G219. Les pieds de la table
Une table rectangulaire a quatre pieds verticaux qui sont fixés aux sommets du rectangle et ont une même longueur de 100 centimètres. Chaque pied peut être raccourci d’une longueur L qui est un nombre entier de centimètres compris entre 1 et 100. De combien de manières peut on opérer pour que la table reste stable (c’est à dire que les quatre pieds touchent le sol sans que nécessairement le dessus de la table reste horizontal)?
Solution proposée par Patrick Gordon
Notons ABCD les sommets de la table et abcd les longueurs (entières comprises entre 1 et 100) dont on ampute les pieds respectifs.
On voit aisément que, pour que la table reste stable au sens de l'énoncé, il faut et suffit que a+c et b+d soient égaux à un même entier k compris entre 1 et 200 (car l'un des deux nombres a et c ou b et d peut être nul; si a et c le sont, b et d le sont aussi; c'est un cas limite de
l'énoncé, qui n'interdit pas qu'aucun des pieds ne soit raccourci puisqu'il dit "chaque pied peut être raccourci…")
Si k ≤ 100, a+c = k peut se réaliser de k+1 façons, de (0,k) à (k,0) (on admettra que les pieds sont discernables).
Si k>100, a+c = k peut se réaliser de 201 – k façons, de (k – 100, 100) à (100, k – 100),
Pour chaque valeur de k, a+c et b+d peuvent prendre indépendamment l'un de l'autre les valeurs en questions.
Le nombre de solutions est donc : N = k=1100 (k+1)² + k=101200 (201 – k)².
N = 2² + … 99² + 100² + 101² + 100² + 99² + 98² + … 1²
N est donc deux fois la somme des carrés des entiers de 1 à 100 moins 1² plus 101², soit : N = 2 [100 101 201 / 6] – 1² + 101² = 686.900
