋯ + Ù·.
SUITES NUMERIQUES
TEKPOLO Crédo géométrique. Préciser sa raison et son premier terme.
b) En déduire l’expression de Ü· puis celle de Ù· en fonction de . 3. Ü· étant toujours géométrique, montrer qu’elle est
convergente. Préciser sa limite puis celle de Ù·.
4. Calculer la somme · = Üi + Ü+ + ⋯ + Ü· en fonction de . En
Analyse - Géométrie
a) Montrer que Ü est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.
Montrer que Ü est une suite arithmétique et donner son premier terme et sa raison.
TEKPOLO Crédo
Analyse - Géométrie
c) Montrer que la suite Ù est convergente et préciser sa limite.
Exercice 12 :
TEKPOLO Crédo
Exercice 13 :
On considère la suite Ù définie par :
9 Ùi = 5
3Ù·(+ = −Ù· − 3 − 9 ∀ ∈ D16 .
1. soit P un paramètre réel. Démontrer qu’il existe un nombre réel P indépendant de tel que ∀ ∈ D, Ü· = Ù· +"P +¿; P soit le terme général d’une suite géométrique Ü dont on donnera le premier terme Üi et la raison.
2. Soit · = Üi × Ü+ × Ü ×∙∙∙× Ü·&+. Montrer que Üá × Ü·&á&+
est indépendant de Á. En déduire une expression de · en fonction de .
Exercice 14 :
Soit la suite Ù· définie par : Ùi = 1
∀ ∈ D, Ù·(+ = 1 + Þ+ß.
1. Démontrer par récurrence que ∀ ∈ D, 1 ≤ Ù· ≤ 2 2. Montrer que si Ù· converge alors sa limite est +(√) ; (On
rappelle que si la suite Ù· est convergente alors sa limite est solution de l’équation : F = telle que FÙ· = Ù·(+).
3. On pose â = +(√)
a) Comparer â et " puis |Ùi − â| et 1.
Analyse - Géométrie
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b) Montrer que ∀ ∈ D, |Ù·(+ − â| ≤ +ã|Ù· − â|
c) En déduire que ∀ ∈ D, |Ù· − â| ≤ n"o·. Que peut –on conclure ?
Exercice 15 :
Partie A : On considère la suite des réels Ù définie sur D par : 9Ùi ∈ 0 ; 2
Ù·(+ = "ÞÞßß((.
1. Démontrer que : ∀ ∈ D, Ù· ∈ 0 ; 2
2. a. Démontrer que : ∀ ∈ D∗, |Ù· − 2| < + |Ù·(+ − 2|
b. Déduire alors que la suite Ù converge. Préciser sa limite 3. On définie la suite Ü par : ∀ ∈ D, Ü· = ÞÞß&
ß(+
a) Montrer que la suite Ü est parfaitement définie
b) Montrer que la suite Ü est une suite géométrique que l’on caractérisera
c) Montrer que la suite Ü converge puis calculer sa limite Partie B : Soit Ò·(+ = -(ä(äß
ß l’expression de la suite Ò de premier terme Ò+.
1. Montrer qu’il existe deux réels P \ Q (P < Q de Ò+ tels que la suite Ò soit stationnaire
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2. Soit Ò+ ≠ P et Ò+ ≠ Q. On pose \· = ääß&R
ß&S. Montrer que la suite \· est une suite géométrique puis calculer sa limite et celle de Ò
Exercice 16 :
Soit la suite Ù· définie par Ùi fixé et pour tout de D, Ù·(+ = +(Þ"Þß
ß.
1. Pour quelles valeurs de Ùi la suite est – elle constante ? on suppose que dans la suite de l’exercice, la suite Ù· n’est plus constante.
2. Déterminer le réel non nul P tel que la suite Ü· définie par Ü· = ÞßÞ(R
ß soit une suite géométrique dont on précisera la raison.
On ensuite à P la valeur trouvée.
3. Discuter suivant les valeurs de Üi, la convergence de la suite Ü· et son sens de variation. En déduire la limite de Ù·.
