Enoncé D344 (Diophante) La table du jardin
Les extrémités des pieds d’une table de jardin sont les sommets d’un carré.
Démontrer qu’il est possible d’installer la table sur un sol inégal fait de creux et de bosses de sorte que ses quatre pieds touchent le sol.
Nota : on admet que la cote du sol est une fonction continue des coordon- nées horizontales.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
J’équipe les pieds de la table de rallonges, de longueur fixe et égale pour A, B, D, et télescopique pour C. Cela permet de poser la table sur le sol sur ses 4 pieds.
Laissant le pied A fixe, je fais tourner la table en déplaçant B et D sur le sol (en fait, sur la courbe d’intersection du sol avec la sphère de centre A et de rayon AB). Grâce à sa rallonge télescopique, le pied C reste en contact avec le sol le long d’une courbe CE voisine de l’intersection duu sol avec la sphère de centre A et de rayon AB√
2 (la distance AC varie quelque peu avec le débattement de la rallonge télescopique, qui assure le contact avec le sol).
La table passe ainsi de la position ABCD (carré rouge) à la position ADEF (carré bleu).
Premier cas : sur le parcours CE, il y a un point où la rallonge télescopique passe par la longueur des autres rallonges. C’est une position où la table peut être posée sur le sol sans rallonges, en reposant par ses quatre pieds.
Second cas : sur tout le parcours CE, la rallonge télescopique reste plus longue que les autres rallonges. Je la remplace en E par une rallonge stan- dard, et je mets la rallonge télescopique sur le pied actuellement en D (il était en B au départ). Puis je déplace la table à peu près parallèlement à elle-même ; dans cette configuration GHIJ, G part de A, J de F, I de E, H de D avec une longueur de rallonge moindre que la longueur standard, car au droit de DE le plan AFI passe en-dessous du plan AFD. Quand GHIJ vient en BCDA, la rallonge télescopique du pied H vient en C avec une longueur plus grande que la longueur standard. Ainsi, quelque part entre D et C, il y a une position de H où la rallonge télescopique a la longueur standard ; c’est une position où la table peut être posée sur le sol sans rallonges, en reposant par ses quatre pieds.
Le raisonnement s’adapte sans difficulté au cas où sur tout le parcours CE, la rallonge télescopique reste plus courte que les autres rallonges.
Remarque. La continuité n’est pas indispensable à la validité de ce raison- nement ; du point de vue de la théorie des fonctions, la propriété utilisée est une propriété moins forte que la continuité, la “propriété des valeurs inter- médiaires” : sur un intervalle (a, b), pour toute valeurvintermédiaire entre f(a) et f(b), on peut trouver un point c de l’intervalle tel que f(c) =v.
