BARYCENTRES DE POINTS
PONDERES
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Exercice 1 :
On considère deux points distincts > et ? du plan.
1. Soit ±+ le barycentre des points pondérés >, 1 ; ?, 2 et ±le barycentre des points pondérés >, 1 ; ?, −2. Déterminer
l’ensemble des points C du plan tel que :
C>jjjjjjk + 2C?jjjjjjjjjk.C>jjjjjjk − 2C?jjjjjjjjjk = 0. 2. Soit Á ∈ ℝ.
a) Discuter suivant les valeurs de Á, l’ensemble á des points C du plan tels que : ýý = Á.
b) Déterminer et construire .
3. Construire sur la même figure les arcs capables d’extrémités >et
?, d’angle Í
".
Exercice 2 :
Soit >?@ un triangle rectangle en > tel que >? = 4 ; >@ = 6. Pour tout point C du plan on pose : FC = C>² − 2C?².
1. Exprimer FC en fonction de C±² où
± = QP8«>, 1; ?, −2¬.
2. Déterminer Á pour que la ligne de niveau Á passe par @. Construire cette ligne de niveau.
3. On pose pour tout point C du plan :
MC = C>² − 2C? + C@².
a) Calculer M>, M?, M@, M ; étant le milieu de ?@. b) Montrer que MC = 2C±jjjjjjk. ±@jjjjjk + 1 ; où 1 est un réel que l’on
déterminera.
c) Reconnaître une ligne de niveau de l’application M. d) Construire alors l’ensemble ∆ des points C tels que :
MC = 0.
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Exercice 3 :
>?@est un triangle équilatéral de côté 4 et de sens direct.
1. Construire les points , g, h, et A définis par : milieu de >@ ; g le barycentre des points pondérés ?, 1, @, 3 ;h le barycentre des points pondérés>, 1,n?,+%o,n@,"%o et le point A est tel que :
3A>jjjjjk − >?jjjjjk + 2>@jjjjjk = 0jk.
2. Montrer que A est le barycentre des points >, ? et @ affectés des coefficients que l’on précisera.
3. Démontrer que A est le barycentre des points ? et affectés des coefficients que l’on déterminera. En déduire que A appartient à la médiatrice du segment >@.
4. Calculer >A, ?A et @A.
5. Déterminer l’ensemble þ des points C du plan tel que : 2C>² − C? + 2C@ = 16.
6. Vérifier que le centre de gravité ± du triangle >?@ appartient þ puis construire þ.
Exercice 4 :
Dans le plan on donne les points >, ? et @ tels que >? = >@ = 5 et
?@ = 6.
1. Calculer >?jjjjjk. >@jjjjjk de deux manières différentes.
2. Soit ± le barycentre des points pondérés «>, 2, ?, 3, @, 3¬. Construire ± et calculer la distance ±>.
3. Soit l’application du plan dans ℝ qui à tout point C de plan fait correspondre le réel : FC = 2C?jjjjjjk. C@jjjjjjk + C@jjjjjjk. C>jjjjjjk + C>jjjjjjk. C?jjjjjjk.
a) Démontrer que FC = F± + 4C±². b) Calculer F>et F±.
c) Déterminer et construire l’ensemble des points C du plan tels que : FC = F>.
Exercice 5 :
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Soit >?@A un carré de côté P, le milieu de >?, g le milieu du segment @A, f le centre du carré.
1. Montrer que pour tout point ∀ C ∈ ;
C>² + C?² − C@ − CA = 8fCjjjjjjk. fgjjjjk.
2. Déterminer l’ensemble á des points C du plan tels que : C>² + C?² − C@ − CA = Á.
3. Déterminer Ái en fonction de P pour que áØ passe par @. Exercice 6 :
On considère le triangle >?@ tel que >? = 7 ; ?@ = 4et >@ = 5. Soit le milieu du segment ?@.
1. Démontrer que > = √33. 2.
a) Soit C un point du plan. Pour quelle valeur du nombre réel 1 le vecteur : 1C>jjjjjjk + C?jjjjjjk + C@jjjjjjk est – il égal à un vecteur jk en fonction de
>jjjjk.
b) Déterminer et construire l’ensemble Γ des points C du plan tels que : −2C> + C? + C@ = −58.