4. On suppose que Ùi = +.
a) Exprimer Ù· en fonction de b) Calculer la somme = Þ+
Ø +Þ+
c +Þ+
d + ⋯ +Þ+
ß. Exercice 17 :
Soit P un réel et la suite Ù· définie par : 7 Ùi = 0 ; Ù+ = 1
Ù·(+ = PÙ· + 1 − PÙ·&+.
1. Calculer en fonction de P les termes Ù et Ù"
2. Soit Ü· la suite définie par : Ü· = Ù·(+ − Ù·
Analyse - Géométrie
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a) Démontrer que Ü· est une suite géométrique que l’on caractérisera.
b) Exprimer Ü· en fonction de P et c) Déterminer Ù· en fonction de P et
3. Comment choisir P pour que la suite Ù· soit une suite convergente ? préciser alors sa limite.
Exercice 18 :
Soit f>+ un segment du plan et ?+ un point tel que ?+ n’appartient pas à la droite f>+ et f?+ = 1. Soit ? un point distincts de f de
?+, situé sur la demi – droite f?+.. On construit de proche en proche les points >, >", … , >·, … sur la demi – droite f>+. et les points
?", ?%, … , ?·, … sur la demi – droite f?+. tels que ∀ ∈ D∗,
?·>·//?+>+ et ?·(+>·//?>+.
1. Placer sur une figure les points f; >+ ; ?+ ; ? dans le cas où : f>+ = " ; >ç = 45+f?+ ° et f? = √2
2. Construire les points >· et ?· pour variant de 2 à 8 3. Prouver que : ∀ ∈ D∗, ßèd
ßèc = ßèc
ß . En déduire que la suite Ù· de terme générale Ù· = f>· est une suite géométrique de raison f?
4. Déterminer la valeur exacte de la longueur de f>-, dans le cas particulier de la question 1.
Exercice 19 :
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Soit S l’ensemble des suites définies sur D et vérifiant la relation de récurrence : ∀ ∈ D, Ù·( = Ù·(+ −+%Ù·
1. Trouver une suite géométrique non nulle U··∈éê élément de S.
2. Montrer que la suite U··∈éê est éléments de S
3. Montrer que la suite ëU· + ìU··∈éê où ì ; í sont des réels quelconques, appartient à S.
4. Trouver la suite Ù· élément de S, telle que Ùi = 1 et Ù = 2 5. Soit la suite de terme générale Ü· = ·ß.
a) Montrer que pour tout ≥ 2, îßècî
ß ≤ "%
b) Prouver que 0 ≤ Ü· ≤ +n"%o·& ; ∀ ≥ 2.
c) En déduire ·→(½lim Ü· puis ·→(½lim Ù· où Ù· est la suite définie à la question 4.
Exercice 20 :
On considère la suite de nombres réels Ù· définie par : Ùi = " et
∀ ∈ D, Ù·(+ = Þß +√· +√+ 1. Calculer Ù+ , Ù
2. Soit la suite Ü· définie par : ∀ ∈ D, Ü· = Ù·√2 − . Montrer que Ü· est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme
3. Calculer Ü· puis Ù· en fonction de 4. On considère la suite · définie par :
∀ ∈ D, · = ï Ù¶
·
¶ði
Calculer · en fonction de
Exercice 21 :
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1. montrer que la courbe @ représentative de la fonction M admet la droite ∆ ∶ = Í comme axe de symétrie. En déduire que l’on peut choisir = 5−Í ; Í2 comme intervalle d’étude de M.
2. a) Etudier les variations de M sur puis dresser son tableau de variation sur
b) Construire la courbe @ sur 5−)Í ; )Í2 Partie B :
On considère la suite Ù· définie par :
Ùi = P et ∀ ∈ D, Ù·(+ = Ù·2 − Ù· où P est un réel tel que 0 < P < 1.
