La table de jardin
Problème D344 de Diophante
Les extrémités des pieds d’une table de jardin sont les sommets d’un carré.
Démontrer qu’il est possible d’installer la table sur un sol inégal fait de creux et de bosses de sorte que ses quatre pieds touchent le sol.
Nota : on admet que la cote du sol est une fonction continue des coordonnées horizontales.
Solution
La table étant posée quelque part faisons la tourner sur elle même jusqu'à ce que ses quatre pieds touchent tous le sol.
Cette situation peut se modéliser de la manière suivante :
Un cercle C, gradué modulo 4, représente le cercle au sol sur lequel reposent (ou presque) les pieds P0, P1, P2, P3 de la table aux abscisses p, p+1, p+2, p+3. Nous notons c(u) la cote du point d'abscisse u.
La condition w(p) = c(p) - c(p+1) + c(p+2) – c(p+3) = 0 exprime que les quatre pieds sont dans un même plan (P0P2 et P1P3 ont même milieu) et reposent donc
simultanément sur le sol.
Nous remarquons que w(1) = - w(0). Ainsi, en vertu de l'hypothèse que c est continue et du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un point E d'abscisse e tel que w(e) = 0.
Il suffit de placer un pied de la table en E et les autres pieds sur le cercle C, pour que les quatre pieds de la table touchent simultanément sur le sol.