3. Soit A le barycentre du système «>, −1; ?, 1; @, 1¬. a) Exprimer le vecteur >Ajjjjjk en fonction du vecteur >jjjjk. b) Quelle est la nature du quadrilatère >?@A ?
c) Déterminer et construire l’ensemble Γ′ des points C du plan tels que :−C> + C? + C@ = −25.
Exercice 7 :
Soit >?@un triangle rectangle en > tel que >? = 2 et >@ = 4. 1. Pour quelles valeurs de 1 le système
«>, 1; ?, 1 + 3; @, 4 − 1¬ admet un barycentre ±. On pose 1 = 1. ± est le barycentre de «>, 1; ?, 4; @, 3¬.
2. Soit F l’application du plan dans lui – même qui à tout point C associe le point C′ tel que : 7CCjjjjjjjjjjjjjjk C>O = jjjjjjk + 4C?jjjjjjk + 3C@jjjjjjk. Montrer que ± appartient à la droite CCO.
3.
a) Montrer que @±jjjjjk = +;4>?jjjjjk − 5>@jjjjjk.
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3. Déterminer les ensembles (+) ; () et (") des points C du plan tels que :
(+) = C ∈ C>⁄jjjjjjk. C?jjjjjjk = >?². () = C ∈ C>⁄jjjjjjk. C?jjjjjjk = 0. (") = C ∈ F(C)⁄ = −²% ó. Exercice 11 :
Dans le plan euclidien , on considère le triangle >?@ isocèle et rectangle en > tel que : >? = >@ = P avec P ∈ ℝ(.
1. Déterminer et construire le barycentre± des points pondérés (>, 2) ; (?, 1)et (@, 1).
2. Pour tout point C du plan , on pose Üjk = −2C>jjjjjjk + C?jjjjjjk + C@jjjjjjk.
a) Démontrer que le vecteur Üjk est un vecteur constant indépendant de C.
b) Construire le point >′ tel que >>′jjjjjjk = Üjk. c) Calculer >>′jjjjjjk et >±jjjjjk en fonction de P. 3.
a) Montrer que le vecteur Ùjjk = −2C>jjjjjjk + C?jjjjjjk + C@jjjjjjk est égale à 4C±jjjjjjk.
b) Déterminer et construire l’ensemble () des points C du plan tel que : ‖jk‖ = ‖Ñk‖.
4. Déterminer et construire l’ensemble (G) des points C du plan tel que :
−2C>jjjjjjk +C?jjjjjjk +C@jjjjjjk = P.
5. Déterminer et construire l’ensemble (m) des points C du plan tel que :
1C>jjjjjjk, C?jjjjjjk = Í + 2Á£, Á ∈ ℤ. 6.
a) Construire les barycentres ±+ et ± des systèmes massifs :
«(>, 2); (?, 1)¬
et «(?, 2); (@, 3)¬.
b) Déterminer l’ensemble (ë) des points C du plan tel que :
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2C>jjjjjjk + C?jjjjjjk = 3C@jjjjjjk + 2C?jjjjjjk. Exercice 12 :
Le plan est muni d’un repère orthonormé (f, , g). Une unité de longueur étant choisie, faire une figure.
Soit >?@ un triangle équilatéral de côté 3 ; ?′ est le milieu de >@ et
b) Quel est l’ensemble des barycentres obtenus lorsque 1 parcourt
?
2. Dans cette question, on choisit 1 = 2.
a) Déterminer le barycentre ± des points >, ? et @ affectés des coefficients respectifs 2, 1 et 1.
Placer sur une figure les points >, ?, @, f, >′ et ±.
b) Déterminer et construire l’ensemble (G) des points C du plan tel que :
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b) Tracer A sur la figure précédente.
Exercice 14 :
Le plan est muni d’un repère orthonormé (f, , g).
Soit >?@A un rectangle du plan, de diagonales >@ et ?A de longueur P.