1. a) Montrer par récurrence que, ∀ ∈ D, 0 < Ù· < 1 b) Montrer que la suite Ù· est décroissante
2. On pose P = +; et on définit la suite Ü· par Ü· = 1 − Ù· ; a) Exprimer Ü·(+ en fonction de Ü·
b) Montrer par récurrence que Ü· = n¿;o· c) Déduire ·→(½lim Ü· puis ·→(½lim Ù·
Exercice 25 :
Soit Ùi et Üi deux réels tels que Üi > Ùi > 0. On considère les suites Ù· et Ü· telles que :
Ù·(+ = 1
2 Ù· + Ü· \ Ü·(+ = /Ù·(+ × Ü·
1. Montrer qu’il existe un unique réel U, élément de 20 ; Í5 tel que BU = ÞîØ
Ø
2. a) A l’aide de Üi et de exprimer Ù+ et Ü+
b) Montrer les égalités : Ù+ = Ü+B et Ü+ = +ÜiU 3. a) Montrer que pour tout entier naturel, il existe un unique réel
U· élément de l’intervalle 20 ; Í5 tel que BU· = Þîß
ß
b) Exprimer Ui et U+ en fonction de U
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e) De cette dernière égalité, déduire que pour tout entier naturel, on a :
√". On considère la similitude directe telle que
= ℎ. préciser le rapport de cette homothétie en fonction de .
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Exercice 27 :
Le plan est rapporté à un repère orthonormé f ; v jjjk ; w jjjk. on définit une application m ; U ∈ de vers de la manière suivante : a tout point C du plan, on associe le point C′ où est le projeté de C sur l’axe f ; v jjjk ; g le projeté orthogonal de C sur f ; w jjjk et C′ le barycentre du système de points pondérés : «, U ; ò ; 1 − U¬.
I. On choisit U = 2 et on note ∆: 8 = −2 + 6. La droite ∆ coupe l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées respectivement en s et h. C est un point de ∆.
1. Tracer ∆ puis construire les points sO, hO, C′ images respectives de s, h, C par la transformation m
2. Prouver que les points sO, hO , C′ sont alignés
II. Soit la parabole @ d’équation 8 = ². C un point de @ d’abscisse 1 non nulle.
1. Soit CO = mC. Exprimer ′ et 8′ en fonction de 1 et de U 2. Existe t – il des valeurs de U pour lesquelles le point C′
appartient à @ ? si oui préciser pour chacune de ces valeurs la position du point C′
III. On suppose que C ; 8 et que CO = mC. Dans ce cas C est un point du plan.
1. Exprimer ′ et 8′ en fonction de U, et 8
2. Préciser la nature de m lorsque U ∈ 0 ; 1 ; +ó 3. On note >in21o et on pose >+ = m>i ;
> = m>+ ; … ; >· = m>·&+.
a) Prouver que les coordonnées · ; 8· de >· sont : · = 2U· et 8· = 1 − U·
b) Déterminer l’ensemble des nombres U tels que chacune de ces suites a une limite réelle.
4. On pose f jjjjjjjk = f>· jjjjjjjjk + f>i jjjjjjjjk + ⋯ + f>+ jjjjjjjjk. Et on suppose que · U appartient à l’intervalle 0 ; 1.
Analyse - Géométrie
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a) Démontrer que les coordonnées · ; 8· de f jjjjjjjk sont données · par :
· = 2 n+&+&ßèco et 8· = +&+&ßèc
b) Calculer
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DENOMBREMENTS
Exercice 1 :
Dans un sac se trouvent douze enveloppes. Quatre d’entre elles sont vides, cinq renferment un billet de 500 FPB, deux renferment un billet de 1.000 FPB et la dernière contient un billet de 5.000 FPB. On tire au hasard simultanément deux enveloppes du sac et on note la somme totale d’argent contenue dans les deux enveloppes tirées.
Donner toutes les valeurs possibles de et déterminer, pour chacune de ces valeurs, le nombre de tirages qui donne cette somme.
Exercice 2 :
Un groupe de personnes participent à un vote pour lequel chaque personne doit voter soit « », soit « », soit « PQ\\ ».
1. Déterminer en fonction de , le nombre de résultats de votes possibles.
2. Calculer ce nombre lorsque = 5.
3. De combien de personnes doit être constitué ce groupe si le nombre de résultats possibles est 6561 (on décomposera 6561 en produit de facteurs premiers).
Exercice 3 :
On dispose de trois sacs notés +, et ". Le sac + contient deux cubes oranges, trois cubes blancs et un cube vert. Le sac contient trois cubes oranges et deux cubes blancs. Le sac " contient deuxblancs et troiscubes verts.