G219. Les pieds de la table
Une table rectangulaire a quatre pieds verticaux qui sont fixés aux sommets du rectangle et ont une même longueur de 100 centimètres. Chaque pied peut être raccourci d’une longueur L qui est un nombre entier de centimètres compris entre 1 et 100. De combien de manières peut on opérer pour que la table reste stable (c’est à dire que les quatre pieds touchent le sol sans que nécessairement le dessus de la table reste horizontal)?
On commence par mette la table à l'envers, ce qui est plus pratique et permet de manger agréablement sur le dessous horizontal de la table, sans risque de renverser la bouteille et les verres. C'est aussi plus pratique pour la suite.
Soient , , et , les extrémités aériennes des quatre pieds. On voit de suite que, pour répondre à ce problème de coupeur de pieds de table, il suffit que les quatre points , , et soient coplanaires.
Soient et les dimensions de la table rectangulaire, et , , et les longueurs des pieds, comme sur la figure ci-dessous.
, , et sont coplanaires ssi, par exemple :
= . + . 0
− = 0
− + − D'où :
= . 0 + . ⇒ = 1
0 = . + . ⇒ + = 0 ⇒ = − = −1 − = −1. − + 1. − ⇒ + = +
De = 0 à 100, Il y a + 1 façons (ordonnées) de choisir et de telle sorte que + = ( varie de 0 à et , solidairement, de à 0).
De = 101 à 200, il y a 200 − + 1 façons de choisir et tels que + = > 100
Le nombre de façons de choisir , , et tels que + = + = est donc + 1# si <= 100 ou 200 − + 1# si > 100.
% + 1#
&'' ()'
+ % 200 − + 1#
#'' ()&'&
= % + 1#
&'' ()'
+ % + 1#
**
()'
= 2 % + 1#
**
()'
+ 101#
= 2100.101.201
6 + 10201 = 686 901
Le problème commençant à la première coupe du premier pied et finissant sans aucun pied, il faut enlever de ce total la position initiale avec les 4 pieds de 100 cm donc : 686 901 – 1 =