1. Soit 1 un nombre réel non nul.
On note ±Z le barycentre de : (>, 1) ; (?,−1) ; (@, 1). a) Préciser la position de ±+.
b) Déterminer l’ensemble + des ±Z lorsque 1 décrit ℝ∗. 2. Quel est l’ensemble des points C du plan tel que :
C>jjjjjjk − C?jjjjjjk + C@jjjjjjk = P ?
3. Quel est l’ensemble " des points C du plan tel que : C>²− C?² + C@² = R²% ?
4. Faire une figure où l’on représentera le rectangle >?@A et les ensembles +, et ".
Exercice 15 :
Le plan est muni d’un repère orthonormé (f, , g).
Dans le plan orienté, on considère un triangle équilatéral >?@ de centre f, tel qu’une mesure de l’angle de l’angle orienté (>?jjjjjk, >@ç )jjjjjk soit
Í
". On désigne par (@) le cercle circonscrit à >?@, le milieu de >?
et g le milieu de f. Les droites (f>) et (f@)regroupent (@) respectivement en Aet .
1. Placer ces points sur une figure (unité graphique : f> = 4B1).
2. On désigne par ± l’isobarycentre des points >, ?, @, A, . a) Exprimer f±jjjjjk en fonction de f?jjjjjk.
b) Exprimer f±jjjjjk en fonction de fgjjjjket fAjjjjjjk.
c) En déduire que les droites (f?) et (Ag) se coupent en ±. Placer
± sur la figure.
3. A tout point C du plan, on fait correspondre le point C′ défini par : 4CC′jjjjjjjjjk = C>jjjjjjk + C?jjjjjjk + C@jjjjjjk + CAjjjjjjk + Cjjjjjjk.
a) Démontrer que cette application F qui à tout point C associe C′
est une homothétie, dont on précisera le centre et le rapport.
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b) Quelles sont les images par F des points ? et A du cercle ? Exercice 16 :
>?@A est un rectangle tel que : >? = 4et >A = 3. 1. Déterminer le barycentre de (>, 1), (?, −1), (@, 1). 2. Déterminer l’ensemble des points C du plan tels que :
C>jjjjjjk − C?jjjjjjk + C@jjjjjjk = 5.
3. Quel est l’ensemble Gdes points C du plan tels que : C>²− C? + C@ = )% ? 4. Quel est l’ensemble s des points C du plan tels que :
C>²− C? + C@ + CA = 61 ? Faire une figure. Tracer , G et s.
Exercice 17 :
On donne quatre points >, B, @, A.
Soit ±+ le barycentre des points pondérés (>, 2)et (?, 1). Soit ± le barycentre des points pondérés (@, 1)et (A, 2).
a) Construire ±+et ±.
b) Soit C un point quelconque du plan. Démontrer que le vecteur 2C>jjjjjjk + C?jjjjjjk − C@jjjjjjk − 2CAjjjjjjk ne dépend pas de C.
Construire le point défini par : ±jjjjjjjk = 2C> jjjjjjk + C?jjjjjjk − C@jjjjjjk − 2CAjjjjjjk.
c) Quel est l’ensemble des points C du plan qui vérifient :
2C>² + C?² − C@ − 2CA = 2±+> + ±+? − ±@ − 2±A². Exercice 18 :
>, ? et @ sont trois points non alignés du plan et le milieu du segment >@.
Soit \ un réel de l’intervalle 5−Í;Í2. 1.
a) Vérifier que B²\ + ²\ + B2\ = 2B²\. b) Pour quelles valeurs de \, le système
«(>, B\); (?, B\); (@, B2\)¬ possède un barycentre.
2. Démontrer que lorsque \ décrit 2−Í;Í5, ±¹ décrit une demi – droite d’origine et de vecteur directeur @?jjjjjk.
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3. On suppose que >?@ est un triangle rectangle en @ tel que
@> = 4 et @? = 2. On note ± le barycentre obtenu pour \ = Í". a) Construire ±.
b) Démontrer que ±>² = ±@².
c) Déterminer et construire l’ensemble des points C du point tel que : C>² + 3C?² − 2C@² = 10.
