Texte intégral
Trouver les triplets d’entiersa, b, c vérifiant 0< a≤b≤cet arctan(1/a) + arctan(1/b) + arctan(1/c) =π/4.
Solution
Sous la forme arctan(1/b)+arctan(1/c) =π/4−arctan(1/a), on a en prenant la tangente de chaque membre (b+c)/(bc−1) = (a−1)/(a+ 1).
D’autre part, la sommeπ/4 est majorée par 3 arctan(1/a), d’où a <cot(π/12) = 2 +√
3<4.
Sia= 2, (b−3)(c−3) = 10, d’où les triplets (a, b, c) = (2,4,13) et (2,5,8).
Sia= 3, (b−2)(c−2) = 5, d’où le triplet (3,3,7).
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