G219. Les pieds de la table
Solution proposée par Philippe Bertran
Soient M1, M2, M3 et M4 les extrémités des pieds de la table et soient n1, n2, n3 et n4 les longueurs des pieds en centimètres (comprises entre 0 et 100).
Le milieu de M1M3 est sur l’axe de symétrie de la table, c’est-à-dire la perpendiculaire au plateau en son centre, et sa distance au plateau est la demi-somme des distances de M1 et M3 au plateau soit ½(n1 + n3). De même pour le milieu de M2M4.
Les 4 points sont coplanaires si et seulement si ces milieux sont confondus, c’est-à-dire si et seulement si n1 + n3 = n2 + n4.
Le problème revient donc à trouver le nombre de quadruplets (n1, n2, n3, n4) tels que : n1 + n3 = n2 + n4 (1) avec 0 ni 100
Soit s la valeur commune de n1 + n3 et de n2 + n4 .
La valeur s = 0 est obtenue par 1 couple (n1, n2) et par 1 couple (n3, n4) ;
donc 1² quadruplet (n1, n2, n3, n4) vérifie la condition (1) avec cette valeur.
La valeur s = 1 est obtenue par 2 couples (n1, n2) et par 2 couples (n3, n4) ;
donc 2² quadruplets (n1, n2, n3, n4) vérifient la condition (1) avec cette valeur.
La valeur s = 2 est obtenue par 3 couples (n1, n2) et par 3 couples (n3, n4) ;
donc 3² quadruplets (n1, n2, n3, n4) vérifient la condition (1) avec cette valeur.
…
La valeur s = 99 est obtenue par 100 couples (n1, n2) et par 100 couples (n3, n4) ; donc 100² quadruplets (n1, n2, n3, n4) vérifient la condition (1) avec cette valeur.
La valeur s = 100 est obtenue par 101 couples (n1, n2) et par 101 couples (n3, n4) ; donc 101² quadruplets (n1, n2, n3, n4) vérifient la condition (1) avec cette valeur.
La valeur s = 101 est obtenue par 100 couples (n1, n2) et par 100 couples (n3, n4) ; donc 100² quadruplets (n1, n2, n3, n4) vérifient la condition (1) avec cette valeur.
…
La valeur s = 199 est obtenue par 2 couples (n1, n2) et par 2 couples (n3, n4) ;
donc 2² quadruplets (n1, n2, n3, n4) vérifient la condition (1) avec cette valeur.
La valeur s = 200 est obtenue par 1 couple (n1, n2) et par 1 couple (n3, n4) ;
donc 1² quadruplet (n1, n2, n3, n4) vérifie la condition (1) avec cette valeur.
Le nombre total de cas permettant une position stable de la table (y compris celui où aucun pied n’a été scié) est donc 2(1² + 2² + 3² + … + 100²) + 101² soit 686 901, résultat qui est ramené à 686 900 si l’on exclut le cas où on laisse la table en l’état.