Exercice 19 :
>?@ un triangle rectangle en > tel que >? = 2P ; ?@ = 4P. On considère le point , ?jjjjk = +%?@jjjjjk.
1. Faire une figure.
2. Calculer >jjjjk. ?@jjjjjk puis en déduire l’ensemble () des points C du plan tels que : C>jjjjjjk.C?jjjjjjk = C>jjjjjjk.C@jjjjjjk.
3.
a) Montrer que peut s’écrire comme barycentre des points ? et @. b) On considère le point ± barycentre des points pondérés (>, 4) ;
(?, 3) ; (@, 1). Préciser la position de ± dans le plan puis placer le sur la figure.
c) Calculer ±>, ±? et ±@ en fonction de P.
4. On considère l’ensemble (G) des points C du plan tels que : 4C>² + 3C?² + C@² = 24P².
a) Montrer que 4C>² + 3C?² + C@² = 8C±² +4±>² + 3±?² +
±@².
b) Montrer que appartient à l’ensemble (G). c) Déterminer puis construire l’ensemble (G). 5. Déterminer () ∩ (G).
Exercice20 :
Soit >?@ un triangle tel que >? = >@ = 3 et ?@ = 4. Soit milieu de >? et g milieu de ?@. Soit 1 un réel donné.
1. Quel est l’ensemble des réels 1 pour lesquels les points pondérés (>, 1) ; (?, 1 + 1) ; (@, 1) possèdent un barycentre.
2. Pour 1 ∈ ; on désigne par ±Z le barycentre de (>, 1) ; (?, 1 + 1) ; (@, 1).
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a) Démontrer que pour tout élément 1 de , on a : ±jjjjjjjk =Z Z(++ gjjjk.
b) En déduire l’ensemble (G) des points ±Z lorsque 1 décrit .
3. Déterminer et construire l’ensemble (Γ+) des points C tels que : 2C>jjjjjjk + 3C?jjjjjjk + C@jjjjjjkC>jjjjjjk− C@jjjjjjk = −36.
4. On suppose 1 = 2 et ± = ±. Soit l’application F telle que : F : ⟶ ℝ
C ⟼ 2C>² + 3C?² + C@².
a) Montrer que F(±) = 6±>² +4>?² + 2±>jjjjjk. (3>?jjjjjk + >@jjjjjk) ; puis démontrer que F(±) = −6±>² + 4>?².
b) Déduire que F(±) = %">?² + 2?@² puis que F(±) = 44.
c) Pour tout point C du plan, déterminer et construire l’ensemble (Γ) des points C du plan vérifiant : F(C) = 74.
Exercice 21 :
Soient >?@ et >′?′@′ deux triangles de centre de gravité ± et ±′. 1. Prouver que >>′jjjjjjk + ??′jjjjjjjk + @@′jjjjjjk = 3±±′jjjjjjk.
2. En déduire une condition nécessaire et suffisante pour que deux triangles aient le même centre de gravité.
3. On choisit >′ milieu du côté ?@ et ?′ milieu du côté >@. Où doit se trouver @′ si l’on veut que les deux triangles >?@ et
>′?′@′ aient le même centre de gravité.
Exercice 22 :
>?@ est triangle.
1. Construire le barycentre de (>, 1) ; (?, 2) ; (@, 3) et C étant un point quelconque du plan exprimer C>jjjjjjk + 2C?jjjjjjk + 3C@jjjjjjk en fonction de C.
2. Construire le barycentre g de (>, 8) ; (?, −1) ; (@, −1) et C étant un point quelconque du plan exprimer 8C>jjjjjjk − C?jjjjjjk − C@jjjjjjk en fonction de Cg.
3. Quel est l’ensemble des points C du plan qui vérifient :
C>jjjjjjk + 2C?jjjjjjk + 3C@jjjjjjk = 8C>jjjjjjk − C?jjjjjjk − C@jjjjjjk. Exercice 23 :
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Soit un segment >? tel que >? = 6.
