G219. Les pieds de la table
Une table rectangulaire a quatre pieds verticaux qui sont fixés aux sommets du rectangle et ont une même longueur de 100 centimètres. Chaque pied peut être raccourci d’une longueur L qui est un nombre entier de centimètres compris entre 1 et 100. De combien de manières peut on opérer pour que la table reste stable (c’est à dire que les quatre pieds touchent le sol sans que nécessairement le dessus de la table reste horizontal)?
Solution de Paul Voyer:
Le problème a de nombreuses symétries et rotations.
On ne les prendra pas en compte pour "réduire" la question.
Si les longueurs résiduelles des pieds après raccourcissement sont a, b, c, d, les conditions qu'elles respectent sont :
0a100 0b100 0c100 0d100 a+b+c+d<400
et la condition de stabilité de la table s'écrit a+c=b+d (a et c diagonalement opposés).
Pour tout couple a, c tels que a+c<100, les valeurs possibles pour b sont 0, 1,… (a+c), d valant respectivement de (a+c) à 0, soit (a+c+1) possibilités.
Pour tout couple a, c tels que a+c>100, les valeurs possibles pour b sont a+c-100, …, 100, d valant respectivement de 100 à (a+c-100), soit (200-a-c+1) possibilités.
Pour a+c=100, les valeurs possibles sont 0, 1, …, 100.
Le nombre de manières recherché est N= [ ( 1) (200 1)]
100
1 100 100
0 100
0
a c a
a
a c
c
c a c
a -1.
(le -1 final élimine le cas où on ne coupe rien, a=b=c=d=100)
N+1= [( 1) ( 2) ... (101)] [(100) (99) ... (100 1)]
100
0
a a
a
a
a
2(N+1)=
100
0
) 1 100 )(
100 ( ) 101
* 100 ( ) 1 ( ) 102
* 101 (
a
a
a a
a a
2(N+1)=101²*(102+100)-
100
0
) 1 100 )(
100 ( ) 1 (
a
a
a a
a a 2(N+1)=2*101³-
100
0
) 101 . 100 200
² 2 (
a
a
a a
2(N+1)=2*101³-2
100
0
²
a
a +100(100*101)-101²*100 2(N+1)=2*101³ +100²*101-100*101² -2
100
0
²
a
a (N+1)= 101*(101²+100²/2-50*100)-
6 201
* 101
*
100 =1025251-338350=686901
N=686900
