A409. Triplets au coude à coude
Neuf nombres premiers distincts sont répartis en trois triplets (a,b,c), (d,e,f) et (g,h,i) tels que a < b < c, d < e < f et g < h < i.
Les nombres a et d sont jumeaux tandis que b et e sont cousins et que h est sexy avec b comme avec f.
Les trois produits abc, def et ghi, pas nécessairement pris dans cet ordre, constituent un ensemble de trois entiers consécutifs < 2016.
Déterminer ces neuf nombres premiers.
Solution de Paul Voyer
Les paires de premiers jumeaux diffèrent de 2, les cousins de 4 et les sexys de 6.
Les trois produits étant consécutifs, l'un d'eux est pair et comme les premiers sont distincts, c'est la valeur médiane N qui est paire.
Il faut que 2, qui n'est pas jumelable, soit la valeur de g.
Alors a ou d ou h vaut 3, car si N-1 et N+1 ne sont pas multiples de 3, ils valent 6k-1 et 6k+1, et N vaut 6k.
http://oeis.org/A007304/b007304.txt donne les produits de 3 premiers distincts.
On trouve les trois seules possibilités :
1309=7*11*17, 1310=2*5*131, 1311=3*19*23 a et d ne sont pas jumeaux
Ne convient pas
2013=3*11*61, 2014=2*19*53, 2015=5*13*31 b et e ne sont pas cousins
Ne convient pas
1885=5*13*29, 1886=2*23*41, 1887=3*17*37 convient
a=3 b=17 c=37 d=5 e=13 f=29 g=2 h=23 i=41
d-a=5-3=2 jumeaux
b-e=17-13=4 cousins h-f=23-17=6 sexys f-h=29-23=6 sexys