1. Déterminer et construire l’ensemble des points C du plan vérifiant : – C>² +5C?² = −20.
2. Déterminer et construire l’ensemble G des points C du plan vérifiant :
>?jjjjjk. >Cjjjjjjk = 30. 3.
a) Déterminer et construire le barycentre ± du système de points pondérés (>, 1) ; (?, 3) et puis le barycentre ±′ du système (>, 1) ; (?, 3).
b) Déterminer et construire l’ensemble G des points C du plan vérifiant : ý
ý = 3. Exercice 24 :
On donne un triangle >?@ de centre de gravité ±.
1. a) C étant un point du plan, exprimer C>jjjjjjk + C?jjjjjjk + C@jjjjjjk en fonction de C±jjjjjjk
b) Déterminer le point D tel que D>jjjjjjk + D?jjjjjjk + D@jjjjjk = >?jjjjjk c) Montrer que les points >, D et @ sont alignés.
d) Soit le point du plan tel que ?Djjjjjjk − 4Djjjjjjk = 0jk. Montrer que les points >, ± et sont alignés et exprimer >jjjjjk en fonction de >±jjjjjk.
2. Soit le plan vectoriel associé au plan affine et F l’application définie par : F ∶ z → , C ↦ 3C>jjjjjjk + C?jjjjjjk − 4C@jjjjjjk. Déterminer l’ensemble Ù = «C ∈ z, F(C) = jk¬, jk un élément de .
Exercice 25 :
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ABC est un triangle isocèle en A, de hauteur >s tel que >s =
?@ = 4.
1. Placer ± barycentre «(> ,2); (?, 1); (@, 1)¬
2. M désigne un point quelconque.
a) Calculer 2C>jjjjjjk − C?jjjjjjk − C@jjjjjjk
b) Déterminer et tracer l’ensemble (+) des points C du plan tel que : 2C>jjjjjjk + C?jjjjjjk + C@jjjjjjk = 2C>jjjjjjk − C?jjjjjjk − C@jjjjjjk
3. On définit ±· barycentre des points «(> ,2); (?, ); (@, )¬ où est un entier naturel.
a) Démontrer que ∀ ∈ D, ±· existe puis placer ±i, ±+ et ± b) Prouver que ±· appartient au segment >s
c) Calculer la distance >±· en fonction de . Calculer '→(∞lim >±·. d) (·) = C ∈ z \ Û 2C>jjjjjjk + C?jjjjjjk + C@jjjjjjk =
2C>jjjjjjk − C?jjjjjjk − C@jjjjjjk
Prouver que (·) est un cercle qui passe par A. préciser son centre et son rayon noté ·. Construire ().
Exercice 26 :
Dans le plan, on considère le triangle isocèle direct ABC tel que
>? = >@ = P (P > 0) et ?@ = 6.
1. Construire le point ±, barycentre du système (>, 2), (?, 1) et (@, 1) 2. Déterminer et construire l’ensemble suivant : + = «C ∈
z/ 2C>² + C?² + C@² = 2P²¬
3. On pose P = 5 pour la suite de l’exercice. On considère l’application F du plan dans définie par :F(C) = 2C?jjjjjjk ∙ C@jjjjjjk + C@jjjjjjk ∙ C>jjjjjjk + C>jjjjjjk ∙ C?jjjjjjk.
a)Démontrer que pour tout point % du plan, F(C) = F(±) + 4C±² b)Calculer numériquement F(>) et F(±)
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c) Déterminer et construire l’ensemble () des points C du plan tel que F(C) = F(>)
Exercice 27 :
Soit (z) un plan affine euclidien et ABC un triangle équilatéral de côté P. On note le milieu du segment ?@ et ± le barycentre des points pondérés (>; 2), (?; 1); (@; 1)
