G219. Les pieds de la table
La projection au sol du rectangle ABCD de centre O est un parallélogramme A0B0C0D0 de centre O0. Posonsa =AA0, b =BB0, c =CC0, d = DD0 et o = OO0. En raisonnant sur les trapèzes AA0C0C et BB0D0D, nous en déduisons que 2o = a+c =b+d. Réciproquement, nous pouvons voir la scène comme la section d’un parallélépipède rectangle par un plan. Modulo des symétries, supposons que les longueurs sont dans l’ordre 06a6b6d6c6100.Il s’agit alors de dénombrer les quadruplets tels quea+c=b+d.
– a=b=d=c: 100 possibilités (au moins 2 pieds sont raccourcis) – a=b < d=c: C1012 = 50×101 = 5050 possibilités (4 symétries) – a < b=d < c:
98
X
a=0
ba+1012 c X
b=a+1
1 = 50×50 = 2500 possibilités (4 symétries)
– a < b < d < c:
97
X
a=0
ba+992 c X
b=a+1
100+a−b
X
d=b+1
1 = 82075 possibilités (8 symétries) Soit en tout 100 + 20200 + 10000 + 656600 = 686900 manières d’opérer.
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