A409‒ Triplets au coude à coude
Neuf nombres premiers distincts sont répartis en trois triplets (a, b, c), (d, e, f) et (g, h, i) tels que a <
b < c, d < e < f et g < h < i.
Les nombres a et d sont jumeaux tandis que b et e sont cousins et que h est sexy avec b comme avec f.
Les trois produits abc, def et ghi, pas nécessairement pris dans cet ordre, constituent un ensemble de trois entiers consécutifs < 2016.
Déterminer ces neuf nombres premiers.
Solution de Raymond Bloch.
Parmi les trois entiers consécutifs cherchés : n-1, n , n+1, l’un est multiple de 3, donc ou a=3, d=5, ou l’inverse, puisque a et d sont jumeaux.
Donc n est multiple de 2, puisque 2 est le seul nombre premier pair : g=2 et n=2*h*i.
Et comme h est sexy ave b et f, (b,h,f)=(7,13,19) ou (11,17,23) ou (17,23,29) ou (31,37,43), les valeurs pour b et f étant permutables.
Le plus simple pour poursuivre sans tableur ni automate consiste, à partir de 2016 est en ordre décroissant, à tester les multiples de 5 – mais ni de 2 ni de 3, ni de 25 – qui n’ont que 2 autres
diviseurs premiers distincts : si k est un tel nombre, on k-1 ou k-2 est multiple de 2 – mais pas de 4 - , et ce nombre doit être le produit de 2 avec deux autres nombres premiers distincts entre eux et
distincts de 3 et de 5.
Il y a évidemment très peu de cas à tester compte tenu de ces critères, et en quelques minutes on trouve :
1885=5*13*29.
1886=2*23*41.
1887=3*17*37.
Et donc (a,b,c)=(3,17,37), (d,e,f)=(5,13,29) et (g,h,i)=(2,23,41) : 13 et 17 sont bien cousins, et h=23 est bien sexy avec b=17 et f=29.
La solution est unique.
NB 2013=3*11*61, 2014=2*19*53 et 2015=5*13*31 sont trois nombres consécutifs respectant la plupart des contraintes, mais pas celle des nombres sexy et cousins