1. Montrer que les points >, ±, sont alignés.
2. Déterminer et construire avec précision l’ensemble () des points C du plan tels que : 2C>² + C?² + C@² = 2P²
3. Déterminer et construire avec précision l’ensemble (G) des points C du plan tels que : 2C>² + C?² + C@² = 3P²
4. En déduire l’ensemble (@) des points C du plan tels que 2P² ≤ 2C>² + C?² + C@² ≤ 3P²
5. Pour Á ∈ , on considère l’ensemble (∆á) = C ∈ (z)/ (2C>jjjjjjk + C?jjjjjjk + C@jjjjjjk) ∙ (>?jjjjjk + >@jjjjjk) = Á
a) Déterminer (∆á)
b) Tracer (∆á) pour Á = 3P² Exercice 28 :
Soient trois points A, B et C non alignés du plan et W ∈ . 1. Construire le barycentre du système «(>; −1); (? ; 3)¬
2. On pose W = 4. Construire le barycentre ±+ du système
«(>; −1); (?; 3); (@; W)¬
3. On pose W = −1. Construire le barycentre ± du système
«(>; −1); (?; 3); (@; W)¬
4. Démontrer que les points ±+ , ± et sont alignés.
5. a) Pour quelles valeurs de W le système «(>; −1); (?; 3); (@; W)¬
n’admet – il pas de barycentre ?
b) On suppose W ≠ −2 et on appelle ± le barycentre du système précédent. Quel est l’ensemble (∆) décrit par ± lorsque W varie ?
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c) Tout point de (∆) peut – il être barycentre d’un système
«(>; −1); (?; 3); (@; W)¬ ? Exercice 29 :
ABC est un triangle. On pose P = ?@ , Q = >@ , B = >? , U = PB ? B @ ,
V = QB > B @ et W = B B > B ? tels que U + V + W ≠ 0. 1. Soit s le barycentre de «(>; U); (?; V); (@; W)¬
a) Exprimer >sjjjjjjk en fonction de >?jjjjjk et >@jjjjjk
b) Déduire que les vecteurs >sjjjjjjk et ?@jjjjjk sont orthogonaux c) Démontrer que s est l’orthocentre du triangle ABC
2. On suppose que ABC est équilatéral. Déterminer en fonction de P et 1 pour que l’ensemble () = «C ∈ z/UC>² + VC?²+ WC@² = 1¬ soit le cercle circonscrit au triangle ABC.
Exercice 30 :
A)Soit dans le plan (z) le triangle équilatéral de côté P (P > 0) et le point tel que : >jjjjk = 2@?jjjjjk
1. Déterminer les réels U , V , W tel que le point soit barycentre du système «(>; U) ; (?; V) ; (@; W)¬
2. Etudier l’ensemble (á) = «C ∈ z \ Û C>² + 2C?² − 2C@² = ÁP²¬. On discutera suivant les valeurs de Á. Déterminer Ái de Á pour que ? ∈ (á).
Préciser la position de áØ par rapport aux droites (>?) et (>@). B)Soit dans le plan (z), les points A, B et C tels que >? = 3 et
>@
jjjjjk = 4>?jjjjjk
1. Déterminer et construire (G) = f ∈ z \ Û >?jjjjjk ∙ >fjjjjjk =
+
\ >f = 2ó. Démontrer que @ est égale distance de A et des points de (G)
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2. On choisit f un point de (G) ? démontrer que pour tout point C du plan, 3>C² − 4?C² + fC² = 2fCjjjjjjk ∙ f@jjjjjk − 36
3. Déterminer et construire l’ensemble
(±) = «C ∈ z \ Û 3>C²− 4?C² + fC² = −56 ¬ Exercice 31 :
On considère un triangle >?@ et on pose ?@ = P, >@ = Q, >? = B. On se propose de déterminer le barycentre du système :
∑«(>, P); (?, Q); (@, B)¬
5. Soit >>′). la bissectrice de l’angle géométrique en >, >′ le point d’intersection de cette demi – droite avec le côté ?@. On mène par @ la parallèle à la droite (>>′) ; elle coupe la droite (>?) en A.
a. faire une figure claire et propre que l’on complètera au fur et à mesure.
b. Démontrer que le triangle >@A est isocèle puis que >′@ = −ST>′?
(1)
6. ?’ étant le pied de la bissectrice issue de ? et @′ celui de la bissectrice issue de @.
a. Indiquer les relations analogues à (1) vérifiées par ?′ et @′. b. Quels sont les barycentres des systèmes
«(?, Q); (@, B)¬ ; «(>, P); ((@, B)¬ et «(>, P) ; (?, Q)¬ ? 7. Prouver que le point appartient aux droites >>′, (??′) et
(@@′). Enoncer la propriété géométrique ainsi démontrée.
8. On considère le triangle >?@. Les barres >? , >@ et ?@ ont pour masses respectives , Q, P .
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a) Quels sont les centres de gravités respectifs >′, ?′, @′ de chacune des trois côtés ?
b) Utiliser les points >′, ?′, @′ pour déterminer le centre de gravité de l’ensemble des trois côtés.
Exercice 32 :
Soient > et ? deux points du plan tel que. >? = 6 et F l’application définie par : F(C) = C>² + C?².
1. Déterminer et construire les lignes de niveau 50; 36; 26 ; 20 de F 2. Pour quelles valeurs de Á la ligne de niveau Á de F :
a) Est – elle réduite à un point ? b) Passe t – elle par > ?
c) Passe t – elle par le symétrique de ? par rapport à > ? 3. Déterminer et construire, sur la même figure qu’à la première
question, l’ensemble des points C du plan tels que : 26 ≤ C>² + C?² ≤ 68
Exercice 33 :
>?@A est un carré de côté P.
1. Construire le barycentre ± du système
«(>, 2) ; (?, −1) ; (@, 1)¬
2. Déterminer et représenter l’ensemble + des points C du plan vérifiant : 2C>jjjjjjk − C?jjjjjjk + C@jjjjjjk = P
3. Déterminer et représenter l’ensemble des points C du plan tels que : C?² − 2C@²+ CA² = 2P
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4. Déterminer les réels U, V, W tels que > soit le barycentre du système : «(?, U) ; (@, V) ; (A, W)¬
5. Déterminer et représenter l’ensemble " des points C tels que : C?² − C@²+ CA² = P²
6. Déterminer et construire l’ensemble % des points C tels que : C?jjjjjjk ∙ C@jjjjjjk + C@jjjjjjk ∙ CAjjjjjjk − C@² = P²
Exercice 34 :
Le plan est muni d’un repère orthonormé. On définit une application m ; U ∈ du plan dans lui – même de la manière suivante :
A tout point C du plan, on associe le point C′ où est le projeté orthogonal de C sur l’axe des abscisses, g le projeté orthogonal de C sur l’axe des ordonnées et C′ le barycentre du système de points pondérés «(, U) ; (g, 1 − U)¬.
I. On choisit U = 2 et on note (∆): 8 = −2 + 6. Elle coupe l’axe des abscisses et des ordonnées respectivement en s et h ; C est un point de cette droite.
1. Tracer ∆ puis construire les points s′, h′ et C′ images de s, h et C par m
2. Prouver que les points s′, h′ et C′ sont alignés
II. Soit la parabole @ d’équation 8 = ². C un point de @ d’abscisse 1 non nulle.
1. Soit C′ = mC. Exprimer ′ et 8′ en fonction de 1 et de U
Analyse - Géométrie
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2. Existe t – il des valeurs de U pour lesquelles C′ appartient à (@) ? si oui préciser pour chacune de ces valeurs la position du point C′
III. On suppose que C a pour coordonnées (; 8 et que C′ = mC dans ce C est un plan du point du plan.
1. Exprimer ′ et 8′ en fonction U, , 8
2. Préciser la nature de m lorsque U ∈ 0 ; 1 ; +ó 3. On note >i2; 1 et on pose
>+ = m>i ; > = m>+ ; …. >· = m>·&+.
a) Prouver que les coordonnées · ; 8· de >· sont : · = 2U· et 8· = 1 − U·
b) Déterminer l’ensemble des nombres U tels que chacune de ces suites a une limite réelle.
4. On suppose f jjjjjjjk = f>· jjjjjjjjk + f>i jjjjjjjjk + ⋯ + f>+ jjjjjjjjk et on suppose · U ∈ 0 ; 1.
a) Démontrer que : les coordonnées · ; · de f jjjjjjjk sont ·
données par :
· = 2 n+&+&ßèco et · = +&+&ßèc
Calculer ·→(∞lim · et ·→(∞lim ·
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Exercice 35 :
1. a) donner une équation du cercle de centre (5 ; 1) et tangent à la droite d’équation + 8 − 4 = 0
b) A chaque réel 1, on associe la droite ∆Z d’équation réduite 8 = 1 + √1 + 1².
Montrer que les droites ∆Z 1 ∈ sont tangentes à un cercle de centre f dont on précisera le rayon.
2. a) Représenter graphiquement les droites + ∶ 3 + 48 − 2 = 0 et ∶ 4 + 38 + 5 = 0
b) Calculer la distance d’un point C ; 8 à la droite + puis à la droite en fonction de . On note + et ces distances.
c) Montrer que l’ensemble des points C équidistants de + et est la réunion de deux droites ∆+ et ∆ que l’on précisera.
d) Montrer que ∆+ et ∆ sont perpendiculaires.
Analyse - Géométrie
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Exercice 1 : I/ On donne > = T¸µ²'&+µ¶·%' .
1. Trouver le domaine Ade définition de >. 2. Montrer que ∀ ∈ A, > = 42.
3. Soit l’équation :T¸µ²'&+µ¶·%' = 1 où 1 ∈ ℝ.
a) Pour quelles valeurs de 1, admet – elle des solutions ?
b) Résoudre dans ℝ, pour 1 = 2√3, l’équation . Placer les points image des solutions sur le cercle trigonométrique.
c) Montrer que ∀ ∈ 20;Í5 et B = √-(√% on a : = √-&√% et 1 = 2.
d) Résoudre, ∀ ∈ 20;Í5, B = √-(√% . Exercice 2 :
On donne et 8 ∈ 50;Í2 tels que : = √-(√% et B = √". 1. Vérifier que n√-&√% o = &√"
% puis calculer B. 2. Calculer 8. Quelle est la valeur de 8².
3. Calculer cos + 8 ; sin + 8 ; cos − 8 et sin − 8. En déduire la valeur exacte de .
Exercice 3 :
On considère l’équation : : ∈ −£; £, Bn +Í"o = 1, où 1 ∈ ℝ.
1. Pour quelles valeurs de 1, possède au moins une solution ?
TRIGONOMETRIE
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2. Résoudre () et placer les points images correspondants sur le cercle trigonométrique pour 1 = +%.
Exercice 4 :
On considère (): ∈ ℝ, 8" − 4√3 − 2 + √3 = 0 1. Vérifier que +
est une solution de . 2. Trouver toutes les solutions de . 3. Résoudre dans 0; 2£, l’équation :
O: 8" − 4√3 − 2 + √3 = 0. Placer les solutions sur le cercle trigonométrique.
Exercice 5 :
Soit la fonction F = µ¶·'(µ¶·"'(µ¶·)' T¸µ'(T¸µ"'(T¸µ)'.
1. Transformer + 5 et B + B5.
2. Résoudre dans 0; 2£, l’équation : 1 + 2B2B3 = 0. 3. Déduire des questions précédentes, l’ensemble de définition At
de la fonction F et montrer que ∀ ∈ At, on a : F = T¸µ"'µ¶·"'. 4. Résoudre dans ∈ 0; 2£ ∩ At, l’inéquation : F < 1. Exercice 6 :
1. Soit ∈ ℝ
a) Montrer que :B% = ";++B2 + +;B4. b) En déduire l’expression : > = B% −+%.
2.
a) Calculer ? = B%nÍ;o + B%n"Í; o + B%n)Í; o + B%n¿Í;o. b) Résoudre l’inéquation : ∈ −£; £, +B2 ++;B4 < −+;. Exercice 7 :
1. Soit P un réel appartenant à 20;Í5 tel que P = √)&+% .
1. Soit P un réel appartenant à 20;Í5 tel que P = √)&+% .